Unidad didáctica 14 objetivos de aprendizaje: lo que tienes que dominar



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UNIDAD DIDÁCTICA 14








OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.




  1. Experimentos ALEATORIOS.

  2. SUCESOS en un experimento aleatorio.

  3. Operaciones con sucesos: SUCESOS INCOMPATIBLES.

  4. CONCEPTO DE PROBABILIDAD: axiomas y teoremas.

  5. PROBABILIDAD CONDICIONADA: sucesos independientes.

  6. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

  7. ACTIVIDADES.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/azar.htm




  1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS


LOS EXPERIMENTOS

aunque se repitan en idénticas condiciones
PUEDEN SER







DETERMINISTAS



ALETORIOS



 R1

 R2 ESPACIO

S0  …  R3 MUESTRAL

……

Rn



S0  S1  S2 ….  R





    1. Experimento: MODELIZACIÓN


Los experimentos son cadenas de sucesos que pueden repetirse en las mismas condiciones cuantas veces de desee. Es decir, son reproducibles (en las mismas condiciones) a voluntad.
Para estudiar los fenómenos observables hay que modelizar. Modelizar un experimento es construir un modelo matemático del mismo. Necesariamente, este modelo debe simplificar las cosas y permitir la omisión de ciertos detalles. El éxito del modelo depende de si los detalles omitidos tienen o no importancia en el fenómeno estudiado. Una de las formas de analizar la validez de un modelo es deducir un cierto número de consecuencias del mismo y luego contrastarlas con las observaciones del fenómeno.



    1. Modelo DETERMINISTA/Experimento DETERMINISTA


Se llama modelo determinista aquel que asocia a un experimento una única cadena de sucesos que conduce a un resultado final que es predecible con certeza.
Ejemplos:

  • Caída de una piedra.

  • El lanzamiento de un misil.

  • Movimiento de un planeta.

Un ejemplo clásico de modelo determinístico es de caída libre h=1/2 g t2 . Las condiciones de validez de este modelo de caída: cuerpo puntual (suficientemente pequeño), gravedad constante (cercano a la Tierra), sin aire (en un tubo con vacío). En estas condiciones se podría predecir la altura que se desplaza un cuerpo transcurrido un tiempo "t". En la física clásica son muy comunes el uso de modelos determinísticos. Un modelo determinístico que permita predecir si una moneda cae cara o ceca necesariamente es muy complejo, dependería por ejemplo de la forma en que se lanza, del espacio que rodea la moneda, de las características de la moneda en sí. Todo esto implica mucho esfuerzo para general el modelo matemático y luego para reproducir las condiciones de validez del mismo.



    1. Modelo ALEATORIO/Experimento ALEATORIO

Otra forma de abordar el problema es analizar los resultados posibles al lanzar una moneda y luego asignar con algún criterio probabilidad de ocurrencia a dicha asignación. Un modelo probabilístico (o estocástico) está representado en esta distribución de probabilidades entre los resultados posibles. Un modelo del mismo tipo puede generarse para estudiar los resultados al lanzar un dado. Como otros ejemplos, se puede considerar una situación meteorológica (cantidad de lluvia que caerá en una tormenta y en un lugar específicos), cantidad de bacterias en un litro de leche, cantidad de glóbulos blancos en una muestra de sangre, cantidad de días lluviosos en el año en curso, tiempo de duración de un artefacto doméstico, peso que traslada un ascensor, incerteza en la medición de la distancia Tierra-Luna, etc. 
Una de las diferencias fundamentales entre un modelo determinístico y uno probabilístico, es que el primero se utilizan consideraciones específicas para predecir resultados, mientras que en un modelo probabilístico se utilizan las mismas consideraciones para especificar una distribución de probabilidades. 
Se llama experimento aleatorio aquel que, aunque se repita en las mismas condiciones, tiene asociados varios resultados posibles sin que podamos determinar con certeza cuál va a ocurrir.
Las características de estos experimentos aleatorios pueden resumirse en:


    • Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones.




    • Aunque en general no se pueda indicar cuál será un resultado particular, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.




    • A medida que el experimento se repite, los resultados individualmente parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, en muchos casos, si el experimento se repite un gran número de veces, aparece un patrón definido o regularidad.

Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:




  • E1: Se lanza un dado equilibrado y se observa el número que aparece en la cara superior.  

                       

  • E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.




  • E3: Resultado de un partido de fútbol.

  • E4: Extraer una carta de una baraja.

  • E5: Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz.

  • E6: Abrir un libro al azar y anotar el número de página.



Se llama ESPACIO MUESTRAL de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se designa por E.
E = {R1, R2, R3,…, Rn}
Cada uno de los RESULTADOS Rk que forman el espacio muestral se llama caso o punto muestral. El ESPACIO MUESTRAL depende de los resultados en que nos fijemos.
Ejemplos para algunos de los experimentos aleatorios mencionados:


  • Para E1 corresponde el espacio muestral  E1= {1;2;3;4;5;6}

  • Para E2 corresponde el espacio muestral E2= {0;1;2;3;4}

  • Para E3 corresponde el espacio muestral E3= {(0,0), (1,0), (1,1)….}

  • Para E4 corresponde el espacio muestral E4= {1c, 2c, 3c, 4c, … Rb}

  • Para E5 corresponde el espacio muestral E5= {C, X}

  • Para E6 corresponde el espacio muestral E6={1, 2, 3, … }


Un espacio muestral no necesariamente es un conjunto con una cantidad finita de elementos. Hay espacios muestrales con un número infinito de elementos, incluso no numerable.
Ejemplos:


  • Lanzar un dardo a una diana y anotar la posición del punto donde se clava.




  • Cortar a ciegas un cordel y anotar la longitud del trozo menor.




  • Elegir al azar un punto del intervalo [0, 1]

Ejercicio: COMPLETA
E1:

E2:

E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos "D" y no defectuosos "N".

E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas.

E5: Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles, hasta que ocurra un accidente.

E6: Fabricar artículos, hasta producir 5 defectuosos y contar el número total de artículos fabricados.

E7: Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicios en un día.

E8: Elegir un punto del intervalo cerrado [0, 1].

E9: Observar el tiempo de vida de un artefacto eléctrico.

E10: De una urna que contiene fichas blancas y negras se escoge una y se anota su color.

E11: Verificar el estado de un transistor: (0 = Apagado; 1 = Prendido).
Experimento Conjuntos de resultados Posibles: Espacio Muestral

E1: C = cara S = cruz

E2:

E3:

E4: Ai representa una persona.

E5:

E6:

E7:

E8:

E9:

E10:

E11:



  1. SUCESOS en un experimento aleatorio


Cada experimento aleatorio tiene asociada una familia de sucesos o ESPACIO DE SUCESOS. Un SUCESO está caracterizado por su ocurrencia o no respecto a cualquier resultado observable en la realización de un experimento aleatorio.
Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras podemos contemplar los siguientes sucesos o eventos:


  • S1= {Salir par} = {2, 4, 6}

  • S2= {Salir múltiplo de 3} = {3, 6}

  • S3= {Sacar más que 3} = {4, 5, 6}

Diremos que un suceso A se verifica (o se realiza) si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que VERIFICAN el suceso A.


Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar una dado, con E={1,2,3,4,5,6} y sea el suceso A={1,3,5} = “salir impar” Entonces diremos que A se verifica si al lanzar el dado sale 1, 3 ó 5, y diremos que no se verifica si sale 2, 4 ó 6.
Como vemos, todo suceso tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E, compuesto por todos los resultados que lo VERIFICAN.
Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar una moneda:

E={C , X } S={∅,{C},{X },{C , X }}

y E son siempre subconjuntos de E.


Ejercicio. En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española, consideremos los sucesos A = “salir figura”, B = “salir un as”. ¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A? ¿Y el suceso B?
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral.
Suceso compuesto es el suceso formado por dos o más puntos muestrales.
Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Está formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E.
Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por ∅ y no tiene ningún elemento del espacio muestral.

Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:

Sucesos elementales: {1} {2} {3} {4} {5} {6}

Algunos sucesos compuestos: A={1,2} B={4,3,2} C={1,3,5,6}

Suceso cierto: E={1,2,3,4,5,6}

Suceso imposible: ∅


Suceso contrario de A, A’: Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente.
El suceso contrario de A se representa por Ac (o también A' o no A ).

El suceso Ac está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.

Ejercicio. En el experimento consistente en lanzar un dado, halla los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:

A={1,2,5} B={1,3} C={4} D={1,3,5,6} E={1,2,3,4,5,6} F=∅




  1. OPERACIONES con sucesos: sucesos incompatibles.

Como hemos visto cada SUCESO de un experimento aleatorio tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E. Es decir, el ESPACIO DE SUCESOS es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto muestral. Conviene, pues, repasar un poco la TEORÍA DE CONJUNTOS.




  • Cardinal de un conjunto.

  • Subconjunto de un conjunto.

  • Conjunto de las partes de un conjunto P(E).

  • Operaciones en P(E).


Llamamos suceso unión de A y B ( AUB ) al suceso que se realiza cuando se realizan A ó B. El suceso AUB contiene todos los elementos de A y todos los de B.


Llamamos suceso intersección de A y B (A∩B ) al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente A y B. El suceso A∩B está formado por los elementos comunes de A y B.

Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado.
Si A={1,2,5} y B={2,3,5} , entonces AUB={1,2,3,5} y A∩B={2,5}
Ejercicio. Calcula la unión y la intersección de:

a) C={2,4,6} y D={2,5}

b) M={2,5} y N={1,3,6}

Propiedad.



  • Se cumple que AUA = A.

  • c=E

  • A∩A = A

  • Ec=∅


Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que se realicen simultáneamente.

Si A∩B=∅ entonces A y B son incompatibles.

Si A∩B≠∅ entonces A y B son compatibles.

Por tanto, un suceso y su contrario son incompatibles.
Ejercicio nº 1.-
En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.
a) Describe los sucesos:
A = "Obtener par" B = "Obtener impar"

C = "Obtener primo" D = "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A U B? ¿y C D?
Solución:

a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}



B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

D = {3, 5, 7}

b) B = A'; D c C

c) A U B = E = Espacio muestral; CD = D


  1. PROBABILIDAD de un suceso.

Si repetimos un experimento aleatorio un número muy grande de veces, y calculamos la frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), la LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS asegura que dicha frecuencia converge hacia un determinado valor que llamaremos probabilidad de A, P(A).





La probabilidad de un suceso A, P(A), mide la esperanza que tenemos de que ese suceso ocurra al realizar un determinado experimento aleatorio.
Así pues, sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. A cada suceso A se le asocia un número, designado P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes AXIOMAS:

  1. 0 ≤ P(A) ≤ 1  

      Es decir la probabilidad es un número entre "0" [imposible] y "1" [seguro].


Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. p(A)=0,5, que indica que esperamos que la mitad de las veces salga par.


  1. P(E) = 1  

   Es decir la probabilidad de que ocurra el espacio muestral (suceso seguro) es "1".


     Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1". 


  1. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles (sin elementos en común, intersección vacía),     


P(AUB) = P(A) + P(B)
Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos disjuntos entre sí es la suma de las probabilidades individuales.
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado {"as" o sacar "número par"} es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.




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