Teoría de los Circuitos I cap



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Parte C - ONDAS SENOIDALES
II - C.1 - Introducción
Las razones para prestar una importante consideración a la respuesta de los circuitos lineales en estado estacionario a la excitación senoidal son:

1º) Ocurren en la mayoría de los generadores prácticos.

2º) El teorema de Fourier permite extender el caso senoidal al caso general de análisis.

3º) Son fácilmente manejables matemáticamente.

4º) La respuesta senoidal está relacionada directamente a la respuesta transitoria del circuito, ya que el caso más general es la senoide atenuada exponencialmente.

Veamos cómo se genera la onda senoidal en un dispositivo elemental (ver Capítulo VIII):



Generador elemental


Una espira en un campo magnético está sometida a un flujo magnético dado por el producto de la inducción B y la proyección de la sección de la espira perpendicular al campo: = B S. Tanto el flujo como la inducción recordemos son magnitudes vectoriales.

Para una posición de la espira tal como la mostrada en la figura el flujo instantáneo concatenado por la espira será:

= max cos 

donde max es el flujo máximo que se obtiene cuando la espira es perpendicular al campo (horizontal en este caso).

Si la espira está girando la velocidad de variación del flujo o "contracción magnética" es:
d/dt = 0 para max

d/dt = máxima para  = 0
La ley de Faraday-Lenz dice que se induce en la espira una fuerza electromotriz (fem) dada por la expresión:

e = -(d/dt)N 10-8

donde e es la tensión en voltios,  el flujo en gauss*cm2 (maxwells), N es el número de espiras y 10-8 es la constante de homogeneización de las unidades de medida.

Si tenemos que  = max cos  será: d/d= -max sen  y como resultado la tensión inducida se puede expresar como:

e = Nmax sen  10-8 d/dt

como d/dt es la velocidad angular  y  = /t si  es constante, t=, con lo que queda:



e = Nmax sen t 10-8

e = Emax sen t

e = Emax cos (t - /2)

es decir que la tensión inducida es senoidal en cuadratura (en atraso) respecto del flujo que atraviesa la espira (o bobina si N no es igual a uno).



Los generadores reales aprovechan mejor los materiales y el espacio adoptando una configuración multipolar. Con varios pares de polos se obtiene más de un ciclo por vuelta resultando la frecuencia de la tensión generada f = n p/60 en hertz (ciclos/segundo) si n es la velocidad de rotación en r.p.m. (revoluciones por minuto) y p el número de pares de polos.




Es normal que el elemento rotativo sea el campo magnético, ya que puede ser más liviano y simple, y las bobinas están fijas. En este caso el rotor se denomina "rueda polar" y la estructura permite una configuración de mayor número de bobinas inducidas con lo que se puede obtener generadores polifásicos que funcionan con velocidades relativamente bajas para lograr igual frecuencia de salida.


II - C.2 - Algunas propiedades y operaciones.


Llamaremos onda senoidal, o armónica del tiempo, a cualquier señal que pueda expresarse analíticamente como una función seno o coseno. Es normal utilizar como forma básica el coseno y entonces, recordando que A cos (t - 90º) = A sen (t), la forma general será:
f(t) = A cos (t + )
Tomemos dos ondas senoidales de igual frecuencia y deseamos obtener su suma:
e1(t) = E1max cos (t + 1)
e2(t) = E2max cos (t + 2)
e(t) = e1(t) + e2(t) = Emax cos (t + )

|Emax|2 = [|E2max| + |E1max| cos(2 - 1)]2 + [|E1max| sen(2 - 1)]2 =


= |E2max|2 + |E1max|2 cos2(2-1) + 2|E2max||E1max| cos(2-1) +
+ |E1max|2 sen2(2-1) =
= |E2max|2 + 2|E2max||E1max|cos(2-1) + |E1max|2[cos2(2-1)+sen2(2-1)]
|Emax|2 = |E2max|2 + |E1max|2 + 2|E2max||E1max|cos(2-1)
Esta expresión es el llamado "teorema del coseno".
Para calcular el ángulo de fase utilizamos la ecuación:
= arctg{[|E1max|sen(1)+|E2max|sen(2)]/

/[|E1max|cos(1)+ |E2max|cos(2)]}


La composición de ondas senoidales de la misma frecuencia resulta en otra senoide de igual frecuencia, sólo cambia la amplitud y el ángulo de fase pero no su forma de onda.

Veamos la suma de dos ondas senoidales:


f(t) = A cos t + B sen t
hacemos: A = C cos  y B = C sen 
con: C = (A2 + B2)1/2 y  = arctg (B/A)
resulta: f(t) = C[cos cost + sen sent]
o sea: f(t) = C cost + )
similar a lo que vimos antes.
Si aplicamos la diferenciación:
f(t) = d[A cost + )]/dt
obtenemos: f(t) = -A sent + )
puesto en forma de coseno: f(t) = A cost)
La amplitud está multiplicada por , la frecuencia es la misma y la fase es de +/2 o sea 90º en adelanto.
Por otra parte si aplicamos la integración entre - y t es matemáticamente indeterminada, por ello tomamos como límite inferior a T que haremos tender luego a -, es decir:

será:

el segundo término de la expresión varía entre +1 y -1 conforme T tiende al límite; como en estado estacionario no nos incumbe podemos descartarlo. Por otra parte desde el punto de vista físico podemos asegurar que la función es cero al comienzo de los tiempos. Luego:
f(t) = (A/ cost)
La amplitud resulta dividida por  esta frecuencia no cambia y la fase resulta en un atraso de /2 o 90º.

En general vemos que las operaciones afectan la amplitud y la fase pero no a la frecuencia. Excitando un circuito lineal con una señal senoidal veremos entonces que la respuesta será otra señal senoidal de igual frecuencia pero de distinta amplitud y fase, y estas son funciones de la frecuencia.

Las relaciones estímulo-respuesta de las redes R-L-C son las curvas de respuesta en amplitud y fase graficadas en función de la frecuencia. Por ello se dice que están en el dominio de la frecuencia y permite desarrollar otros métodos de cálculo.

Otras relaciones que son de utilidad para el manejo de las señales senoidales son las siguientes:


sen (  ) = sen cos  sen cos

cos (  ) = cos cos  sen sen

sen  + sen  = 2 sen ½() cos ½()

sen  - sen  = 2 sen ½() cos ½()

cos  + cos  = 2 cos ½() cos ½()

cos  - cos  = -2 sen ½() sen ½()

sen  sen  = ½[cos () - cos ()]

sen  cos  = ½[sen () + sen ()]

cos  cos  = ½[cos () + cos ()]

sen 2 = 2 sen  cos 

sen  = 2 sen ½ cos ½

cos 2 = cos2 - sen2 = 2 cos2 -1 = 1 - 2 sen2

cos  = cos2 ½ - sen2 ½ = 2 cos2 ½ -1 = 1 - 2 sen2 ½

sen2 = ½ (1 - cos 2)

cos2 = ½ (1 + cos 2)

II - C.3 - Valores característicos.


Definimos el valor medio de la onda senoidal, tal como lo dijimos para todas las señales simétricas, como el promedio sobre un medio ciclo (positivo o negativo), ya que si tomamos todo el ciclo tendremos un valor igual a cero.

Entonces:



si recordamos que  = 2f = 2(1/T), resulta que el valor medio es:

Imed = 2Imax/

Por su parte el valor eficaz resulta:

por consiguiente resulta que:


Ief = Imax/


A partir de los valores encontrados se definen los factores de pico y de forma dados por:


Fpico = Imax/Ief = = 1,41


Fforma = Ief /Imed = /2 = 1,11
El factor de pico nos indica la relación entre el valor máximo de la función, que determina el requerimiento de aislación en el caso de una tensión o la capacidad del dispositivo para soportar una corriente, y su valor eficaz, que determina la capacidad energética.

El factor de forma relaciona la capacidad energética con la componente de corriente o tensión continua que obtendríamos al rectificar la señal.

II - C.4 - Respuesta de los elementos simples.

Conforme a la ley de Ohm la tensión en la resistencia esta dada por:
e = R i

siempre que se respete la convención del sentido de la corriente y la polaridad de la tensión. Si la corriente es senoidal tendremos que:

i = Imax cost e = R Imax cost = Emax cost
Se modifica sólo la amplitud, pero no la frecuencia ni la fase. Debemos informar que el valor de una resistencia real puede variar en función de la temperatura y de la frecuencia, esto último por el llamado efecto pelicular que provoca en los conductores que la conducción de la corriente se haga en forma no homogénea por todo el material, concentrándose hacia la periferia.

En la inductancia la relación tensión-corriente es:




e = L (di/dt)


que con: i = Imax cost
resulta:

o sea:



Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en adelanto de la tensión respecto de la corriente de /2 o 90º. La amplitud es también función, directamente proporcional, de la frecuencia. La inductancia se comporta en este aspecto como una resistencia particular que no sólo depende del valor de inductancia. A esta resistencia, que además provoca el cambio de fase de /2 o 90º, la denominamos reactancia inductiva y la definimos como:
XL = L
Esta reactancia también se expresa en ohmios () ya que su producto por una corriente en amperios debe dar la tensión en voltios (las funciones seno y coseno son adimensionales).

Si analizamos ahora la respuesta del capacitor tendremos que la relación entre la tensión y la corriente es:



que con: i = Imax cost
resultará:

donde a es un valor que varía entre +1 y -1 a medida que tendemos al límite inferior. Si asumimos que estamos en régimen permanente esa variación no nos incumbe y, por otra parte, físicamente podemos asegurar que vale cero en el comienzo de los tiempos por lo que podemos descartarla.

En consecuencia:



Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en atraso de la tensión respecto de la corriente de /2 o -90º. La amplitud es también función, inversamente proporcional, de la frecuencia. El capacitor se comporta en este aspecto como una resistencia particular que no sólo depende en forma inversa del valor de la capacidad (o directamente de la elastancia). A esta resistencia, que además provoca el cambio de fase de -/2 o -90º, la denominamos reactancia capacitiva y la definimos como:
XC = 1/C = S/
Esta reactancia también se expresa en ohmios ().

Hemos obtenido las tensiones en los elementos en función de la corriente senoidal que los atraviesa. Veamos ahora las relaciones recíprocas.



Conforme a la ley de Ohm la tensión en la resistencia esta dada por:
i = G e

siempre que se respete la convención del sentido de la corriente y la polaridad de la tensión. Si la corriente es senoidal tendremos que:

e = Emax cost i = G Emax cost = Imax cost
Se modifica sólo la amplitud, pero no la frecuencia ni la fase.

En la inductancia la relación corriente-tensión es:







que con: e = Emax cost
resultará:

donde a es un valor que varía entre +1 y -1 a medida que tendemos al límite inferior. Si asumimos que estamos en régimen permanente esa variación no nos incumbe y, por otra parte, físicamente podemos asegurar que vale cero en el comienzo de los tiempos por lo que podemos descartarla.

En consecuencia:



Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación, en atraso de la corriente respecto de la tensión, de -/2 o -90º. La amplitud es también función, inversamente proporcional, de la frecuencia. La inductancia se comporta en este aspecto como una conductancia particular que no sólo depende en forma inversa del valor de inductancia. A esta conductancia, que además provoca el cambio de fase de -/2 o -90º, la denominamos susceptancia inductiva y la definimos como:
BL = 1/L = /

Esta reactancia también se expresa en mhos [℧] o siemens [S].

Si analizamos ahora la respuesta del capacitor tendremos que la relación entre la corriente y la tensión es:


i = C (de/dt)


que con: e = Emax cost
resulta:


o sea:


Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en adelanto de la corriente respecto de la tensión de /2 o 90º. La amplitud es también función, directamente proporcional, de la frecuencia. El capacitor se comporta en este aspecto como una conductancia particular que no sólo depende del valor de la capacitancia. A esta conductancia, que además provoca el cambio de fase de /2 o 90º, la denominamos susceptancia capacitiva y la definimos como:
Bc = C
Esta susceptancia también se expresa en mhos o siemens (S).

En función de lo determinado hasta ahora podemos enunciar el teorema para los circuitos lineales:

Si la tensión o la corriente en cualquier parte de una red lineal es senoidal, las tensiones y corrientes en todo la red serán senoidales de igual frecuencia.

Si lo extendemos a la frecuencia cero dirá que si en una parte del circuito la tensión o la corriente es continua constante lo será en toda la red.

Debe aclararse que esto es cierto en condiciones de régimen permanente, es decir cuando han desaparecido los efectos de un disturbio o cambio en la red. Es decir cuando se ha estabilizado el circuito y desapareció el transitorio.
II - C.5 - El concepto de impedancia y admitancia.
Analicemos un circuito serie R-L excitado por un generador de tensión senoidal:


es(t) = Emax cost


La ecuación de equilibrio es:
L(di/dt) + Ri = Emax cost
La solución será:
i(t) = Imax cost + )
di(t)/dt = -Imax sent + )
Reemplazando en la ecuación de equilibrio:
[-Lsent + ) + R cost + )] Imax = Emax cost
si: sent + ) = sent cos + sen cost
y: cost + ) = cost cos - sen sent
[-L sent cos- L sen cost + R cost cos -
- R sen sent] Imax = Emax cost
Imax [(-Lcos-Rsensent+(-Lsen+Rcoscost = Emaxcost
[Imax(Rcos-LsenEmax]cost-Imax(Rsen+Lcossent = 0
Para que una expresión del tipo A cos a - B sen a sea siempre igual a cero deben ser nulas A y B, luego:
Imax(Rcos-LsenEmax = 0
Imax(Rsen+Lcos = 0

De la segunda ecuación obtenemos que:


Rsen-Lcos sencostg = -L/R
de donde:
y
Reemplazando en la primera ecuación del sistema:

luego:

finalmente:


Es decir que la relación tensión a corriente viene dada por los elementos del circuito y de la frecuencia, y no del tiempo. Podemos poner entonces que:

y llamamos a Z la impedancia del circuito por su semejanza al efecto de la resistencia, aunque depende, en su magnitud y rotación de fase que produce, de la frecuencia angular .

Vemos que la impedancia es semejante a un número complejo que tiene una parte que no produce rotación de fase (la resistencia) y otra que provee una rotación de fase de /2, que llamamos reactancia.

Cuando analizamos la respuesta del capacitor vimos que provocaba una rotación de fase contraria a la inductancia. Por ello podemos anticipar que un circuito más complejo tendrá una componente reactiva dada por la diferencia entre la reactancia inductiva y la capacitiva, con una rotación de /2 del sentido de la mayor.

Dualmente y recíprocamente, obtendríamos el concepto de admitancia, que indicamos con Y. Con una parte que no provee rotación de fase, la conductancia, y otra que provee una rotación de /2, la susceptancia. Esta última como diferencia entre la capacitiva y la inductiva.

Tal como en el circuito resistivo puro la relación entre la tensión y la corriente la definen los elementos y su combinación en el mismo.

Para completar el concepto veamos un circuito paralelo con los tres elementos pasivos y un generador senoidal de corriente:

La ecuación de equilibrio

es:



si: is(t) = Imax cost
será: e(t) = Emax cos(t + )

y entonces:




[G(costcos-sen sent)-(C-/sentcos+sencost)]Emax -
- Imax cost = 0
agrupando:
[Emax(Gcos-CsenImax]cost-
-Emax(Gsen+Ccossent = 0

en resumen:


Emax(Gcos-CsenImax = 0
Emax(Gsen+Ccos = 0
De la última ecuación obtenemos:

con lo que:


que reemplazadas en la primera da:

o sea que:



lo que nos permite poner:

La respuesta depende exclusivamente de los elementos del circuito a través de la admitancia Y del mismo.

II - C.6 - Representación compleja de senoides.


El fundamento de la notación compleja está en la expresión de Euler:

ejx = cos x  j sen x


de la cual se deducen:
cos x = (1/2)(ejx + e-jx) y sen x = (1/2j)(ejx - e-jx)
Supongamos ahora una función dada por:
f(t) = |F|cos(t+) [1]
si en las expresiones anteriores hacemos x = t+ resultará:

Si definimos la amplitud compleja de la función y la de su conjugada como:

podremos escribir:
[2]
como el segundo término es el conjugado del primero resulta que:
[3]
con Re indicando "parte real de".

La fase está incluida en el carácter complejo de la amplitud.

Las ecuaciones [1], [2] y [3] son distintas expresiones de la misma función. Debe hacerse notar que las dos "componentes" de la ecuación [2] no tienen significado físico por separado, sólo la semisuma de ambas puede representar una tensión o corriente senoidal.

Sin embargo veamos que pasa si excitamos un circuito, por ejemplo R-L, con una tensión dada por:







la ecuación de equilibrio es:

la respuesta será de la forma: ya que satisface la ecuación:

con:


[4]
donde Z = R + jL representa la impedancia compleja del circuito.

Si ahora partimos de una excitación de la forma:



la ecuación de equilibrio es:
y la respuesta será de la forma: ya que satisface la ecuación:


con:

[5]
expresión conjugada de la anterior.

Si ahora aplicamos el principio de superposición tendremos que la respuesta a la semisuma de las excitaciones es la semisuma de las respuestas encontradas. Luego si:


será:


que podemos poner:




es decir que podemos obtener la respuesta usando sólo la parte real de la tensión como excitación.

Aquí podemos notar que si se parte de la función seno se llega a la conclusión de que es suficiente tomar la parte imaginaria, y precisamente como el coseno es la parte real es la forma más utilizada.

Volviendo al caso analizado, y mientras se sobreentienda que tomamos sólo la parte real, podemos establecer la correspondencia, no igualdad:

[6]

y

[7]


donde las amplitudes complejas están dadas por:

Puesto que esta relación está definida físicamente por el circuito resulta que las propiedades de éste vienen expresadas totalmente por la impedancia compleja Z.

La expresión:




puede ponerse en forma trigonométrica:

mientras que:




Si para la impedancia adoptamos la forma polar:

se tiene:




por consiguiente el ángulo de fase de la corriente se halla comprendido en el carácter complejo de su amplitud.

Si estamos en el estado estacionario podemos desprendernos del factor ejt resultando las únicas cantidades importantes E, I y Z que son complejas y se relacionan por la expresión de la ley de Ohm:


E = I Z
La notación compleja permite tratar con toda corrección la adición de senoides de igual frecuencia pero distintas amplitudes y ángulos de fase.

Si volvemos a la primera expresión de Euler:


ejx = cos x  j sen x
vemos que representa a un vector unitario ubicado con un ángulo x del eje real. Esto implica que el factor ej que ponemos en la cantidad compleja , amplitud de la señal f(t), está indicando la posición de ese vector con su ángulo de fase por lo que se lo denomina fasor. Al multiplicarlo por ejt lo que hacemos es introducir la rotación del mismo alrededor del origen con velocidad angular . La parte real, proyección sobre este eje, resulta ser la función coseno, mientras que la imaginaria es la función seno.

Para t = 0 Para t = t


En general tendremos:
[A]
[B]
ambas igualmente útiles.

El caso más general puede considerarse una combinación lineal de componentes seno y coseno aplicando la relación:


i(t) = |I|cos(t + ) = |I|coscost - |I|sensent
si hacemos A = |I|cos y B = |I|sen tendremos:
i(t) = A cost - B sent

luego: I = A + jB
con:


y:

Si en las expresiones [A] y [B], o en las [6] y [7], anteriores

obviamos el factor ejt, dando por establecida la frecuencia  con la que trabajamos, equivale a "subirnos a la calesita" trabajando con los fasores como simples complejos. Esto nos evita usar la geometría vectorial para su análisis, recurriendo al álgebra compleja.

Como ahora nuestra variable resulta ser la frecuencia decimos que estamos en el dominio de la frecuencia al cual hemos llegado desde el dominio del tiempo donde tiene existencia real la función senoidal.

Al prescindir del factor ejt dijimos que los fasores dejan de girar, lo que nos queda es su posición "inicial", el ángulo de fase. Realmente esta posición absoluta no es importante ya que, estrictamente, depende del instante en que consideremos que es el "inicial". Lo realmente definitorio es la posición relativa de todos los fasores que estemos analizando por lo que se puede prescindir de los ejes y dejar sólo los fasores; y a partir de esto poner a cualquiera en forma horizontal (girando a todos un mismo ángulo) y transformándolo así en el fasor de referencia.

Hay que hacer notar que estamos considerando fasores que giran a la misma velocidad (es decir igual frecuencia angular ). No podemos poner en la misma gráfica fasores de distinta frecuencia porque obviamente la posición relativa de ellos varía en el tiempo.

No obstante suprimir el factor ejt en las expresiones no debemos olvidar su existencia en las operaciones de integración y derivación transformadas: dividir y multiplicar, respectivamente, por j.

El uso de estas expresiones simplificadas, transformadas al dominio de la frecuencia se denomina "Cálculo Simbólico" por cuanto no utilizamos la función real sinó elementos, símbolos, que las representan.

II - C.7 - Relaciones fasoriales.
Para la resistencia tenemos que: v(t) = R i(t), aplicando la tensión compleja:
Vmax ej(t+) = Vmax cos(t+) + j Vmax sen(t+)
y supongamos la corriente compleja:
Imax ej(t+) = Imax cos(t+) + j Imax sen(t+)
obtenemos: Vmax ej(t+) = R Imax ej(t+)
suprimiendo ejt en ambos términos:


Vmax ej = R Imax ej en forma polar


en general resulta la expresión fasorial:
V = R I con  = 
En el dominio del tiempo si:
v(t) = 8 cos(100t - 50º) [voltios] y R = 4 [ohmios]
es:
i(t) = v(t)/R = 2 cos(100t - 50º) [amperios]
En el dominio de la frecuencia:
V = 8 -50º [voltios] y I = V/R = 2 -50º [amperios]
Para la inductancia es:
v(t) = L di(t)/dt
si excitamos con la tensión compleja:

Vmax ej(t+) = jL Imax ej(t+)
Vmax ej = jL Imax ej
obtenemos la relación fasorial:
V = jL I
En el dominio del tiempo si suponemos la tensión:
v(t) = 8 cos(100t - 50º) [voltios] y L = 4 [henrios]
será:


[amperios]

En el dominio de la frecuencia:


V = 8 -50º [voltios] e I = V/jL = [8 -50º]/(jx100x4)=

= [8 -50º]/[400 +90º] = 0,02 -140º [amperios]
que podemos interpretar como:
i(t) = 0,02 cos (100t - 140º) [amperios]
ya que estamos en el dominio de la frecuencia  = 100 y hemos trabajado con la función coseno.

Para la capacidad es:



excitando con tensión fasorial:


que se puede poner:

I = jC V
Si comparamos estas expresiones con las que obtuvimos en el dominio del tiempo, y recordamos que multiplicar por el operador j significa rotar +/2, veremos la total correspondencia.

Cuando definimos el concepto de impedancia analizamos un circuito R-L, veamos cómo lo hacemos utilizando el cálculo simbólico.

Si pasamos al dominio de la

frecuencia:









 = 0º - z = -z

finalmente:

que coincide exactamente con los valores encontrados, ya que pasando al dominio del tiempo obtenemos:



Si ahora, para terminar, vemos el ejemplo del circuito paralelo R-L-C. Tenemos que la ecuación de equilibrio es:




con: is(t) = Imax cost
pasando al dominio del tiempo:








Que podemos interpretar como:

para lo cual hemos recordado que trabajamos con la función coseno y estamos en el dominio de la frecuencia . Si hubiésemos trabajado con la función seno no habría cambiado nada del procedimiento, sólo en la expresión final se cambiaría el coseno por el seno.

A este respecto debemos de recalcar que si trabajamos con varias funciones de excitación todas deben ponerse previamente en función del seno o del coseno, no podemos mezclar las funciones por cuanto entre ellas hay una diferencia de fase de /2.

La segunda aclaración que debemos hacer es que, normalmente, las señales armónicas se expresan en su valor eficaz y no en su amplitud, por ello para pasar al dominio del tiempo debemos multiplicar el resultado por el factor de pico (raíz cuadrada de dos) si hemos partido de información dada en el dominio de la frecuencia.

II - C.8 - Ejemplo de cálculo.


Veamos un circuito paralelo R-L-C:


is(t) = 5 cos10t + 30º) A.


R = 10 Ω
L = 3 H
C = 0.005 F
Tenemos que la ecuación de equilibrio es:

pasando al dominio de la frecuencia ( = 10):


IS = 5 30º = 5 cos 30º + j 5 sen 30º = 4.33 + j 2.5 A


G·E + (/j)·E + jC·E = IS
[(1/R) - j(1/L) + jC]·E = IS
Y = [(1/R) - j(1/L) + jC]

reemplazando valores:


Y = (1/10) - j[1/(10·3)] + j(10·0.005) =

= 0.1 + j(0.05 - 0.033) = 0.1 + j0.0167


|Y| = ( G2 + B2 )1/2 = 0.0103
Y = arctg (B/G) = arctg 0.167 = 9,48º
luego es:
E = IS/Y = ( 5 30º / 0.0103 9.48º ) =
= 485.4 20.52º volts
Volviendo al dominio del tiempo:
e(t) = 485.4 sen (10t + 20.52º) volts
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