Teoría de los Circuitos I cap



Descargar 255.12 Kb.
Página1/2
Fecha de conversión24.05.2018
Tamaño255.12 Kb.
  1   2

TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I

CAPÍTULO II

SEÑALES


Parte A: INTRODUCCIÓN
Parte B: FUNCIONES SINGULARES
Parte C: ONDAS SENOIDALES

Ing. Jorge María BUCCELLA

Director de la Cátedra de Teoría de Circuitos I

Facultad Regional Mendoza

Universidad Tecnológica Nacional

Mendoza, Septiembre de 2001.-



ÍNDICE
Parte A: INTRODUCCIÓN 3

A.1 Clasificación de las señales de acuerdo con su

variación en el tiempo 3

A.2 Valores característicos 4


Parte B: FUNCIONES SINGULARES 7

B.1 Introducción 7

B.2 Definición de las funciones 7

B.3 Representación de ondas utilizando funciones

singulares 11

B.3.1 Representación de formas de onda arbitrarias por

trenes de funciones escalón 13

B.3.2 Representación de formas de onda arbitrarias por

trenes de funciones impulso 14

B.4 Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares 15


Parte C: ONDAS SENOIDALES 17

C.1 Introducción 17

C.2 Algunas propiedades y operaciones 19

C.3 Valores característicos 21

C.4 Respuesta de los elementos simples 22

C.5 El concepto de impedancia y admitancia 26

C.6 Representación compleja de senoides 29

C.7 Relaciones fasoriales 33

C.8 Ejemplo de cálculo 37
TOTAL = 38

II   SEÑALES
Parte A - INTRODUCCIÓN
II - A.1 - Clasificación las señales de acuerdo con su variación en el tiempo.
Denominamos señal a toda tensión, corriente y, eventualmente, potencia con la que trabajamos o analizamos en nuestros circuitos. Conceptualmente no hay diferencia con lo que denominamos ruido, ya que la separación está sólo en el hecho de ser deseada o no.

La clasificación de las señales se hace según distintos aspectos. La primera que puede indicarse es tener en cuenta si cambia o no de sentido o polaridad en el intervalo considerado, en función de ello decimos que:

Una señal es continua si no cambia de sentido o polaridad en el periodo de tiempo analizado, aún cuando se haga cero en algún, o algunos, instantes. Caso contrario es clasificada como alterna. Debemos enfatizar que estrictamente esta clasificación es independiente de la ley de variación que tenga; en la jerga técnica suele entenderse como continua a aquella que, además, es constante y como alterna aquella que, además, es senoidal simétrica, pero esto es un hecho particular.

Señal continua Señal alterna


La segunda clasificación es de constante o variable, siendo constante aquella que no cambia de valor ni sentido en el tiempo y variable en el caso contrario. De hecho una señal constante sólo puede ser continua aunque una continua puede ser constante o variable.

Dentro de las variables podemos clasificar a su vez en periódicas o en aleatorias. Periódica es aquella señal en la que puede reconocerse una ley de variación que se repite a intervalos iguales, matemáticamente podemos indicar que f(t) = f(t+T) donde T es el período. Aleatoria es aquella en la que no se encuentra un período de repetición. Esta clasificación es independiente del hecho de ser continua o alterna.

Para dar una idea mejor del tipo de señal a la cual nos estamos refiriendo se indica el nombre que mejor se aproxima a la forma del gráfico representativo. Así es como tenemos ondas senoidales, o armónicas, ondas cuadradas, diente de sierra, etc.

Señal periódica Señal aleatoria o aperiódica

II - A.2 - Valores característicos.
En la especificación y evaluación de cada señal podemos establecer distintos conceptos.

Para la señal periódica en general podemos definir los siguientes conceptos en función del tiempo:



Ciclo: intervalo en que la onda vuelve a tomar el mismo valor y comienza otro repetitivo del primero.

Período [T]: tiempo de duración de un ciclo, se expresa normalmente en segundos.

Frecuencia [f]: cantidad de ciclos cumplidos en una unidad de tiempo. Resulta ser la inversa del período, la unidad es ciclos/segundo denominada Hertz o hertzio [hz].

Para la periódica senoidal tenemos, además de los anteriores:



Pulsación []: número de radianes por segundo, frecuencia angular,  = 2f, donde f es la frecuencia.

Fase: ángulo con respecto a un punto de referencia. Expresa también tiempos en función de la frecuencia angular. Por ejemplo para medir el desplazamiento entre dos señales o entre dos eventos de una misma señal.

Para las señales asimétricas, en particular cuadradas y pulsos, se establece el:



Ciclo de trabajo (duty cycle): relación de tiempos entre el intervalo activo (o alto) y el pasivo (o bajo), por ejemplo 40/60%.

En función de la magnitud que toma la señal se definen los siguientes valores característicos:



Instantáneo: valor que toma la señal en un instante determinado.

Máximo o pico: es el mayor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado.

Mínimo: es el menor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado. Si la señal es alterna se corresponde con el máximo negativo.

Excursión o pico a pico: diferencia entre el valor máximo y el mínimo. O entre el pico positivo y el negativo.

Dentro de un intervalo definido se evalúan los siguientes valores que son utilizados para caracterizar a la señal:



Valor medio o promedio: promedio aritmético de los valores instantáneos de la señal en el intervalo.

Matemáticamente:



Para las señales periódicas, si no se especifica lo contrario, se establece para un ciclo; si estas señales son, además, simétricas se lo define sobre un medio ciclo, el positivo o el negativo (que obviamente son iguales); de no hacerlo así sería siempre nulo.



Valor medio cuadrático, valor eficaz o valor RMS: raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la función en el intervalo considerado. Es decir:

Este valor se establece como el valor de una tensión o corriente continua constante que desarrollaría la misma potencia sobre una resistencia que el desarrollado por la señal analizada. Valor que se usa para indicar las magnitudes de las señales senoidales en el uso común, en lugar del valor pico que debería usarse formalmente.

Evaluados los valores anteriores, ya sea por integración matemática, si se conoce la función, o gráfica, en caso contrario, se establecen factores característicos llamados:

Factor de amplitud o de cresta o de pico: es la relación entre el valor pico de la señal y su valor eficaz.

Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la señal. Para el caso de este último en señales simétricas se toma el valor medio extendido a un semiperíodo.

Como ejemplo veamos la siguiente señal:



La podemos definir como una señal triangular asimétrica, por su forma. Es una señal alterna periódica. Los valores que podemos determinar son:


Período = 14 unidades de tiempo
Frecuencia = 1/14 ciclos por unidad de tiempo
Valor máximo = 8 unidades de amplitud
Valor mínimo = -4 unidades de amplitud
Excursión = 12 unidades de amplitud
Valor medio = área encerrada por la función dividida por el período:
[(6·8)/2 + (3·8)/2 - (2·4)/2 - (3·4)/2]/14 = 1.857
Valor eficaz = área encerrada por la función elevada al cuadrado dividida por el período, y extraída la raiz cuadrada:

{[(6·64)/2 + (3·64)/2 + (2·16)/2 + (3·16)/2]/14}1/2 = 4.840



Parte B: FUNCIONES SINGULARES
II - B.1 - Introducción
Desde la publicación de Oliver Heaviside "Electrical Papers" en 1892, los físicos e ingenieros en electricidad han utilizado las funciones singulares, o funciones de cambio (switching functions), en una base mas o menos empírica. Heaviside, entendiendo a la matemática como una ciencia experimental, razonaba: "Si un cierto procedimiento matemático produce resultados correctos, entonces está justificado". La exactitud del resultado puede normalmente ser verificado independientemente. Lo importante es la posibilidad de obtener resultados.

Este punto de vista es anatema para los matemáticos y por años insistieron en que dichas funciones no podían existir. Pese a lo cual se siguieron utilizando y en 1951 Laurent Schwartz en su "Theorie des Distributions" inventó una clase especial de funciones llamadas funciones de distribución. Estas funciones no son funciones comunes y están definidas solamente en un espacio abstracto, pero dan una representación matemáticamente rigurosa de las funciones singulares. Nosotros seguiremos utilizándolas en forma intuitiva.

Las funciones singulares son aproximaciones a las formas de onda de interruptores e inversores y las idealizamos de la misma forma, y por iguales motivos, que idealizamos los elementos de las redes. Es mucho más fácil resolver un problema donde un interruptor tiene sólo dos posiciones, abierto y cerrado, que tener en cuenta la complicada transición entre los dos estados. El problema matemático llega al considerarse que la transición ocurre en un tiempo igual a cero. Nuestra consideración evitará el problema no llegando nunca exactamente al instante cero. De hecho si la conmutación ocurre en el tiempo cero partiremos el instante cero en tres partes: 0-, el instante exactamente antes de que se cierre la llave; 0, el momento justo en que se cierra; y 0+, el instante exactamente posterior al cierre. Estos instantes están separados por un intervalo despreciablemente corto, pero de todas maneras finito.

II - B.2 - Definición de las funciones


Una fuente de corriente, o de tensión, constante que se conecta de una red puede ser representada por la función escalón.

La función escalón Escalón de tensión Escalón de corriente

cuando se cierra cuando se abre

Analíticamente la indicamos como:

La función es cero para todo valor de tiempo negativo, y uno para todo tiempo positivo. La operación de cambio (cierre en el ejemplo de tensión, apertura en el de corriente) ocurre en el corto intervalo entre 0-, donde la función es cero, y 0+, cuando la función es igual a uno. En el instante t = 0 está indeterminada.

Para el ejemplo del generador de tensión la fuente quedará aplicada cuando se cierre la llave, la tensión de salida pasará de cero al valor de E voltios. Analíticamente podemos expresarla como:
e(t) = Eu-1(t)
La función u-1(t) multiplica a E por cero para todo t<0 y por uno para todo t>0. El resultado es simplemente cortar la tensión para valores negativos de t.

En forma análoga podemos representar la apertura de la llave en el circuito del generador de corriente:


i(t) = Iu-1(t)
Esta función escalón es la más fácilmente entendible ya que representa la acción de operar una llave para conectar, o desconectar un circuito. Sin embargo debemos tener en cuenta que los circuitos procesan las señales de excitación pudiendo dar como respuesta una señal proporcional a esa excitación pero también a su integral o a su derivada. Consecuentemente debemos pensar en los resultados que esa señal escalón puede producir en un circuito.

La integral de la función escalón es la llamada función rampa unitaria que se define como:



y la obtenemos de:



Esta función tiene una pendiente unitaria porque proviene de un escalón de amplitud unitaria. Si el escalón no es unitario, digamos igual a E, la pendiente de la rampa será también E.

Como vemos en la secuencia gráfica que sigue, la integral de la función rampa es la función unitaria de segundo orden, llamada función parábola unitaria, que se define como:


0 para t<0

y la obtenemos de:

También en este caso vale la consideración del coeficiente que acompaña a la función que será el valor de la pendiente de la rampa de la cual se integra.


Otras funciones singulares se pueden obtener por integración sucesiva de las ya vistas, pero ocurren raramente en los circuitos.

Como resulta evidente podemos lograr la función escalón derivando la función rampa, o ésta última derivando la parábola unitaria.

La derivada de la función escalón unitario es una función muy interesante y tiene una importancia muy grande para el tratamiento de las señales de cualquier tipo, periódicas o no, ya que es la base para el Método de Convolución, y para la definición de la función sistema que caracteriza a una red.

Veamos la siguiente secuencia gráfica:

La primera es una función escalón aproximada, llamada también rampa modificada, y la de abajo es la derivada de la anterior. Vemos que la derivada es nula para todos los valores del tiempo fuera del intervalo -/2 a +/2 en el que vale 1/. El área encerrada por esta derivada es igual al producto de  por 1/, es decir unitaria. Esto es lógico por cuanto, si la segunda es la derivada de la primera, la primera debe ser la integral de la segunda.

Si ahora hacemos tender  a cero resulta en que el intervalo tiende a cero mientras que el valor de la derivada en ese intervalo tiende a infinito pero el área encerrada sigue siendo unitaria.

Pero si hacemos tender a cero al intervalo obtenemos como primera función la función escalón unitaria y como su derivada una función llamada impulso unitario (o función de Dirac).

Usando la notación normalizada podemos expresar que:

El subíndice 0 hace a esta función la básica de las funciones singulares más que el escalón unitario, y así es considerada en los estudios avanzados de este tema.

Ya que el impulso es la derivada del escalón, necesariamente el escalón es la integral del impulso. Por lo tanto el área del impulso debe ser la amplitud del escalón. Por ejemplo si el escalón tiene amplitud A el impulso deberá tener área igual a A.

La función escalón y su derivada el impulso.


Como se puede observar todos los impulsos tienen la misma amplitud infinita y el mismo ancho nulo, la única distinción está en el área contenida que depende de la amplitud del escalón del cual derivan. No hay posibilidad de deducir este valor en función de las escalas del gráfico, por ello se indica la misma entre paréntesis al lado del impulso, en el ejemplo (1).

Podemos seguir obteniendo otras funciones derivando el impulso y así sucesivamente. Para obtener la derivada del impulso podemos considerar un pulso triangular de altura 1/ y ancho 2, (esto es válido porque en realidad la forma del impulso no importa mientras no cambie el área encerrada) y luego hacer tender  a cero con lo que resulta en la función doblete unitario, u1(t), que está compuesta por un pico infinito positivo seguido de uno infinito negativo y para todo el resto del tiempo es cero.



Funciones aproximadas Impulso y doblete


Este doblete unitario tiene la característica que su integral debe ser el impulso del cual deriva, es decir que el área de este último debe ser unitaria si el doblete es unitario, o tener el valor A si el coeficiente del doblete es A.

Como podemos observar el coeficiente que completa la definición de la función singular no tiene, salvo para el escalón, las características de una amplitud estrictamente hablando. Por ende las dimensiones de este coeficiente no son las de una tensión aunque se trate de la función que define la ley de variación de una tensión en el tiempo. Lo que si se puede verificar es que todas las funciones derivadas o integradas a partir de un escalón de amplitud dada tienen el mismo coeficiente.

II - B.3 - Representación de ondas utilizando funciones singulares.
La función escalón tiene su aplicación en el instante t=0. Si queremos que ocurra en otro momento debemos modificar el argumento de la variable de forma que éste sea nulo en el instante deseado. Si cambiamos el argumento de t a t-a obtenemos la función escalón unitaria:

f(t) = u-1(t-a)

cuyo argumento se hace cero en t=a, y en consecuencia el escalón se iniciará en ese instante. Si por otra parte cambiamos t por t+b resulta en la función: u-1(t+b) cuyo argumento se hace cero en t=-b dando lugar a un escalón que se inicia en ese momento.

Vemos entonces que podemos desplazar la función en el tiempo retrasándola agregando un valor negativo al argumento o adelantándola con un valor positivo.

Lo mismo tiene aplicación para el resto de las funciones singulares.



Escalón atrasado en a. Rampa adelantada en b.


Una de las aplicaciones más útiles de la función escalón unitario es la de seccionar o recortar funciones ya que la multiplicación de cualquier función del tiempo por ella hace que el resultado sea cero para cualquier instante en el cual el argumento sea negativo. Es decir que se usa para indicar en que momento se inicia o conecta la función utilizada. Por otra parte el análisis de las redes se hace a partir de un determinado momento, llamado tiempo cero, y las soluciones son válidas sólo a partir de ese instante. Una forma de indicar la no validez de una respuesta para valores anteriores es multiplicarla por el escalón unitario. Por ejemplo la función f(t)=seno(t) tiene validez para todo tiempo de menos infinito a más infinito; pero la función g(t)=seno(t)u-1(t) tiene valor a partir de t=0 siendo nula para todo valor negativo. Se dice que la función ha sido seccionada al origen.

Con los conocimientos recientemente vistos podemos construir funciones de diversas características sumando funciones singulares distintas desplazándolas en el tiempo en forma adecuada.

Por ejemplo: queremos representar un pulso rectangular de amplitud 10 voltios y duración 3 segundos a partir del instante t=0, como el de la figura:

El pulso La combinación de escalones


Si aplicamos un escalón de amplitud 10 en t=0 obtenemos la iniciación de la onda; como el escalón continúa en forma constante hasta t=, pero el pulso no, tendremos que cancelarlo en t=3 con otra función escalón de forma que al sumarla a la otra resulte en el valor cero, es decir que el escalón deberá tener una amplitud igual a -10. Finalmente tendremos que analíticamente el pulso quedará definido como:

f(t) = 10u-1(t) - 10u-1(t-3)

Otro caso:




La función La composición


Para lograr la forma de onda deseada partimos con un escalón de amplitud igual a 5 más una rampa de pendiente 5/3 en el origen. Sumando ambas llegamos al valor de 10 en el instante t=3. Para volver al valor cero aplicamos en t=3 un escalón de amplitud igual a -10. Pero la función rampa inicial sigue existiendo y debemos cancelarla con otra de igual pendiente pero negativa. Así obtenemos que podemos representar analíticamente la función original como:
f(t) = 5u-1(t) + (5/3)u-2(t) - 5u-1(t-3) - (5/3)u-2(t-3)

II - B.3.1 - Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones escalón.


Se denomina tren de funciones escalón a una serie de funciones escalón con amplitudes variables y retardos que aumentan progresivamente. Por un medio de un tren de este tipo es posible obtener una expresión aproximada de una forma de onda arbitraria.

La figura muestra una forma de onda cualesquiera que representaremos por un tren de escalones con un espaciado  entre ellos. El escalón inicial ocurre en t=0 y tiene una altura f(0). Su expresión matemática es:



f1(t) = f(0) u-1(t)

En t= se agrega otro escalón para que la onda representada coincida numéricamente con la original, para ello la altura de este escalón es la diferencia entre el valor de la función en t= y el valor del primer escalón o sea f(0). Este escalón resulta entonces:



f2(t) = [f() - f(0)]u-1(t-) =



= f'() u-1(t-)

donde f'() es la derivada de la función dada evaluada en t=.


Puede verse que un tercer escalón agregado en t=2 tendrá el valor:



f3(t) = f'(2) u-1(t-2)

consecuentemente podemos escribir una expresión matemática para la forma de onda dada:



f(t)= f(0) u-1(t) + f'() u-1(t-) + f'(2) u-1(t-2) + ... ]

Si concordamos en que la expresión dada no es lo suficientemente aproximada podemos reducir el intervalo  hasta que el resultado sea aceptable. En el límite, cuando  tiende a cero, la expresión toma la forma de una integral.

Si queremos resumir el procedimiento podemos decir que el primer escalón es el valor inicial de la función y los subsiguientes tienen la altura necesaria para llegar al valor de la función en el intervalo considerado partiendo el valor de amplitud logrado en el intervalo anterior. Es decir que los escalones tienen la altura diferencia entre el valor anterior y el actual, lo que implica que pueden ser positivos o negativos.

En el ejemplo desarrollado se ha tomado como valor para el intervalo el valor inicial del mismo. Esto da un error en defecto cuando la función es creciente y por exceso cuando es decreciente. En algunos casos esto puede mejorarse tomando el valor final del intervalo o el valor medio del mismo. También es posible ubicar los escalones en cualquiera de los tres instantes, inicial, medio o final, independientemente de la consideración anterior. Cada caso en particular deberá evaluarse para tomar la decisión más correcta en este aspecto.

II - B.3.2 - Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones impulso.
La representación de una onda por medio de un tren de impulsos es más fácil que por un tren de escalones. Debe recordarse que un impulso es simplemente un pulso corto con una amplitud relativamente alta con respecto a su ancho y que su forma realmente no importa siendo significativa solamente su área.

Una función arbitraria podrá ser resuelta por un tren de impulsos si la dividimos primero en secciones las que pueden tener un ancho  uniforme, o no. Nosotros tomaremos para el ejemplo el caso de ancho uniforme.

El área de la primera sección es, aproximadamente,  f(0) y puede ser representada por un impulso que ocurre en algún punto del intervalo t=0 a t=. Por conveniencia, asumimos que lo ubicamos en el inicio del intervalo. Este impulso que representa la primer área es:

f1(t) =  f(0) u0(t)

La función original La aproximación por impulsos


El segundo impulso representando el área correspondiente será:

f2(t) =  f() u0(t-)

y así en forma similar para los demás. Finalmente obtendremos la representación matemática de la onda dada como:



f(t)= f(0) u0(t) + f() u0(t-) + f(2) u0(t-2) + ... ]

Las consideraciones hechas en cuanto a establecer los intervalos y la ubicación de los escalones son también válidas para el tren de impulsos. Si  tiende a cero tendremos una representación exacta de la señal considerada.

Aquí tenemos que recalcar que la aproximación es en función de áreas, no de amplitudes; por consiguiente no tendremos una aproximación visual de la forma de onda, sí en el contenido energético.

II - B.4 - Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares.


El desarrollo de funciones arbitrarias por otras mejor definidas matemáticamente nos permite la evaluación de la respuesta de las redes con excitaciones de cualquier tipo o forma. En particular la respuesta a la función impulsiva será usada para caracterizar la red, conocida ésta será fácil obtener la respuesta a una función cualesquiera si, previamente, la descomponemos en un tren de impulsos. Si el circuito es lineal la respuesta total será la suma de todas las respuestas obtenidas para los impulsos representantes de todas las áreas de la función original. Lo mismo es válido si conocemos la respuesta al escalón o a cualesquiera otra función (en realidad: sea singular o no).

Hemos dicho que la representación de una función por un tren de escalones o impulsos es aproximada, y esta aproximación depende del intervalo elegido. Resulta bastante obvio que la respuesta que obtengamos será también aproximada. La forma práctica de determinar cuando hemos obtenido un error aceptable es realizar la operación dos veces, usando intervalos más pequeños en la segunda vez, y evaluar la magnitud del cambio en la respuesta, si este cambio está dentro del error admisible llegamos a la aproximación aceptable





Compartir con tus amigos:
  1   2


La base de datos está protegida por derechos de autor ©composi.info 2017
enviar mensaje

    Página principal