Seccion aurea



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SECCION AUREA

(Basado en un texto de Mark Freitag)

En general estamos familiarizados con el número irracional PI, pero también existe otro no tan conocido al que llamamos Phi, que tiende a aparecer en diversos lugares, como veremos a continuación.

Una forma de encontrar Phi, es considerar la solución de la ecuación:

Cuyas raíces son:



Consideramos que Phi es la primera raíz. Podemos expresar Phi también con las series siguientes:





Desarrollando estas series podemos calcular el valor de Phi con una aproximación que estará en función de la cantidad de términos utilizados. O podemos demostrar que en el límite esta serie infinita nos lleva al valor exacto de Phi en una forma más concreta. Por ejemplo, si X es igual a la serie infinita:



Elevando al cuadrado ambos términos, llegamos a:



Que de nuevo es la ecuación con la que comenzamos:






LA SECCION AUREA Y LAS FIGURAS GEOMETRICAS

(Basado en un texto de Mark Freitag con imágenes del mismo artículo)

Una forma geométrica asociada a la sección áurea, es el rectángulo áureo. Este rectángulo en particular tiene lados A y B, cuya relación coincide con la sección áurea. Se dice que este rectángulo es el más agradable a la vista, de hecho se dice que cualquier figura geométrica que siga la secció,n áurea es agradable a la vista. Vemos ahora una figura de un rectángulo áureo.



Podemos utilizar la sección áurea para dibujar un pentágono regular:



Si conectamos los vértices del pentágono, obtenemos dos triángulos áureos. El triángulo azul tiene los lados y la base en relació áurea, y el rojo tiene la base en relación áurea respecto a cada uno de los lados.



Si inscribimos un decágono regular en un círculo, la relación de uno de los lados al radio coincide con la sección áurea.



Si tomamos un triángulo isósceles cuyos lados estén en relación áurea, y bisectamos uno de los ángulos de la base de 72 grados, veremos que obtenemos otro triángulo con las mismas propiedades del original, y si continuamos el proceso veremos que se obtiene un conjunto de triángulos arremolinados.



Utilizando como base los triángulos arremolinados, podemos dibujar una espiral logarítmica, con convergencia en la intersección de las líneas azules.



Podemos hacer lo mismo con el rectángulo áureo, generando un conjunto de rectángulos arremolinados, que sirvan de base para una espiral logarítmica, como vemos en la figura:



Se presenta un hecho interesante cuando trabajamos con los rect&aacte;ngulos arremolinados. Supongamos que comenzamos con un cuadrado de lado 1 y uno de lado 2, y los ponemos juntos como en la figura que sigue.



Si continuamos dibujando cuadrados, como vemos en la figura siguiente, obtendremos un nuevo conjunto de rectángulos arremolinados, que tienen la siguiente propiedad: La relación de los lados, tiende a la sección áurea, (2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.6666, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, y así). Otro hecho interesante es que las longitudes de los cuadrados coinciden con los términos de la serie de Fibonacci (ver siguiente tema).






SECCION AUREA Y LA SERIE DE FIBONACCI

Texto tomado del libro Elementos del Cálculo Diferencial e Integral de Manuel Sadosky y Rebeca CH.de Guber (Tomo I pág. 122) Editorial Alsina.

Sucesión de Fibonacci y Secciones Aureas

Dado un segmento AB de longitud l se dice que un punto M lo divide en media y extrema razón si se verifica la siguiente relación:





Al segmento AM de longitud x se lo denomina Sección Aurea del segmento dado. En base a la relación anterior es:



Y resuelta esta ecuación de segundo grado, obtenemos:



x1 determina un punto interior al segmento AB y x2 uno exterior. Los valores:



son recíprocoscomo puede comprobarse efectuando su producto.

Si ahora se parte de dos segmentos a y b, de modo que la longitud del primero sea la sección áurea del segundo, y se construye la correspondiente sucesión de Fibonacci:

se verifica que cada término es la sección áurea del siguiente.

Así si:

Es:


y racionalizando la expresión resulta:



En general como es:



se verifica:



Tanto la sucesión de Fibonacci como la sección áurea aparecen en las más diversas cuestiones geométricas y biológicas. El investigador inglés D'Arcy W. Thompson se refiere a ellas en un libro titulado On growth and Form.






¿Qué es la sección aurea?

Es la división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que el segmento menor, es al segmento mayor, como este es a la totalidad de la recta. O cortar una línea en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea a toda la línea, como el menor es al mayor. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor, esto es un resultado similar a la media y extrema razón, Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea, se adopta como simbolo de la sección áurea (Æ ), y la representación en números de esta relación de tamaños se llama número de oro = 1,618.

A lo largo de la historia de las artes visuales, se han formulado diferentes teorías sobre la composición.

Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción. Vitruvio acepta el mismo principio pero dice la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto, ideó una fórmula matemática, para la división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la sección áurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados mas largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría esta regida por un modulo o canon común: que es el número.

Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta., a partir del hombre, utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que media lo mismo de alto que de ancho con los brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura y esta misma ,se lograba de manera exacta, rebatiendo sobre la bases de un cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las mas bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones.

Los griegos llamaban simetría a la cadena de relaciones de ritmo armónico, Pitagórico y Platónico, adoptado para el arte del espacio, tomando como modelo o medida al hombre

Euclides en su obra: "Elementos", aparecen la primera fuente documental importante sobre la sección áurea, dedicando varias proposiciones a la división de una recta en media y extrema razón. Geométrica y algebraicamente es la partición asimétrica más lógica y más importante a causa de sus propiedades matemáticas y estéticas, razón por la cual fue llamada divina proporción, por el monje Boloñes Luca Paccioli, Es una formula fría matemática que permite adaptarse al hombre y humanizarla, lo que ha hecho su perennidad a través de los siglos.

En los recién nacidos el ombligo divide el cuerpo en dos partes iguales, en un cuerpo desarrollado normalmente, la relación entre la parte superior del cuerpo de la cabeza al ombligo y entre esta y la planta de los pies cumple la denominada media y extrema razón, propia de la sección áurea, es decir 3.5 = 5.8. Vitruvio estableció una afinidad entre el hombre y las figuras geométricas, al descubrir que el hombre de pie con los brazos extendidos puede inscribirse en un cuadrado, si separa las piernas puede inscribirse dentro de un circulo, que tiene como centro el ombligo.

Luca Paccioli, matemático del renacimiento la llamaba la divina proporción, Leonardo Da Vinci sección áurea y Johannes Kepler astrónomo alemán la consideraba una de las dos cosas perfectas junto al teorema de Pitágoras, después cayo en el olvido, hasta que fe redescubierto por el alemán Zeysing en 1850.



LA SECCIÓN ÁUREA

        Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. En su libro Los elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban como encarnación de la lógica divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero, años después, el interés por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian (1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea.

        Crear la sección áurea. Si una línea se divide siguiendo la sección áurea, la parte más pequeña es a la mayor lo que ésta es a la totalidad. Para dividir la línea XY en el punto de la sección a u rea, seccione XY por el centro (U); trace un arco desde Y, a través de U, que corte Z (en ángulo recto respecto de XY). Una YZ y XZ. Proyecte un arco desde Z que pase por Y para cortar XZ en V. Repítalo desde X, tomando como radio a XV, para cortar XY en W. XY:XW = XW:WY. (Fig. 2) Un rectángulo cuyos lados tengan la proporción áurea puede dividirse en un cuadrado ABCD además de en un rectángulo áureo BCFE. Este rectángulo puede subdividirse en otro cuadrado y en un rectángulo áureo. Con la unión de las formas, las divisiones repetidas originan una espiral idéntica a las de la naturaleza (izquierda).

 

 

        Disección del rectángulo. De acuerdo con las reglas de la proporción dorada, cada línea puede dividirse en dos puntos. En este diagrama se muestra la dinámica del rectángulo áureo. Cada lado se ha dividido dos veces para crear nueve rectángulos más pequeños. Si se dibujan todas las diagonales que unen los diferentes puntos, se obtendrá una compleja red de relaciones recíprocas. Un análisis detallado de la obra de Vermeer demuestra que los elementos clave de la pintura están situados sobre estas líneas o en los puntos de intersección.

        Un fenómeno natural. El dibujo «Las proporciones de la figura humana» (1492) de Leonardo da Vinci se basa en un sistema de proporciones que elaboró Vitruvio en el año 27 d. C. Éste propuso unas relaciones fundamentadas en las medidas del cuerpo humano para emplearlas en la creación de edificios, esculturas y pinturas. « Si a un hombre lo colocamos sobre su espalda», escribió «con las manos y los pies extendidos y un par de compases en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pies tocarán la circunferencia de un círculo». El hombre de Leonardo muestra las proporciones áureas del cuerpo humano. Si la distancia de la punta del dedo a la articulación del codo es la longitud de la línea, la muñeca recae sobre una de las divisiones de la sección áurea.

 



 

 



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