Técnicas creativas para la resolución de problemas. José Antonio Fdz Bravo Ed. Wolters Kluwer



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Capítulo 5. SITUACIONES PROBLEMATICAS

1. LO QUE EL PROFESOR NECESITA SABER

Las características de las situaciones-tipo que se presentaran son representadas por una...

...resolución de problemas como diagnostico de dificultades y errores conceptuales. Los desafíos de invención-reconstrucción que se proponen con cada modelo dejan al descubierto la calidad de la adquisición de los conocimientos que posee el alumno; puntos de referencia para que el profesor dirija la enseñanza: avanzar desde el acierto; corregir los contenidos mal asimilados que han provocado el error45.
...flexibilidad y apertura. Adaptación al alumno, pluralidad de alternativas de

aprendizaje; dinamismo. Situaciones problemáticas que contemplen unas pautas correlativas de actuación sin fijarlas a un dogmatismo cerrado y sistemático.



...dimensión formativa. La capacidad de formar a partir de la resolución de pro­blemas en un desarrollo cognoscitivo, social y afectivo.

...amplitud de contextos. Una resolución de problemas que propone situaciones en las que se reconoce la oportunidad de extender el contexto de la validez de los cono­cimientos. No debe entenderse esta característica como un "planteamiento global"; la globalización está confusamente definida y sujeta a múltiples interpretaciones46.

45.- En este sentido, no compartimos la opinión que les merece a los profesores Puig y Cerdan (1988: 41) la invención de problemas, que califican de ingenua. Una ingenuidad que se apoya en el resultado de la invención de una historia a partir de una expresión matemática. El argumento es una cita de Nesher (1980: 41-48), que al pedir a un alumno (siete años) que inventase una historia a partir de la expresión: 1+6 = 7, produjo el siguiente enunciado: "Mama compro una plancha y luego compro seis planchas mas. Ahora tiene siete planchas", y que otro alumno (seis años), para 3+4, dijo: "Me comí tres tazas y cuatro platos..."

Un superficial análisis de los enunciados presentados nos muestra, respecto al primer alumno, que no tiene en su mente la formalización de la presentación expresiva de un problema, y no que haya cometido error alguno. ¿Por qué tiene que saber este alumno que lo que hay después del signo igual es la respuesta a una pregunta?, ¿por qué la igualdad presenta el contenido de la pregunta?, ^por que no es cierto que tenga ahora siete planchas?, £por que tiene que entender el alumno que inventar una historia, significa que el adulto que se lo propone quiere que invente un enunciado con una pregunta? Respecto al segundo alumno, es importantísimo lo que nos ha mostrado: un posible error del concepto suma, en una no acertada aplicación con distintas ciases de elementos. Pero eso no es un posible error de resolución de problemas, es un error por mala asimilación en una didáctica operacional, cuya función es del maestro. Nos hemos referido a este alumno siempre desde un posible error, debido a que para considerarlo error habría que dialogar con él. Si observamos la clase tazas y la clase platos vemos que es posible que este alumno los ligue, en su experiencia, a una sola clase de elementos, esos "cacharritos" con los que el juega. Entonces, la intención sería buena, aunque no la expresión, que habría que canalizar ortodoxamente desde el vocabulario que él ha empleado.

Seguramente, estos errores no hubiesen aparecido en la resolución de un problema ya creado por el profesor: "En la mesa hay una taza. Traen seis tazas más. ¿Cuántas tazas hay, ahora, en la mesa?" Los niños lo resuelven: 1+6=7, y todos tan contentos. Pero la enseñanza no se desarrolla al ocultar los errores, sino al descubrirlas.

Por otro lado, si calificamos de ingenua la actividad por el hecho de que el alumno la realice mal. y extendiésemos esta verdad, tendríamos que considerar ingenuos todos los problemas propuestos que el alumno no logre resolver con éxito. Así, podríamos decir, los problemas que poseen en su contenido implícito relaciones multiplicativas son ingenuos porque, ante esta situación: "Un mue­ble tiene cinco estanterías. En cada estantería hay 7 libros, y sólo siete. ¿Cuántos libros hay en ese mueble?", un grupo considerable de alumnos produjo la siguiente resolución: 5 + 7 = 12. La inge­nuidad del maestro consiste en considerar ingenuo lo que hace el alumno.



46.- "Algunas muestras de enseñanza 'global' advierten que el alumno puede aprender a sumar a par­tir de los árboles de un paisaje de su entorno, atendiendo, al mismo tiempo, al concepto árbol en relación con el término paisaje sin evitar la participación oral, en gran grupo, para identificar las letras de "árbol" y "paisaje", familiarizándose con el nombre propio de cada uno de sus compañe­ros e interesándose por la primera letra pronunciada desde la aclaración por parte del profesor, que ésta se escribe con mayúscula, para finalizar dibujando, en el área de expresión artística, un árbol que sirva a la vez como test psicológico para determinar algunas características de la personalidad del alumno. Como actividad evaluativa cabría destacar la resolución del siguiente problema:" '¿Cuántas letras tienen en total la palabra árbol y la palabra paisaje? Pinta el árbol que tenga la respuesta correcta' (a este fin se les presentan a los niños tres árboles con diez, once y doce hojas respectivamente).

Me parece ineficaz en cuanto contenido didáctico y poco respetable en un contexto pedagógico. Que yo cuente como actividad las letras de la palabra árbol nada dice de una actividad distinta a contar. (...1 No esto\ justificando la dispersión y el aislamiento en el aprendizaje. Admito la rela­ción de conocimientos pero no encuentro sentido en la relación de no saberes. [...]

En cuanto a una perfecta dinámica de relaciones a partir de los saberes, el pensamiento se desa­rrolla globalmente, pero la verdad de esta proposición no implica la verdad de su recíproca; Lo global desarrolla el pensamiento. No es en la superficialidad sino en la profundización desde donde se consigue una mayor relación y aplicación de conceptos. Por ello, es inevitable, a cual­quier edad, el reconocimiento, en una misma metodología, de didácticas específicas [...]

Que una potencia calcule situaciones volumétricas de un cajón con forma de cubo no quiere decir que una potencia sea un cajón de determinadas dimensiones [...] La mayoría de las veces lo que se globaliza son formas de representación, nombres o consecuencias y no los conceptos en sí, que sólo pueden ser relacionados. Hay que distinguir los materiales que se utilizar para generar ideas matemáticas de la naturaleza de esos materiales; no se pueden mezclar las ideas generadas con las propiedades de lo que se manipula, se ve o se escucha. Que la manzana sea utilizada como pro­ceso de aprendizaje para el concepto uno no quiere decir que tengamos que mezclar el número con el sabor, el color y la textura" (Fernández Bravo, 1995b: 34-37).

2. METAMODELOS PROCEDIMENTALES: EJEMPLOS Y... MÁS EJEMPLOS

Los siguientes metamodelos procedimentales para el aprendizaje de la resolución de problemas han surgido de la clasificación rigurosa y atenta de los procedimien­tos mentales de nuestros alumnos cuando han vivido el acto de pensar. A dicho conocimiento se ha llegado en el tiempo, mediante el ciclo científico: Observación-Experimentación-Observación.

Saber pensar es necesario, pero no es suficiente. Saber pensar y saber trabajar esclarece más el sentido de los metamodelos que se exponen a continuación:
Generativos; de Estructuración; de Enlaces; de Transformación; de Composición; de Interconexión.

Con estos seis metamodelos aparecen cuarenta y nueve modelos de situaciones problemáticas.



Generativos. Deberían ser las primeras situaciones a las que se enfrentase el alumno, aunque no deban ocupar únicamente esos primeros lugares. Desarrollan la confianza y seguridad de los alumnos en sí mismos.

Ayudan a generar ideas y a utilizar el razonamiento lógico. La operación queda subordinada al pensamiento, del que se desprende divergencia y flexibilidad. Ayudan a percibir la estrategia como vía de solución y a buscar, a posteriori, la ope­ración válida para dar cuerpo al proceso de resolución. El número es algo secunda­rio. Permiten retener el desafío central a partir del cual se reflexiona. Se percibe la importancia de la no-arbitrariedad en los problemas. Se desarrolla la atención, la actitud crítica, la capacidad de tolerancia, colaboración y solidaridad respecto a las ideas de los demás.

MODELOS GENERATIVOS:

1.- Situaciones sin número. Se presenta un problema en cuyo enunciado y pre­gunta no aparecen datos numéricos. Para llegar a la solución no se necesita operación alguna.

** Se deja caer una pelota que está encima de un armario y una pelota que está encima de una silla.

¿Qué pelota llegará antes al suelo? ¿Se han dejado caer las dos pelotas a la vez? ¿Dónde has supuesto que estuviera la silla? ¿Es el armario más alto que la silla? ¿Podría estar la silla en una posición más alta que el armario?



:* Arturito le contaba a su profesor la tremenda injusticia que, según él, había tenido que soportar el fin de semana.

"El sábado vinieron a visitarnos unos familiares muy queridos. Cuando está­bamos comiendo todos juntos mamá nos dio una gran alegría diciéndonos que esperaba un hijo. ¡Qué ilusión!, un hermanito - dije emocionado. Mamá comunicó a todos los presentes que ella siempre quiso un hermano o herma­na y que como nunca lo tuvo no quería que yo fuese hijo único, como mi papá. Después de comer, algunos de nosotros nos pusimos a jugar en otra habita­ción. Fue allí donde se rompió un precioso jarrón. Yo les expliqué lo que había pasado. No me hicieron caso y me castigaron. Pero yo no fui. Me llevé todo el castigo v el que lo rompió fue mi primo Ismael". ¿Crees que Arturito cuenta la verdad?

2.- Informaciones de las que se puede deducir algo. Se presentan informaciones, sin pregunta alguna: puede ser una frase, una portada de un libro, un car­tel publicitario, una lista de precios... La realización de la actividad consis­te en deducir ideas y clasificarlas en lógicas -aquellas que son verdad o men­tira para todos- y no lógicas, así como en posibles -muy posibles, poco posi­bles- e imposibles.

** Roberto tiene monedas de € y Sonia monedas de 50 céntimos.

** - La altura de una botella de vino es menor que la altura de una botella de agua.



  • La capacidad de la botella de agua es mayor que la capacidad de la botella de vino.

  • La botella de vino vacía pesa más que la botella de agua en las mismas condiciones.

3.- Situaciones cualitativas. Se presenta un enunciado y una pregunta con sen­tido lógico pero de forma incompleta para llegar a la solución. Se va com­pletando todo lo que se necesite en la medida en que el alumno lo vaya pidiendo.

** El lunes leí las 30 primeras páginas de un libro que empecé. El martes acabé. ¿Qué día leí más páginas de ese libro?

** Sí sumo dos números el resultado es 10. ¿Cuál es el resultado de sumar tres números?

** Se quiere llenar de agua una pequeña piscina de plástico y para ello se abren cuatro grifos, de los que sale la misma cantidad de agua durante 56 minutos. La piscina se llena. ¿Cuántos litros de agua caben en esa piscina?

4.- Enunciados abiertos. Se le da al alumno una información: a partir de una frase, de una foto, de un dibujo, de un esquema, de un titular de un periódico, un prospecto, una programación de televisión... Su labor consiste en inventar una situación problemática en la que utilice esa idea.

** Inventa un problema y resuélvelo a partir de lo que te sugiera una de estas frases:

"Muchos de los accidentes son por culpa del alcohol".

"Una buena alimentación ayuda a no coger mucho peso".

** Inventa un problema y resuélvelo a partir de tu interpretación sobre el siguien­te esquema:



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49

5.- Problemas de lógica. No interviene el algoritmo. Utilización del razona­miento por deducción, inducción y analogía.

** Ayer fue viernes. - Dije ayer. ¿Qué día será mañana?

** En una bolsa opaca hay tres bolas. Una de color verde, otra de color rojo y otra de color amarillo. Tres niños A, B y C sacan cada uno una bola. El niño que saque la bola amarilla cantará una canción, el que saque la bola roja toca­rá el órgano y el que saque la verde acompañará el espectáculo tocando la armónica. Los tres niños han cogido bola y sólo la han visto ellos. Cuando se les pregunta por la bola que han sacado, el niño A dice que ha sacado la bola verde, el niño B dice que no ha sacado la amarilla, el niño C dice que no ha sacado la roja.

Sabiendo que uno, y sólo uno, de los niños miente, averigua quién canta, quién toca el órgano y quién la armónica. Te diremos que el niño A no toca el órgano.

De estructuración. Ayudan a estructurar mentalmente las partes que componen el problema: Enunciado, pregunta, resolución, solución. Se percibe la importancia de cada una, la relación que tienen y la no-arbitrariedad entre ellas. Al implicar al alumno en la construcción del problema interpreta mentalmente la situación pro­blemática, utilizando las operaciones matemáticas como instrumentos para la reso­lución de las estrategias elegidas; distingue la solución del problema de la resolu­ción de éste y es capaz de estimar con razonamiento lógico la validez del resultado debido a que ha utilizado la reversibilidad de los procesos operativos como técnica de verificación. Se es consciente de que un mismo resultado se puede corresponder con diferentes situaciones planteadas; donde un alumno suma, otro resta. Del mismo modo se es consciente de que una misma operación o conjunto de operaciones da lugar a la creación de una amplia diversidad de situaciones. Se observan inte­resantes razones para respetar las ideas de los demás.

MODELOS DE ESTRUCTURACIÓN:

6.- Inventar y resolver un problema a partir de una solución dada. El alumno creará el enunciado, la pregunta y el proceso que se pueda corresponder con la solución de partida,

** Inventa un problema cuya solución sea 16 páginas.

7.- Inventar y resolver un problema a partir de una expresión matemática. Creación de un enunciado y pregunta que se corresponda con el contenido de relación aplicativa de la expresión de partida.

** Inventa un problema que se resuelva mediante la siguiente expresión mate­mática: (16 + 7 -4) x5.

8- Inventar y resolver un problema cumpliendo dos condiciones: llegar a la solu­ción dada y aplicar la/s operación/es indicada/s.

** Inventa y resuelve un problema. Operaciones (+ y -) Solución: 796.

Un dato numérico del enunciado no se debe utilizar en la resolución del pro­blema -(Dato no significativo).

9- Inventar y resolver un problema cumpliendo dos condiciones: llegar a la solu­ción que se nos ha indicado y utilizar (todos/no todos) los datos numéricos que se nos han dado.

** Elige entre estos datos: 315, 201, 192, 798, 405, para inventar un problema cuya solución sea 597 sellos.


Enlaces. Ayudan a encontrar la concordancia lógica entre enunciado-pregunta-solución; se trabaja con variables de relación entre estas partes: variables sintácti­cas, lógicas, matemáticas, creencias sociales, experiencias propias. Desarrollan la atención y la prudencia en el trabajo. Evitan la dependencia de la asociación de for­mas lingüísticas con la aplicación de operaciones. No interviene el azar en la utili­zación de los datos; se percibe el significado de éstos dentro de la situación proble­mática. Se comprende que no todos los problemas presentan datos numéricos y que no todos los datos de un problema son numéricos.
MODELOS DE ENLACES:

10.- Expresar preguntas y responderlas a partir de un enunciado dado. La labor del alumno consiste en crear preguntas que se puedan contestar teniendo en cuenta, únicamente, el enunciado de partida.

** Escribe preguntas que se puedan responder a partir del siguiente enunciado: "Sonia ha estado viendo la televisión 137 minutos. Ramón ha estado vien­do la televisión 29 minutos menos que Sonia".



11.- Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la operación. Se tiene un enunciado y preguntas en blanco. Cada una de esas preguntas lleva indicada la operación que se tiene que utilizar para obtener sus res­puestas.

** Escribe preguntas a partir del siguiente enunciado, fijándote en la operación que tienes que utilizar para responderlas:

"Joaquín tiene dos cuadernos de Plástica. El cuaderno número 1 es para pintar y le ha costado 5 €. El número 2 es para recortar y le ha cos­tado 3 €." ¿ _? Operación: Sumar; ¿ ? Operación: Restar.

12.- Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la expresión matemática. Se tiene un enunciado y preguntas en blanco. Cada una de esas preguntas señala la expresión matemática que se debe utilizar en el proceso de resolución.

** Un señor A gana en cuatro meses 7.200 €. Un señor B gana en un año 25.200 €. Un señor C gana en 24 meses 49.200 €.

Sabiendo que las mensualidades de cada uno son siempre iguales, escribid la pregunta, según corresponda.

¿ _? (7.200: 4) ; ¿ ? (25.200 : 12) x 5

¿ ? (7.200 x 3) ; ¿_ ? (49 200: 2)

¿__ ? (25.200: 4) ; ¿ ? (49.200 : 24) x 12

¿ ? (7.200 : 4) + 7.200 ; ¿. ? (25.200 : 365)

13.- Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la solución. Se presenta un enunciado con preguntas en blanco. Cada pregunta tiene una solución dada.

** Escribe la pregunta, según corresponda.

La catedral de Sevilla se comenzó a construir en el año 1402 y se terminó en el año 1519. Su planta es rectangular.

La catedral de Santiago de Compostela, en Galicia, se construyó del año 1075 al año 1128.

¿ ? Sol.: 274 años

¿ ? Sol.: 4.692 meses

¿ ? Sol.: No

¿. . _ ? Sol.: La catedral de Santiago



i __ - - . ?

Sol.: No se puede saber con los datos que se tienen



14.- Inventar un enunciado que se pueda corresponder con una pregunta dada, y resolver el problema utilizando todos los datos del enunciado/sin utilizar todos los datos del enunciado.

** Inventa un enunciado y resuelve el problema:

¿Cuántos libros tengo que meter en cada caja sabiendo que en cada caja hay un libro más que en la anterior?

15.- Inventar un enunciado que se corresponda con una pregunta dada y una solución dada, y resolver el problema utilizando todos los datos del enuncia­do/sin utilizar todos los datos del enunciado.

** ¿Cuántas páginas le quedan a Susana por leer? Sol.: 32



16.- Inventar un enunciado que se corresponda con una pregunta dada y la ope­ración/es a seguir en el proceso de resolución, y resolver el problema.

** Inventa un enunciado para cada una de las siguientes preguntas. Resuelve los problemas con la operación que se indica en cada caso:

¿Cuántas gallinas hay dentro del corral? Operación: Sumar. ¿Cuántas gallinas hay dentro del corral? Operación: Restar.

** Inventa un enunciado y resuelve el problema:

¿Cuántos € perdió Miguel? Operación: Sumar.

17.- Inventar un enunciado que se corresponda con una pregunta dada y el pro­ceso de resolución dado.

** Se te presenta la pregunta y el proceso de resolución de un problema. Escribe un enunciado que se corresponda utilizando tres datos numéricos, y sólo tres.


Cuánto costó cada regalo?

57 - 8 = 49;

57 + 49 = 106;

106-30 = 76

Solución: . €.; €.; _^___ €.

** Escribe un enunciado que se corresponda con la pregunta y el proceso de resolución:

¿Cuántas patas podemos contar en el corral de la señora Lola?

7 x 4 = 28 patas.

6 x 2 = 12 patas 28 + 12 = 40 patas.

18.- Inventar un enunciado que se corresponda con una pregunta dada, la solu­ción del problema dada y los datos numéricos dados que deben aparecer en el enunciado. Resolver el problema utilizando todos los datos del enuncia­do/sin utilizar todos los datos del enunciado.

** Selecciona los datos numéricos que se indican para construir los enunciados de los tres problemas siguientes.

Datos: 9, 12,6,4,8, 10,7

¿Cuántas estrellitas se hicieron para adornar la clase? Se hicieron 48 estrellitas para adornar la clase.

¿Cuántos dibujos pusieron en la pared del pasillo entre las tres clases? Pusieron 25 dibujos.

¿Cuántas excursiones hicieron los niños de tercero más que los niños de segundo? Hicieron 3 excursiones más.



19.- Inventar un enunciado que se corresponda con varias preguntas dadas. Se presentan varias preguntas. La labor del alumno consiste en crear un enun­ciado, y sólo uno, capaz de dar respuesta a todas y cada una de las pre­guntas presentadas.

** Inventa un enunciado, y sólo uno, que te permita responder a estas dos pre­guntas:

¿Cuántos minutos esperó Luis más que Arturo? ¿Cuántos minutos esperó Arturo menos que Sara?

20.- Inventar un enunciado, y sólo uno, con el que se pueda responder, y median­te las operaciones indicadas, a todas y cada una de las preguntas dadas. Se presentan varias preguntas acompañadas de la indicación de operación/es que se tienen que aplicar para llegar a su respuesta.

** Inventa un sólo enunciado para que puedas resolver las dos preguntas siguientes, atendiendo a las condiciones que se indican:

¿Cuántos pasteles había en las siete bandejas? Operación: X. ¿Cuántos pasteles quedaron9 Operación: +.

21.- Inventar un enunciado, y sólo uno, que se corresponda con varías preguntas dadas y las soluciones que acompañan a todas y cada una de ellas. Comprobar el problema.

** Inventa un sólo enunciado que se corresponda con las preguntas y sus solu­ciones.

¿Cuántas encinas y cuántos pinos contó Miguel? 380 árboles, entre encinas y pinos.

¿Cuántos robles y cuántas encinas contó Miguel? 296 árboles, entre encinas y robles.

¿Cuántos pinos contó Miguel? 86.

** Inventa un sólo enunciado que se corresponda con las preguntas y sus solu­ciones.

¿Cuántos litros de vino hay en los tres barriles? 290 litros.

¿Cuántos litros de vino hay en el barril A más que en el barril C? 10 litros.

¿Cuántos litros de vino hay en dos de esos barriles? 200 litros.
22.- Inventar un enunciado, y sólo uno, en el que aparezcan los datos numéricos dados utilizando todos en el proceso/sin utilizar todos en el proceso, que se corresponda con varias preguntas dadas y las soluciones que acompañan a todas y cada una de ellas.

** Elige entre los siguientes datos para construir un solo enunciado que se corresponda con las preguntas y soluciones dadas: 1.050, 3, 9, 12, 150.

¿Cuánto dinero ha puesto cada amigo? 350 €.

¿Cuántas tortillas se han comprado? 3.




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