Relaciones y funciones



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Relaciones y Funciones

Profesora: Alejandra Reyes O.

Curso: 2º Año Medio






Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida.


El recorrido o rango de una relación es el conjunto de imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada
Funciones





Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento del dominio (conjunto A) uno y sólo un elemento del recorrido (conjunto B).

x → f(x) = y



Ejemplos: De los diagramas que se presentan a continuación, diga cuales representan una función:



1)……. 2)……. 3)……. 4)……. 5)……. 6)……. 7)……. 8)……. 9)……. 10)……. 11)……. 12)….





Criterios de la función:

Ejemplo: Si A={1,3,5} y B={2,4,6} y su correspondencia es el doble

* Entonces el criterio de la función es: f(x)=2x



Ejemplo: Si A={1,2,3} y B={3,5,7,9,11} y su correspondencia es el doble mas uno

* Entonces el criterio de la función es: f(x)=2x + 1



Ejercicios: determine el criterio de la función para cada correspondencia

1)…….……. 2)…………. 3)………... 4)…………. 5)…………. 6)…………..






Conceptos básicos de función

-El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, se puede representar como Df

-El conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio.

-Se llaman preimágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio

-Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimágen, mediante el criterio de función.

-Se llama RECORRIDO de una función al conjunto formado por las imágenes.

-Este conjunto es un subconjunto del codominio, se puede representar como Rec.

Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos el siguiente diagrama



Dominio: {a,b,c,d}

Codominio: {1,2,3,4,5,6,7}

Recorrido: {1,2,3,4}




Función compuesta

Dos funciones f y g pueden combinarse para formar

una función compuesta, de las siguientes maneras:

(f o g) (x) = f( g(x) )

(g o f ) (x) = g( f(x) )

Ejemplo:



Función inversa o Función recíproca


Definición: toda función posee una relación inversa , esta función es inversa si y solo si f es una función biyectiva


Ejemplo: Calcular la función inversa de:

Cálculo de la función inversa


1. Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2. Se despeja la variable x en función de la variable y.

3. Se intercambian las variables.




Ejercicios:


  1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [a, b]?

A) B)
C) D)


E)

2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa una función en el intervalo [a, b]?



A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III


3. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)=?

A) lR – {1} B) lR – {4}

C) lR – {-2, 2} D) lR – {-2, 1, 2} E) lR – {1, 4}
4. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) = x4 + 1. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x)?

A) lR B) [0, 1] C) [0, 1[ D) [0, +∞[ E) [1, +∞[


5. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) = 3x + 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Df = Rf II) La imagen de 0 es -2/3

III) La pre-imagen de 11 es 3.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III


6. Si f(x) = 3x – 1, ¿cuál es el valor de f(-1)?

A) -4 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4


7. Si f(x) = x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

A) f(-1) = f(1) B) f(1) < f(3) C) f(-2) > f(1)

D) f(0) < 0 E) f(0) > f(-1)
8. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) f(-2) = -f(2)

B) f(0) = f(0,5)

C) f(1) > f(3)

D) f es creciente en el intervalo [-2, 3].

E) f es decreciente en el intervalo [2, 3].


9. Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?

A) 2 B) 3 C) 4,5 D) 6 E) 16



10. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en B?



I) II) III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III

D) I y III


E) II y III

11. Siendo A={2,3,5} y B={1,7}, ¿cuál de los siguientes conjuntos define una función de B hacia A?

A) {(1,2)} B) {(1,3),(1,5)}
C) {(1,5),(7,3)} D) {(1,1),(7,7)}
E) {(1,2),(1,3),(1,5),(7,2),(7,3),(7,5)}

12. Si f(x)=, entonces se afirma que:

I) f(3)=7 II) f(1)= -3 III) f(0)= -4

De las igualdades, es(son) verdadera(s):

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) Todas las anteriores


13. La función de N a N que le hace corresponder a cada número natural “ene” el triple del cuadrado de su sucesor está dada por la fórmula matemática:

A) f(n)=3(n+1)2 B) f(n)= 3n2+1 C) f(n)=3(n2+1)


D) f(n)=(3n)2+1 E) f(n)=(3n+1) 2
14. Sean los conjuntos: A= {1,2,3,5} y B={a,b,c,d} y una cierta función definida como sigue f(1)=b; f(2)=a ; f(3)=c y f(5)=a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son) verdadera(s):

I. “a” es la imagen de 2 y de 5 II. La preimágen de “b” es 1


III. El conjunto A es el dominio de la función
IV. El conjunto B es el recorrido de la función

A) Sólo III y IV B) Sólo I C) I, II y III


D) Todas E) N.A.
15. Sea definida por f(x) 4x+20 y definida por g(x)=2x2+2 ; entonces f(g(10))=

A) 60 B) 202 C) 262 D) 828 E) 848


16. Si f(x) = 3x – 2, entonces f(h+1) – f(h-1) es:

A) 6h + 5 B) 6 C) 6h + 6 D) 3(h+1) E) N.A.


17. Si f(x) = x2-1, entonces el valor de es:

A) 2x2+2hx+h2 B) 2x+h C) x+h


D) 2+ x2 + h E) N.A.

18. Hallar la función inversa de:

a) b) c)

d) e) f)




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