Tema 1: funciones reales de variable real



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TEMA 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL



  1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Desde nuestra más temprana edad surgen en nosotros los conceptos de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 asociados a los dedos de nuestras manos. Son los diez primeros elementos de un conjunto ilimitado que por surgir de forma natural se llama conjunto de los números naturales. Este conjunto se representa por N y la propiedad fundamental es que cada número natural tiene su siguiente.



En este conjunto es posible encontrar un número que verifique la ecuación , pero no es posible encontrar un natural que sea solución de la ecuación . Esta imposibilidad se resuelve ampliando el conjunto de los números naturales con los números -1, -2, -3,… Así surge el conjunto de los números enteros, representado por Z.

En Z no es posible resolver ecuaciones del tipo . Las soluciones de ecuaciones análogas a esta se encuentran en el conjunto de los números racionales. Estos se representan por Q.

Los números racionales se corresponden con los números enteros, decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. Sin embargo, existen números decimales que ni son exactos ni periódicos, como los siguientes:

Estos números, no racionales, se llaman números irracionales y se representan por I. Los números racionales, junto con los irracionales, forman el conjunto de los números reales, que se denota R.

Recuerda que el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos, C.



    1. ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES.

En el conjunto de los números reales se define una relación de orden (una relación definida en un conjunto es de orden si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva) de la siguiente manera:


Dados los números reales y , decimos que es menor o igual que si se verifica que es un número real positivo o nulo.

Esta relación es de orden total () y es compatible con la suma y el producto.


    1. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.

Sabemos que dado un número real cualquiera , las parejas de números y se llaman opuestos, y si uno de ellos es positivo el otro es negativo. Los números opuestos nos permiten dar la siguiente definición de valor absoluto de un número real:


El valor absoluto de un número real , indicado por , se define como el número positivo entre y si . Además .
De otra forma.


Las propiedades más interesantes del valor absoluto son las siguientes:


  1. Si con , entonces









  1. LA RECTA REAL.

Los distintos conjuntos numéricos se pueden representar en una recta, en la que fijamos un punto origen, que identificamos con el cero, y una unidad.

Los números reales llenan por completo la recta. Por esta razón a ésta se le llama recta real. A cada punto de la recta real le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta real. Por ello es equivalente hablar de puntos de la recta o de números reales.
2.1. INTERVALOS Y ENTORNOS EN LA RECTA REAL.
Dentro de la recta real podemos definir un gran número de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones.


SUBCONJUNTO

SÍMBOLO

DEFINICIÓN

Intervalo abierto



El intervalo abierto de extremos y es el conjunto de números reales comprendidos entre y .



Intervalo cerrado



El intervalo cerrado de extremos y es el conjunto de números reales comprendidos entre y , incluidos ambos.



Intervalo semiabierto o semicerrado







Entorno (simétrico)



El entorno (simétrico) de centro y radio positivo es el intervalo abierto de extremos y .



Entorno reducido





Entorno lateral a la izquierda





Entorno lateral a la derecha






Intervalos infinitos o semirrectas



















2.1. CONJUNTOS ACOTADOS EN LA RECTA REAL.
Los conceptos que se exponen a continuación están directamente relacionados con la relación de orden en R.
Un subconjunto E de números reales está acotado superiormente si existe un número real K de modo que todos los elementos de E son menores o iguales que K. Al número K se le llama cota superior de E. Simbólicamente:



acotado superiormente por
Un conjunto E acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores. Basta tomar de la forma:
A la menor de todas las cotas superiores de E se le llama extremo superior o supremo de E, sup E. Si el supremo es un elemento de E, se le llama máximo absoluto o simplemente máximo de E y se denota por máx E.

Un subconjunto E de números reales está acotado inferiormente si existe un número real P de modo que todos los elementos de E son mayores o iguales que P. Al número P se le llama cota inferior de E. Simbólicamente:


acotado inferiormente por
Un conjunto E acotado inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. Basta tomar de la forma:
A la mayor de todas las cotas inferiores de E se le llama extremo inferior o ínfimo de E, inf E. Si el ínfimo de E es un elemento de E, se le llama mínimo absoluto o simplemente mínimo de E y se denota por mín E.

Un subconjunto E de números reales está acotado si lo está superiormente e inferiormente. Simbólicamente:



acotado por y

Algunos ejemplos:




    1. El conjunto está acotado inferiormente por 2 y no está acotado superiormente, por tanto, no es un conjunto acotado. Tiene mínimo absoluto 2.




    1. El conjunto está acotado inferiormente por 0 y superiormente por 1, por tanto, es un conjunto acotado. Tiene máximo absoluto 1 y no tiene mínimo absoluto.

3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
La relación existente entre dos magnitudes suele venir dada por medio de una fórmula o expresión matemática llamada función.
Una función real de variable real es una correspondencia según la cual a cada elemento de un subconjunto de R, llamado dominio de la función, , le corresponde uno y sólo un elemento de otro subconjunto de R, llamado conjunto imagen o recorrido de la función, .

Una función real de variable real se puede expresar de la siguiente forma:



La función se llama real porque el conjunto final es R y se llama de variable real porque el conjunto inicial es R.

Dominios de las funciones más usuales:



  • Funciones polinómicas. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales.




  • Funciones racionales. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, excluidos los ceros o raíces de la ecuación del denominador.




  • Funciones irracionales del tipo . Si es impar, el dominio de coincide con el dominio de , y si es par, el dominio de es el conjunto de números reales tales que .


si es impar;

si es par


  • Funciones trigonométricas. Las del tipo y tienen por dominio el dominio de . Las funciones del tipo tienen por dominio:




  • Funciones exponenciales. El dominio de estas funciones, con y , coincide con el dominio de .




  • Funciones logarítmicas. El dominio de este tipo de funciones, con y , es el subconjunto de los números tales que hacen positivo.




4. CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES
4.1. FUNCIONES SIMÉTRICAS
Resulta de gran interés el estudio de las posibles simetrías que pueden presentarse en la representación gráfica de una función. Entre otras se describen las simetrías respecto del eje de ordenadas y respecto del origen de coordenadas:
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas o eje 0Y si verifica:

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se llaman funciones pares.


Ejemplo: La función es una función par.
Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica:

Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas se llaman funciones impares.
Ejemplo: La función es una función impar.


4.2. FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función es periódica de periodo si verifica:

Al menor valor que toma T se le llama período principal de la función. Cualquier múltiplo del período principal es también un período de la función.
Ejemplo: La función mantisa, o función que nos da la parte decimal de un número real, es una función de periódica de período una unidad.


4.3 FUNCIONES ACOTADAS. EXTREMOS ABSOLUTOS.
4.3.1. Funciones acotadas
Funciones acotadas superiormente

Una función está acotada superiormente por un número real si todos los valores que toma la función son menores o iguales que :



acotada superiormente por
A se le llama cota superior de la función.
Una función acotada superior tiene infinitas cotas superiores. Basta tomar de la forma:
Funciones acotadas inferiormente
Una función está acotada inferiormente por un número real si todos los valores que toma la función son mayores o iguales que :
acotada inferiormente por
A se le llama cota inferior de la función.
Una función acotada inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. Basta tomar de forma:
Funciones acotadas
Una función está acotada si está acotada superior e inferiormente:
acotada por y
Ejemplo: La función coseno está acotada superiormente por 1 e inferiormente por -1. Por lo tanto esta función está acotada.

4. 3. 2. EXTREMOS ABSOLUTOS
Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor de las cotas superiores.
Se llama máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo superior o supremo cuando es alcanzado por la función.
Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de las cotas inferiores.
Se llama mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior o ínfimo cuando es alcanzado por la función.
Ejemplos:

  1. En la función , el 4 es el extremo superior o supremo (no es máximo absoluto, pues no le alcanza ) y el 0 es el mínimo absoluto.

  2. En la función , el 0 es el máximo absoluto y el -4 es el extremo inferior o ínfimo (no es mínimo absoluto, pues no le alcanza ).



4.4. MONOTONÍA
La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente al aumentar o disminuir la variable independiente .
4.4.1. Funciones estrictamente crecientes
Una función es estrictamente creciente en un intervalo si y sólo si:

Una función es estrictamente creciente en un punto de abscisa si existe un entorno de , , en el cual la función es estrictamente creciente.
Nota: Si decimos simplemente que una función es estrictamente creciente queremos decir que lo es en todo su dominio. Por ejemplo, la función es estrictamente creciente.
4.4.2. Funciones estrictamente decrecientes
Una función es estrictamente decreciente en un intervalo si y sólo si:

Una función es estrictamente decreciente en un punto de abscisa si existe un entorno de , , en el cual la función es estrictamente decreciente.
Nota: Si decimos simplemente que una función es estrictamente decreciente queremos decir que lo es en todo su dominio. Por ejemplo, la función es estrictamente decreciente.
4.5. EXTREMOS RELATIVOS
Una función tiene un máximo relativo en un punto de abscisa , si existe un entorno de , , tal que para todo que pertenece al entorno reducido se verifica que :

Dicho de otro modo, una función tiene un máximo relativo en un punto si en las proximidades de ese punto es el mayor valor que toma la función.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa , si existe un entorno de , , tal que para todo que pertenece al entorno reducido se verifica que :



En otras palabras, una función tiene un mínimo relativo en un punto si en las proximidades de ese punto es el valor más pequeño que toma la función.

5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La función es una función compuesta de las funciones y , es decir:

Dadas dos funciones y , con , se llama función compuesta de la función con la función (o compuesta con ) a la función que cumple:



Las propiedades de más características de la composición de funciones son:


  • Propiedad asociativa. Tres funciones cualesquiera, y , que se puedan componer, verifican:




  • Propiedad no conmutativa. La composición de funciones, en general, no es conmutativa, es decir:



6. FUNCIÓN INVERSA
Antes de definir la función inversa recordemos que la función identidad se define como la función que transforma cualquier número en sí mismo, es decir, .
La función inversa de una función inyectiva (una función es inyectiva si cada elemento de es imagen de uno y sólo un elemento de ) se representa por y es la función que cumple:

para cualquier perteneciente al .
Las propiedades más características que verifican una función y su inversa son:


  • , siendo la función identidad.




  • Las gráficas de una función y su inversa , referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.


Ejemplo: La inversa de la función es la función

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