Unidad: transformaciones isometricas



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Departamento Matemática

Profesores: Natacha Sandoval / Ricardo Carrillo


GUIA MATEMATICA

PRIMEROS MEDIOS

UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS


Aprendizajes esperados:

1. Relacionan y analizan propiedades de figuras geométricas en contextos de embaldosamiento de una superficie plana.




Actividad 1

Analizar relaciones y propiedades de figuras geométricas que derivan de la posibilidad de embaldosar superficies planas.



Contenidos:

  1. Concepto de Transformaciones Isométricas.

  2. Simetría Axial.

  3. Vectores.

  4. Traslaciones.

  5. Rotaciones.

  6. Simetría Central.

  7. Simetría Rotacional.

  8. Composición de Transformaciones Isométricas.

  9. Transformaciones Isométricas en el plano cartesiano.

  10. Diseño baldosas.

  11. Mosaicos en trama cuadrada.

  12. Mosaicos en trama triangular.


2. Caracterizan la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.

3. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación, rotación o simetría.

4. Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras simétricas, trasladadas y rotadas.


Actividad 2

Caracterizar traslación, simetría y rotación. Describir los cambios que genera su aplicación y utilizarlas para construir figuras. Transformar figuras por simetría y traslación en un sistema cartesiano de coordenadas y analizarlas.

5. Diseñan composiciones sencillas que incorporan traslaciones, simetrías y rotaciones.

6. Reconocen simetrías, rotaciones y traslaciones en la naturaleza y en obras de arte tales como las de M.C.Escher, el palacio de la Alhambra, algunas artesanías, etc.

7. Describen patrones que se observan en la aplicación de simetrías, rotaciones y traslaciones en un sistema de coordenadas.


Actividad 3

Diseñar composiciones sencillas y describir y analizar transformaciones isométricas presentes en el arte, en la naturaleza, en el mundo de la ciencia y/o en diseños estructurales y tecnológicos.

Si a una figura geométrica se le aplica una transformación, y esta no produce un cambio en la medida de los lados y ángulos se llama “transformación isométrica”.

Observemos a continuación algunas transformaciones geométricas en el plano:


Traslación:



ABCDEF se ha transformado a la figura A’B’C’D’E’F’, en la dirección y longitud del vector


Rotación:



ABCDE se ha transformado a la figura A’B’C’D’E’, mediante la rotación con centro en el punto O y con el ángulo y en el sentido que este ángulo indica.

En estas dos figuras, el ángulo que forma el vértice de la figura original con su homologo es siempre el mismo.




Reflexión:



ABCD se ha reflejado entorno a la recta L quedando en la figura A’B’C’D’

Homotecia:



A la figura ABCD se le ha aplicado una homotecia de centro O y razón 3 : 2, transformándose en el cuadrilátero A’B’C’D’
¿cómo son estas dos figuras?


En las transformaciones anteriores, las tres primeras corresponden a transformaciones Isométricas, mientras que la ultima no lo es, ya que conserva los ángulos pero no las medidas de los lados.
SISTEMAS DE COORDENAS
Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano. Este sistema es el de coordenadas rectangular u ortogonal. Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí X’X e Y’Y llamadas ejes de coordenadas.
La recta X’X (horizontal, abscisas) recibe el nombre de EJE X y la recta Y’Y (vertical, ordenadas) recibe el nombre de EJE Y.
La intersección entre el eje X y el eje Y es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.

El origen del sistema divide a cada eje en dos semi-ejes:



  1. las ABSCISAS ubicadas a la derecha del eje Y, respecto del origen, son positivas y las ubica­das a la izquierda son negativas.

  2. las ORDENADAS ubicadas hacia arriba del eje X, respecto del origen, son positivas y las ubica­das hacia abajo son negativas.

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, numerados según se muestra en la Figura.


Representación de puntos en el Plano

Todo punto P del plano, queda determinado por un par de números reales x e y que se llaman COORDENADAS del punto P, y se representan por el par de coordenadas (x,y).

La coordenada x de P se llama ABSCISA. La coordenada y de P se llama ORDENADA.

Los puntos en el plano se designan por las letras mayúsculas: A, B, C, P etc.


Los puntos cuyas ordenadas son cero, están sobre el eje X o eje de las abscisas. Los puntos cuyas abscisas son cero, están sobre el eje Y o eje de las ordenadas.
Todo punto P en el plano, puede localizarse a través de coordenadas. Las coordenadas de P se obtienen trazando PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y.

La longitud del segmento OA es la abscisa de P y se representa por x. La longitud del segmento OB es la ordenada de P y se representa por y.


Transformaciones
Embaldosados

Los embaldosados o teselaciones se realizaron desde tiempos muy antiguos, sin embargo, su historia y su estudio en la matemática es reciente.

En resumen, embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que:


  • Al unir las figuras se recubre completamente el plano

  • La intersección de dos figuras sea vacía (sin huecos)


  1. Teselación Regular

La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Al observar estas partes del plano embaldosadas por cada uno de los polígonos regulares, distinguimos situaciones que conviene destacar.

Al embaldosar con cuadrados, estos se alinean perfectamente uno sobre otro, en cambio los triángulos y los hexágonos se ensamblan no alineados. También se observa que un hexágono regular lo forman seis triángulos equiláteros simultáneamente.

Al cubrir el plano ocurre que en cada vértice del polígono regular, su ángulo interior debe ser divisor exacto de 360º, lo que ocurre solamente en el triángulo equilátero, en el cuadrado y en el hexágono.



  1. Teselación Semi-Regular

Una Teselación semi-regular es aquella que está formada por polígonos regulares de manera que la unión de ellos es idéntica en cada vértice Las siguientes ocho figuras, son las únicas combinaciones de polígonos regulares que permiten embaldosar  completamente el plano:

Existen otras combinaciones de polígonos regulares que aparentemente pueden cubrir el plano, pero sin embargo sólo logran cubrir el entorno del punto, es decir, no es posible extenderlas indefinidamente.

Los números que se encuentran en cada una de las figuras indican cuántos polígonos regulares de qué tipo son necesarios en cada caso, por ejemplo:

(3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semi-regular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.






El embaldosado con Transformaciones Isométricas

La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen en base a  transformaciones isométricas.


Traslación, Rotación y Simetría (Reflexión) son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.




Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.
Ejemplos:

  • Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecánica.

  • Un ascensor panorámico.

  • Un automóvil desplazándose por un camino recto.

  • Un avión al despegar y luego al adquirir velocidad de crucero.


Rotación: Isometría en que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.
Estas palabras significan que todos los puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y que ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.

Ejemplos de rotación



  • Un carrusel de niños

  • Las ruedas de una bicicleta.

  • Las aspas de un ventilador.

  • Los punteros de un reloj análogo.

  • Hélices de un avión o un helicóptero.

Algunos contextos en los que se ven o utilizan las simetrías:



  • En la naturaleza: Un trébol, una estrella de mar.

  • En Física: El movimiento circular uniforme, velocidad angular, fuerzas centrípeta y centrífuga, la rotación planetaria.



Simetría


La idea de simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado recurrir a algunos naturales de simetría y de gran belleza.

Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.









En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.


En base a las observaciones en los ejemplos anteriores, resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.
Otro Ejemplo:



EJERCICIOS
1.- El se ha girado en torno a O, quedando en la posición del . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I OA = OC

II

III AC = BD


  1. Solo I

  2. Solo II

  3. Solo I y II

  4. Sólo II y III

e) I, II y III



2. El cuadrado de vértices A(1,1); B(3,1); C(3,3) y D(1,3) es trasladado de modo que el vértice C quede en el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los demás vértices?

a) A’(-2,-2); B’(0,-2) ; D’(-2,0)

b) A’(4,4); B’(6,4) ; D’(4,6)

c) A’(-1,-1); B’(1,-1) ; D’(-1,1)

d) A’(1/3,1/3); B’(1,1/3) ; D’(1/3,1)

e) Falta Información
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?


a) Traslación

b) Simetría

c) Rotación

d) Reflexión

e) Permutación

4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:




a) Traslación

b) Simetría

c) Rotación

d) Isometría

e) Teselación

5. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:




a)



b)



c)



d)



e) N.A.

6. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura dada?



a)

b)

c)



d)



e) Ninguna de las anteriores

7. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:




a) (3,6)

b) (2,1)

c) (6,0)

d) (6,1)

e) (7,2)

8. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?




a) (-2,6)

b) (8,6)

c) (-2,4)

d) (-15,5)

e) (8,4)

9. Dado un triángulo de vértices A = (-5,-3); B = (2,-1) y C = (1,4). ¿Cuál es el vértice de B si el triángulo ABC se traslada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba?

a) (-7,0) b) (4,2) c) (-3,1) d) (3,7) e) (4,-4)

10. En la figura las coordenadas de P son (5, 6). Si P es punto medio de AB, ¿cuáles son las coordenadas de B?




a) (6,5)

d) (5,6)


b) (5,4)

e) (5,9)


c) (5,5)









11. El cuadrado ABCD de la figura tiene sus lados paralelos a los ejes coordenados. Si el lado AB mide 5 cm. ¿cuáles son las coordenadas del vértice C?

a) (3,8)

b) (8,2)

c) (8,3)

d) (8,7)

e) (7,8)





25. Al rotar la figura, en 270º con respecto al punto P, se obtiene

A) B) C) D) E)


26. ¿Cómo varían las coordenadas de un punto (X, Y) al efectuar en un plano cartesiano, una rotación positiva de 180º con centro en el origen?


A) (X, -Y) B) (-X, Y) C) (X, Y) D) (-X, -Y) E) (2X,2Y)
27. Si realizo una traslación con un vector de traslación T(2, -1) al punto A(1, -2), en un plano cartesiano, el punto resultante después de la traslación es:

A) (1, -3) B) (1, 1) C) (3, -3) D) (-3, 3) E) (3, 2)


28. Si las coordenadas de un punto inicial (X, Y) varían a (-Y, X) cuando se aplica una rotación (positiva) de 90º , en un plano cartesiano, con centro en el origen ¿Cuáles serían las coordenadas del triángulo ABC luego de aplicar una rotación de 90º (con centro en el origen) y posteriormente una traslación T(-2, 3)?

Nota: Los vértices del triángulo son: A (2, 3), B (5, 1) y C (4, 5).


A) A(-3, 2), B(-1, 5) y C(-5, 4) B) A(0, 6), B(3, 4) y C(2, 7) C) A(-5, 5), B(-3, 8) y C(-7, 7)

D) A(-5, 5), B(3, 4) y C(2, 7) E) Ninguna de ellas.


29. Si se rota en 270º el triángulo de vértices: A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, los vértices del triángulo resultante son :
A) A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8) B) A(-2, -3), B(-7, 2) y C(-5, -8) C) A(3, 2), B(-2, 7) y C(8, 5)

D) A(3, -2), B(-2, -7) y C(8, -5) E) A(-2, 3), B(-7, -2) y C(-5, 8)


30. Si Q = (2, 5) y Q´= (-9, 2), ¿Qué vector traslación T(X, Y), cambia Q a Q´?
A) T(11, 3) B) T(-7, 3) C) T(-7, -7) D) T(-11, -3) E) T(11, -3)
31. ¿Qué vector traslación reemplaza a T1 (3, 2) seguido de T2 (-2, 5)?
A) T (1, 7) B) T (7, 1) C) T (-7, -1) D) T (7, -1) E) T (-1, 7)
32. ¿Qué par de vectores traslación reemplaza, al aplicar uno después del otro, a T(6, -4)?
A) T(2, 3) y T(4, -7) B) T(1, -2) y T(5, -2) C) T(4, 5) y T(2, -9)

D) T(6, 0) y T(0, -4) E) Todas las anteriores son verdaderas.


33. Si se rota en 180º el triángulo de vértices: A(0, 0), B(4, 3) y C(5, 0), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, y luego realizo una traslación con un vector de traslación T(-2, 2) los vértices del triángulo resultante son :
A) A(-2, 2), B(-6,-1), C(-7, 2) B) A(-2, 2), B(-1,6), C(7, -2) C) A(-2, 2), B(1,-6), C(2, 7)

D) A(2, -2), B(-1,6), C(-2, -7) E) A(4, 2), B(-1,-6), C(7, -2) 5


34. Si el trazo AB, ubicado en un plano cartesiano, de extremos A(2,5) y B(-2,0) se gira positivamente, con centro en el origen 180º, luego se gira 90º más y finalmente se gira otros 90º, los extremos del trazo resultante son:
A) (5,2) y (0,-2) B) (-5,-2) y (2,0) C) (-2,-5) y (2,0) D) (2,-5) y (-2,0) E) (2,5) y (-2,9)
35. Si en un plano cartesiano el punto A(3,2) se traslada a B(2,4) y luego a C(-2,-1), ¿cuál es el vector traslación que se debe emplear para trasladar en un solo paso el punto A a la ubicación C?
A) T(-5, -3) B) T(5, 3) C) T(-5, 0) D) T(0, -3) E) T(-3,-5)
36. Si al punto A(3,4), ubicado en un plano cartesiano, se le aplica una rotación de 90° con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el punto sería:
A) (1, 6) B) (6, 4) C) (11, -3) D) (1, 1) E) (11, -1)
37. ¿Cómo varían las coordenadas (X,Y) de los vértices de un triangulo ABC, en un plano cartesiano al efectuar una rotación positiva de 360° con centro en el origen y luego una traslación con un vector de traslación T(0, 2)?
A) (X +2 ,-Y) B) (X, Y +2) C) (Y ,Y +2) D) (X,0) E) No varían.
38. Un tablero de ajedrez está formado por cuadrados ordenados en 8 columnas identificadas con las letras A, B, C, D, E, F, G, H (de izquierda a derecha) y 8 filas, identificadas con los números 3, 4, 5, 6, 7, 8. (de abajo hacia arriba), luego:

¿Qué vector de traslación se debe aplicar a un caballo que parte en la posición B1 para que llegue a la casilla C3?


A) (0, 3) B) (1, 3) C) (1, 2) D) (0, 2) E) (-1, -3)
39. El triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo ABC, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,0),

B(2,7), C(5,4) con respecto al eje Y (considerando el eje Y como eje de simetría) tiene vértices:
A) (0,0), (0,7), (2,4) B) (-2,0), (-2,7), (-5,4) C) ) (-2,0), (2,7), (5,4)

D) (2,0), (-1,4), (2,7) E) (2,0), (5,4), (7,0)


40. Si al triángulo ABC de la figura, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,2); B(2, -4) y C(6, -1) ,se le aplica una rotación de 90º, con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el vértice C sería:

A) (1, 6)

B) (6, 4)

C) (11, -3)

D) (1, 1)

E) Ninguna de ellas

41. Para que un punto A(2,5) se desplace hasta la posición A’(-4,-1), se debería aplicar

(1) Una traslación con vector T(-6,-6)

(2) Un giro positivo con centro en el origen y ángulo de rotación de 90º

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas (1) y (2).

D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional



Nota: Las actividades complementarias, pronto serán entregadas.

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