U = f (XI, yj) Según Restricciones u es la utilidad o valor de ejecución del sistema, XI



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Los modelos de IO se pueden representar con ecuaciones las que, aunque puedan resultar complejas, tienen una estructura muy sencilla:



U = f (xi, yj)

Según

Restricciones



U es la utilidad o valor de ejecución del sistema,

xi son las variables no controlables, o dependientes, cuyos valores dependerán de las interrelaciones y valores de las variables independientes.

Yj son las variables controlables, o independientes, con valores dados.

f es una función en xi e yj.

Frecuentemente se requieren una o más ecuaciones o inecuaciones de las llamadas restricciones, para expresar el hecho de que algunas de las variables no controlables (o todas), pueden manejarse dentro de ciertos límites. Por ejemplo, el tiempo de máquina asignado a la producción de un producto siempre tendrá valor positivo, y no será mayor que el tiempo total disponible o asignado para tal fin; otro ejemplo, la suma del dinero presupuestado para cada departamento en un organización o industria no puede exceder la suma de dinero disponible, etc.

Una vez obtenido el modelo, éste puede usarse para encontrar exacta o aproximadamente los valores óptimos de las variables no controlables, aquellas que producen la mejor ejecución del sistema, es decir, la solución al problema.

Un modelo de programación lineal es un conjunto de expresiones matemáticas las cuales deben cumplir la característica de linealidad que puede cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado. Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:



  • Proporcionalidad

  • Aditividad (adición)

  • Divisibilidad

  • Certidumbre(certeza)

El problema de la dieta consiste en determinar las cantidades de distintos nutrientes que deben ingerirse asegurar ciertas condiciones de nutrición y minimizar el coste de compra de los nutrientes. El problema consiste en determinar la cantidad de cada alimento que debe comprarse de suerte que se satisfagan los mínimos aconsejados y se alcance un precio total mínimo.

Modelo Conceptual

Proceso de sustraer información vital. Este nace de la observación, experimentación y de los sentidos.

Es de vital importancia definir cuál es el objetivo del sistema, para así tomar decisiones que conlleven a lograr los objetivos.

Objetivos Maximizar

Minimizar

Modelo matemático


  • Función Objetivo

  • Margen: Es lo que queda de cuando se saca los costos operativos.

  • Restricción: Cualquier elemento que impide que logre el objetivo. Cada sistema tiene por lo menos una restricción que los gobierna.

Hay diferentes tipos de restricciones:

  • Restricciones de Capacidad

  • Restricción de demanda

  • Restricción de positividad

Ejemplos de Modelos
Problema N°01

Problema de la Dieta: Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:

 

Leche


(lt)

Legumbre

(1 porción)



Naranjas

(unidad)


Requerimientos

Nutricionales



Niacina

3,2

4,9

0,8

13

Tiamina

1,12

1,3

0,19

15

Vitamina C

32

0

93

45

Costo

2

0,2

0,25

 

  • Variables de Decisión:

  • X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta

  • X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta

  • X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales



  • Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13

  • Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15

  • Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45

  • No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

PROBLEMA N° 02

Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Sean las variables de decisión:

x= n: de bicicletas de paseo vendidas.

y= n: de bicicletas de montaña vendidas.

Tabla de material empleado:



 

Acero

Aluminio

Paseo

1

3

Montaña

2

2

Función objetivo:

f(x, y)= 20.000x+15.000y      máxima.



Restricciones:

im1843

GRAFICA DE LAS RESTRICCIONES

im1844

Zona de soluciones factibles:

Vértices del recinto (soluciones básicas):

A(0, 40)


B intersección de r y s:

im1845

C(40,0)


Valores de la función objetivo en los vértices:

im1846

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares.



Problema N°03

Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000 dólares para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.

Variables de Decisión:


x = dólares invertidos en Acción A.
y = dólares invertidos en Acción B.

Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones.
Maximizar   0.1x  +  0.08y

Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo.



x  +   y   ≤  21.000      

Se puede invertir como máximo 21.000 dólares en total

x             ≤  13.000         

Invertir como máximo 13.000 dólares en Acción A                             

y   ≥   6.000                 

Invertir como mínimo 6.000 dólares en Acción B

x   -  2y   ≤  0                  

Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B

x≥0, y≥0                 

No Negatividad                          

Problema N°04

Problema de Proceso Productivo: Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio.

Variables de Decisión:


X = Unidades a elaborar y vender del mueble A.
Y = Unidades a elaborar y vender del mueble B.
Z = Unidades a elaborar y vender del mueble C.

De esta forma el modelo de optimización que permite encontrar el plan óptimo de producción es el siguiente:



ejemplo_solver_modelo

Problema N°05

Problema de Mezcla de Productos: Se dispone de 2 ingredientes para fabricar caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg. y el segundo a $20 por kg. El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg. fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg. A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg. de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio.

Variables de Decisión:


X1: Kg a usar del ingrediente 1 en un mes  
X2: Kg a usar del ingrediente 2 en un mes

Función Objetivo: Obtener la máxima utilidad de la venta de los caramelos descontando los costos de producción
Maximizar 50*(X1 + X2) – 10*X1 – 20*X2 - 5*(X1 + X2) = 35*X1 + 25*X2   

Restricciones:


Demanda Máxima:     X1 + X2 <= 100
Composición:             X1/(X1 + X2) <= 50%    o     0,5*X1 – 0,5*X2 <= 0
Composición:             X2/(X1 + X2) <= 80%    o     -0,8*X1 + 0,2*X2 <= 0
No Negatividad:        X1,X2>=0

Sólución Óptima: X1 = 50 X2 = 50. Valor Óptimo V(P) = $3.000.



Problema N°06

Modelo deAsignacion

Asignación de recursos, Ordenamiento

Los primeros desarrollos de la Investigación Operativa se refirieron a problemas de asignación de recursos, ordenamientos de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación, todos con un objetivo preciso de optimización de la función económica U en un mundo determinista.

Se tienen tres personas (recurso) para asignarlos a tres labores diferentes. Cada uno de ellos puede efectuar cualquiera de las tareas existentes, pero con diferente nivel de especialidad. Sus respectivos jefes los han calificado de 1 a 10, para cada tarea en particular. Por supuesto el objetivo es el de asignar a las personas de manera tal que la calificación en conjunto sea la máxima.  Ver tabla de calificaciones abajo.



Calificación de Operario por Tarea

 

Tarea 1

Tarea 2

Tarea 3

Operario 1

8

6

4

Operario 2

9

7

3

Operario 3

6

5

7

Nota: También funciona para minimizar. Por ejemplo, en vez de calificación podrían ser tiempos de manufactura de cualquier tipo de productos, y el objetivo sería el de minimizar el tiempo total de manufactura.

Xij = 1 si asignamos el operario i a la tarea j, de lo contrario 0

En éste orden de ideas, nuestro deseo es maximizar la calificación total al asignar los operarios a las diferentes tareas.


Max Z =  8X11 + 6 X12 + 4 X13 + 9X21 +7 X22 +3X33 +6X31 +5X32 +7X33


            Sujeto a:
            1. Cada operario sólo puede tener una tarea asignada
                X11 +X12 +X13 = 1  (Es decir, sólo se puede responder Si una sóla vez.)
                X21 +X22 +X23 = 1
                X31 +X32 +X33 = 1
    2. Cada tarea puede tener un sólo operario asignado (la restricción anterior no necesariamente                   garantiza esto, seguro!)
                X11 + X21 + X31 = 1
                X12 + X22 + X32 = 1
                X13 + X23 + X33 = 1
   3. La obvia: Xij = 0,1 para toda i y toda j.

Los problemas de programación lineal en dos variables se clasifican según el tipo de solución que presenten.

Estos pueden ser:

Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones:

Con solución única, si existe solo un vértice de la región factible donde la la función objetivo alcanza su valor optimo (una solución).

Con solución múltiple, si existe más de un vértice donde la función objetivo puede alcanzar su valor optimo y por tanto en todos los puntos del segmento que determinan esos vértices ( hay infinitas soluciones).

Con solución no acotada, si no existe límite para la función objetivo, debido a que la región factible no es acotada, por lo que la función crece infinitamente sin presentar un valor extremo. Puede decirse que no hay solución.



No factibles, cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir , las restricciones son inconsistentes. Carecen de solución.

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