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A

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS I

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

(MÓDULO PRÁCTICO)

Febrero 2000 Modelo A

1.-Sea la función



(a) Estudiar la existencia de en todo punto de R2.



(b) Estudiar si f es diferenciable en el punto (1,1).
(a) El dominio de la función es todo R2, aunque el dominio, D, resulta de la unión de los dos conjuntos siguientes:

D = D1  D2 ;

D1 =(x, y)R2 /x>y; D2 =(x, y)R2 /xy;

El conjunto D1 es un conjunto abierto (restricción estricta), pues todos los puntos son interiores. Como (x+h, y) o (x, y+h) pertenece también a D1 cuando h 0, al ser (x, y) un punto interior de D1, y como en D1 la función toma una expresión polinómica (los polinomios son funciones derivables en los puntos interiores de su dominio), la función f es derivable en D1. Por tanto, la derivada parcial de f respecto a la variable x existe y se calcula con reglas de derivación:

= 2x.
El conjunto D2 es un conjunto cerrado (caracterizado por una restricción no estricta), pues incluye a todos sus puntos frontera, Fr(D2 ) =(x, y)R2 /x= y. Los puntos (x, y) tales que x < y son interiores a D2 , por lo que el razonamiento es análogo al anterior. Dado que (x+h, y) o (x, y+h) pertenecen también a D2 cuando h 0, al ser (x, y) un punto interior de D2, y que en D2 la función toma una expresión polinómica (los polinomios son funciones derivables en los puntos interiores de su dominio), la función f es derivable en el interior de D2. Por tanto, la derivada parcial de f respecto a la variable x existe y se calcula con reglas de derivación en los puntos interiores de D2 , (x, y)R2 / x < y :

= -2x.

Falta por analizar la derivabilidad en los puntos de la frontera de D2 , es decir en los puntos (x, y) de R2 tales que x = y. Dado que (x+h, y) o (x, y+h) pueden pertenecer a D2 o a D1 dependiendo del signo de h0, hay que estudiar la existencia de derivada parcial de f respecto a x en esos puntos mediante la definición de derivada parcial. Se tomará un punto (x0 ,x0 ) que represente a todos los puntos (x, y)R2 tales que x=y, al tener las dos componentes iguales. Los puntos (x0 +h ,x0 ) próximos a (x0 ,x0 ) tienen una imagen que depende del signo de h, por lo que el límite que resulte de la definición de derivada parcial existirá si existen los límites por la izquierda, h<0, y por la derecha, h>0, y coinciden:



El único punto frontera en que existe el límite por la derecha es el (0,0), valiendo 0 que es el valor que toma el límite por la izquierda en dicho punto, por tanto, sólo en el punto frontera (0,0) existe la derivada parcial de la función respecto a x. La función derivada parcial de f respecto a x queda definida así:



(b) La función f no es diferenciable en el (1,1) puesto que no es derivable en dicho punto como se ha visto en el apartado anterior (no existe la derivada parcial respecto a x en los puntos de R2 tales que x=y, excepto en el origen), y la derivabilidad (existencia de todas las derivadas parciales) es condición necesaria de diferenciabilidad en un punto.
2.- Dadas las siguientes funciones:

f(x, y) = , g(t)=(lnt, t2),

(a) Razonar si pueden definirse las funciones fg y gf.

(b) Calcular, en su caso, el dominio de la función gf.

(c) Razonar que gf es diferenciable en el punto (1/2, 1/2).

(d) Calcular la matriz de derivadas de gf en el punto (1/2, 1/2).


(a) La función f está definida así:

f: R2  R con un dominio Df =(x, y)R2 /x+y0 que garantiza que el radicando no sea negativo.

La función g está definida de la siguiente forma:

g:Dg  R  R2 , con dominio Dg =tR/t>0 que se obtiene de la intersección de los dominios de las dos funciones componentes. El de la primera resulta de garantizar que el logaritmo neperiano esté definido, por lo que su argumento debe ser positivo, mientras que el dominio de la segunda función es todo R al tratarse de un polinomio de grado 2 en t.

Como el espacio final o imagen de la función f coincide con el inicial de g, podría plantearse definir la función compuesta gf, atendiendo a los dominios de las dos funciones, f(Df )  Dg., para saber cómo queda definitivamente definida la función compuesta. Como el espacio final o imagen de la función g coincide con el inicial de f, también podría plantearse definir la función compuesta fg, atendiendo igualmente a los dominios de las dos funciones, g(Dg )  Df , para saber cómo quedaría definitivamente definida la función compuesta.
(b) Dado que la función compuesta gf está definida así: , el dominio de gf es un subconjunto del dominio de f o coincide exactamente con el dominio de f. Para obtenerlo se debe exigir que f(Df )  Dg. Para todos los puntos del dominio de f se verifica que su imagen es no negativa

f(x, y) =  0 con x+y  0.

Pero para que f(x, y)Dg =tR/t>0 se debe cumplir que f(x, y)>0, por lo que del dominio de f hay que eliminar los puntos cuya imagen sea nula para tener los puntos de R2 que tienen imagen en la función compuesta gf, es decir, los de su dominio:

Dgf =(x, y)R2 /x+y>0.

(c) gf es diferenciable en todos los puntos de su dominio, ya que estos son interiores (desigualdad estricta que caracteriza a Dgf ) y las funciones que intervienen en la composición son diferenciables: f sólo es diferenciable en los puntos interiores de su dominio (x, y)R2 /x+y>0 por tratarse de la raíz cuadrada de un polinomio (diferenciable), mientras que g es diferenciable en su dominio (conjunto abierto) pues sus funciones componentes lo son en los puntos de sus respectivos dominios, siendo todos puntos interiores. La primera función componente lo es por tratarse de una función logarítmica y todas las funciones de este tipo son diferenciables en los puntos interiores de su dominio, aquellos que hacen que el argumento de la función sea positivo. La segunda función es diferenciable en R por tratarse de una función polinómica. Concluyendo, si gf es diferenciable en todos los puntos de su dominio, lo es también en el (1/2, 1/2) pues es interior a su dominio (cumple la restricción).
(d) La matriz de derivadas se calcula mediante la regla de la cadena, al verificarse las hipótesis de este teorema tal y como se ha justificado en el apartado anterior. La función compuesta, gf: R2  R2, al tener dimensión dos el espacio inicial y final tendrá una matriz de derivadas, matriz jacobiana, de 2x2 que se obtiene por el producto de la matriz jacobina de 2x1 de la función g en f(1/2,1/2) por el vector gradiente de f en el punto (1/2, 1/2):



La matriz jacobina de g en un punto t de su dominio es:



Como f(1/2,1/2)=, la matriz jacobiana en ese punto es:



El vector gradiente de f en un punto (x, y) interior del dominio de f, x+y >0, es:

,

En el punto (1/2,1/2) el vector gradiente queda:



La matriz de derivadas de gf en el punto (1/2,1/2) es:

.
3.- La función de producción de una empresa viene dada por la expresión f(x,y,z)=xy+xz+yz, siendo x, y, z la cantidad de los tres inputs que utiliza. Hallar la cantidad de cada input que maximiza la producción, sabiendo que deben consumirse 6 unidades entre los tres.

Estimar la variación que experimentaría la producción máxima si se consumiera un total de 6.2 unidades de los inputs.


El planteamiento del problema es el siguiente:

Max. f(x, y, z)= xy+xz+yz

sujeto a: x+y+z=6

(deben consumirse 6 unidades entre los tres).

Para intentar obtener la cantidad de cada input que maximiza la producción se va a plantear la condición necesaria de máximo local, tras construir la función lagrangiana, y después, para los puntos obtenidos se estudiará la condición suficiente de segundo orden de máximo para determinar si alguno de ellos es máximo o no.

La función lagrangiana planteada es:

L(x, y, z,)=xy+xz+yz+6-x-y-z.

La condición necesaria de máximo local es:

L(x, y, z,) = ,



que proporciona el siguiente sistema:


Resolviéndolo se tiene la única solución del mismo:



El punto crítico obtenido es el (2,2,2,4). Para intentar determinar si es un máximo local de L se procede a continuación a estudiar las condiciones suficientes de segundo orden que consisten en estudiar el signo de la forma cuadrática restringida representada por la matriz hessiana de la función lagrangiana en dicho punto crítico, HL(2,2,2,4).

La matriz hessiana de la función lagrangiana en un punto (x, y, z,) cualquiera es:

HL(x, y, z,)=.

Como es constante para todo (x, y, z,), en el punto crítico (2,2,2,4) es la misma matriz:

HL(2,2,2,4)=.

Estudiando el signo de la forma cuadrática representada por la matriz formada sólo por las derivadas de L respecto a las variables principales del problema:

HLxx =

restringida al subespacio caracterizado por:

-Jh(2,2,2)=-dx-dy-dz=0  dx=-dy-dz,

se puede llegar a concluir si el punto crítico es máximo local de L.

La forma cuadrática sin restringir, HLxx, es indefinida ya que los menores principales conducentes de la matriz asociada son:

H1=0  No cumple la condición necesaria de definida positiva ni de definida negativa;

H2==-1 <0, (menor principal de orden par negativo es suficiente para concluir que es indefinida);

H3==2>0  No cumple la condición necesaria de semidefinida ni positiva ni negativa HL=0;

Como no es nula ni definida ni semidefinida, HLxx es indefinida, por tanto restringida a un subespacio puede tomar, en principio, cualquier signo. Hay que estudiar el signo de la forma cuadrática restringida. El polinomio cuadrático de la forma sin restringir es:

q(dx, dy, dz)= =2dxdy+2dxdz+2dydz.

Sustituyendo en este polinomio la(s) ecuación(es) que caracteriza al subespacio donde está restringida, dx=-dy-dz, queda el polinomio de la forma restringida:



Estudiando el signo de la matriz que representa a la forma cuadrática restringida por el método de los menores principales conducentes queda:



Por lo que se concluye que es definida negativa y el punto (2,2,2,4) es un máximo local estricto de L(x, y, z,), y el punto (2,2,2) proporciona un máximo local estricto a la función de producción restringido a x+y+z=6. Para maximizar la producción, las cantidades a emplear de input son 2 unidades de cada uno, obteniéndose una producción de 12 unidades f(2,2,2)=2(2)+2(2)+2(2)=12.

Dado que *=4 y que *= f(2,2,2)/b, siendo b el término independiente de la restricción, es decir, la cantidad total de inputs a utilizar, si ésta pasa de 6 a 6’2 crece, por lo que el signo del multiplicador indica que la nueva producción máxima crecerá también, aproximadamente en (0’2)(4)=0’8 unidades.
ELEGIR UNA de las dos preguntas siguientes:

4.- Dada la función



(a) Calcular el límite de f en los puntos (0,0), (1,1) y (-2,4).



(b) Estudiar la continuidad de f en los puntos del apartado anterior.
(a) La función tiene como dominio R2, aunque en realidad resulta de la unión de tres subconjuntos:

Df = R2 = D1 D2 D3 = (x, y)R2/ y < x (x, y)R2/ y = x(x, y)R2/ y > x.

Los puntos (0,0) y (1,1) pertenecen a D2, pero son también puntos frontera de D1, D2 y D3 .

Fr(D1)=Fr(D2) =Fr(D3)=D2.

Por este motivo, toda bola o entorno centrado en esos dos puntos frontera va a contener puntos pertenecientes a los tres subconjuntos, lo que hay que tener en cuenta cuando se calcule el límite que es, cuando existe, el único valor al que se aproximan las imágenes de los puntos próximos a dichos puntos frontera. Como la expresión analítica que toma la función en los tres subconjuntos es distinta, para concluir que el límite doble existe se debe estudiar si existe un único valor al que se aproximan las imágenes de los puntos de cada subconjunto y este único valor coincide en los tres subconjuntos. Así, para el (0,0):



Como no coinciden los tres, el límite no existe en el (0,0).

Para el (1,1), el otro punto que es frontera se tiene:



Como coinciden los tres, el límite existe en el (1,1) y vale 3.

El (-2,4) es un punto interior de D3, por lo que al calcular el límite, los puntos (x, y) que convergen o tienden al (-2,4) son puntos que también pertenecen a D3. De esta forma, la expresión analítica de la función para todos los puntos próximos al (-2,4) es la misma que la del (-2,4). Como se solicita el cálculo del límite se realiza este cálculo:

.

(b) Dado que los tres puntos son puntos de acumulación del dominio de la función, puede estudiarse la continuidad mediante las siguientes condiciones:

- Que f(x, y) esté definida en el punto.

- Que exista el límite de la función en el punto.

- Que coincidan en el punto el límite de la función y el valor que toma la función.

En el (0,0) la función no es continua porque no existe el límite de la función en ese punto. En el (1,1) la función toma el valor f(1,1)=3 que coincide con el valor del límite, por lo que la función es continua en el (1,1). El mismo razonamiento podría hacerse para el (-2,4) concluyendo que f(x, y) es continua en dicho punto, pero dado que el punto (-2,4) es interior a D3 se podría argumentar para este punto que la función es continua por tomar la misma expresión polinómica en los puntos próximos a (-2,4), siendo, como son, todas las funciones polinómicas continuas en los puntos de su dominio.
5.- Los beneficios de una empresa en un tiempo t vienen dados por la función

Bº=.

(a) Calcular el beneficio acumulado Ba en el periodo 0,10.

(b) Calcular el beneficio medio.


(a) El beneficio acumulado Ba se puede calcular mediante una integral definida, considerando como función integrando la función Bº proporcionada en el enunciado y tomando como intervalo de integración el periodo 0,10:



(b) El beneficio medio se obtiene de dividir el beneficio acumulado por la totalidad de años transcurridos, es decir, por la longitud del período, 10-0=10.

BMe == e-1+.

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