Producto escalar



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PRODUCTO ESCALAR

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PROYECCIÓN

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO/ESPACIO



PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO



PRODUCTO VECTORIAL





PRODUCTO MIXTO



ECUACIONES DE PLANOS

Ecuación vectorial (vector normal):

Ecuación vectorial (vectores paral.):

Ecuación general:

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación segmentaria:



ÁNGULO ENTRE PLANOS



DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO


HAZ DE PLANOS


RECTAS EN EL ESPACIO

Ecuación vectorial:

Ecuaciones paramétricas:

Ecuaciones simétricas:



ÁNGULO ENTRE RECTAS



ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO



DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA



DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS


MATRICES – DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN:












PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR












PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES







  • A.B=A.C no se cumple que B=C

  • A.B=N no necesariamente A=N v B=N


PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS














PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSIBLES

  • Si una matriz es inversible su inversa es única









Una matriz A es ortogonal
TEOREMA DE CRAMER: si A es una matriz inversible de orden n el sistema tiene exactamente una solución, que se obtiene asignando a cada incognita el cociente de dos determinantes. El determinante del denominador es el de la matriz del sistema y el del numerador es el de la matriz que se obtiene sustituyendo del anterior la columna de los coeficientes de la incógnita por la columna de los términos independientes.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS: un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible si y sólo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz ampliada.
Enunciado:
Pueden ocurrir dos alternativas:

  • (n el numero de incógnitas), el sistema es DETERMINADO.

  • , el sistema es INDETERMINADO.


PROPIEDAD:

es subespacio de (el conjunto solución de un sistema homogéneo es un subespacio)

Y su dimensión se define:





ESPACIOS VECTORIALES
Un conjunto V es un espacio vectorial y se escribe si es un conjunto no vacío en el que se cumple que: existe el vector nulo, para cada vector existe un opuesto, se cumple una ley de composición interna en la suma de vectores y de composición externe en el producto entre escalares reales y vectores.
SUBESPACIOS VECTORIALES

Un conjunto S no vacío e incluído en V siendo un espacio vectorial, S es un subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones:












Únicos subespacios de :,rectas que pasen por el origen

Únicos subespacios de :, rectas que pasen por el origen, planos que pasen por el origen.
COMBINACIÓN LINEAL

Sea espacio vectorial y sean ; w es combinación lineal de si con .

Si la C.L. es la trivial y se obtiene el vector nulo.
SISTEMAS DE GENERADORES

Sea e.v. y sean ; los vectores forman un sistema de generadores de V o generan a V si todo vector de V puede exprearse como C.L. de ellos.

Definición:
Propiedad: Si el sistema incluido en V es generador de V y uno de los vectores que lo forman es C.L. de los otros, entonces el subsistema que resulta al suprimir ese vector también es generador de V.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

La ecuación tiene siempre solución trivial



  • Si la trivial es la única solución entonces los vectores son linealmente independientes.

  • Si además tiene otras soluciones, los vectores son linealmente dependientes.


Observaciones y propiedades:

  • Todo sistema que contenga al vector nulo es L.D.

  • Todo sistema con un único vector no nulo es L.I.

  • El sistema es L.D. si y solo si algunos de los vectores del sistema es C.L. de los restantes.

  • Si un sistema tiene dos vectores no nulos, si uno es múltiplo del otro son L.D.; caso contrario son L.I.

  • En y dos vectores L.D. son paralelos.


BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

es base de V B es S.G. de V ^ B es L.I.

  • Si se comprueba cualquiera de las dos condiciones ya se puede decir que es base.

Llamamos bases canónicas de a por ejemplo:








DIMENSIÓN

  • Todo espacio vectorial de dimensión finita que no se reduzca al vector nulo admite por lo menos una base.

  • Si V es un e.v. de dimensión finita, todas sus bases tienen el mismo número n de vectores que se llama dimensión de V y se nota:

  • Se define



Observaciones: sea

  • Todo sistema con más de n vectores de V, son L.D.

  • Todo sistema con menos de n vectores de V, no generan a V.

  • Todo sistema de n vectores L.I., forman una base de V.

  • Todo S.G. de V con n vectores, forman una base de V

Propiedad: Sea y sea un conjunto de r vectores (r
BASE DE UN SUBESPACIO

B es base de un subespacio S si B es un conjunto L.I. y forma un S.G. de S.

Si y S subespacio de V, entonces
COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE


Se nota:
OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Intersección:



  • Sean S1 y S2 subespacios de V, entonces: es un subespacio de V denominado subespacio intersección.

Suma:


  • Sean S1 y S2 subespacios de V, entonces es un subespacio de V llamado subespacio suma.

Propiedades:

  • (suma directa)




CONJUNTO ORTOGONAL Y ORTONORMAL DE VECTORES

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es un conjunto ortogonal si todos los pares de vectores del conjunto son ortogonales entre si (producto escalar = 0).

Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1 es ortonormal.
Propiedades:


  • Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos de un espacio vectorial V es un conjunto L.I.

  • Todo e.v. V que no sea el nulo y que tenga dimensión finita tiene una base ortonormal.


COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO

Sea S subespacio de V:

Se llama complemento ortogonal de S al conjunto formado por todos los vectores de V que son ortogonales a todos los vectores de S:


Propiedades:


  • es un subespacio de V

  • Si




ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Se llama espacio fila de A al subespacio de generado por los vectores fila de A. Se llama espacio columna de A al subespacio de generado por los vectores columna de A.

Se llama rango fila de A a la dimensión de

Se llama rango columna de A a la dimensión de

El rango fila y el rango columna de una matriz son iguales. Se llama rango de una matriz a su rango fila y a su rango columna.

TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Sean V y W espacios vectoriales sobre , la función es una transformación lineal de V en W si se verifican los criterios de linealidad.
CRITERIOS DE LINEALIDAD:







PROPIEDADES:

Sea transformación lineal










NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: Sea

Se llama núcleo de T al conjunto de los vectores de V cuya imagen mediante T es 0W.



El núcleo de T es un subespacio de V.


IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: sea

Se llama conjunto imagen de T al conjunto de vectores de W que son imágenes mediante T de al menos un vector de V.



La imagen de T es un subespacio de W.


TEOREMA DE LAS DIMENSIONES

Sea transformación lineal



O bien de otra manera:


TRANSFORMACIONES MATRICIALES:

Sea ; si se consideran los vectores de y los vectores de expresados como matriz columna, se puede definir la transformación lineal T de en como:



Donde A se llama matriz estándar.


CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sea transformación lineal:



  • T es MONOMORFISMO T es INYECTIVA

  • T es EPIMORFISMO T es SOBREYECTIVA

  • T es ISOMORFISMO T es BIYECTIVA

  • T es ENDOMORFISMO


TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V y W espacios vectoriales sobre , y sea base de V y vectores arbitrarios de W

(Si tenemos una base de V con los transformados de cada uno de sus vectores entonces podemos formar una única transformación lineal con ellos)



  • En los ejercicios dependiendo de los datos que nos den se pueden formar una única transformación lineal, infinitas o que no exista la misma (hay que comprobar si son L.I. los vectores que nos dan o si nos faltan vectores para armar una base)


MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean

Sea base de V

Sea base de W
La transformación lineal T queda caracterizada por una matriz , siendo su número de filas igual a la dimensión del codominio de T y su número de columnas igual a la dimensión del dominio de T. A la matriz A se la llama matriz asociada a T en las bases B1 y B2:


Siendo el vector columna las coordenadas de T(u1) en la base B2 , el vector columna las coordenadas de T(u2) en la base B2 y el vector columna las coordenadas de T(un) en la base B2 .
RESUMIDO:
OBSERVACIÓN: Sea , base de V, y base de W; entonces:

ACLARACIÓN: Las bases canónicas se suelen denominar como E y E’.


MATRIZ ASOCIADA A LA TRANSFORMACIÓN LINEAL INVERSA
Sea T.L. BIYECTIVA (Los subespacios V no tienen que ser necesariamente iguales, tienen que tener igual dimensión)

Con T.L.

Sea B1 base de V y B2 base de V y sea
MATRIZ ASOCIADA A LA COMPUESTA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean T.L.

Con


Sean B1 base de U, B2 base de V y B3 base de W; y sean:


La composición se puede hacer tanto matricialmente como aplicando
MATRIZ CAMBIO DE BASE O DE CAMBIO DE COORDENADAS

Considerando la transformación lineal identidad

Considerando base de V, y base de W; entonces:

La matriz asociada a la identidad actúa como matriz cambio de base o matriz cambio de coordenadas de la base B1 a la base B2.


NOTACIÓN:
FÓRMULA:
OBSERVACIÓN:
PROPIEDAD: La matriz es regular y
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Sea endomorfismo
DEFINICIÓN: El vector es un autovector o vector propio de T. A λ se lo llama autovalor o valor propio asociado a x.
DEFINICIÓN DE FORMA MATRICIAL: Sea

El vector es un autovector de


A λ se lo lama autovalor asociado a X.
PROPIEDAD:

OBSERVACIÓN:

Polinomio característico cuyas raíces van a ser los autovalores de A

Ecuación característica.
OBSERVACIÓN: Una vez hallados los autovalores al reemplazarlos en el sistema homogéneo que es compatible indeterminado queda formado un subespacio de llamado subespacio propio asociado a λ (o autoespacio):



MATRIZ SEMEJANTE:

Una matriz B de orden n es semejante a una matriz A de orden n si existe una matriz regular P de orden n / .

Dos matrices semejantes representan el mismo endomorfismo en bases distintas.
PROPIEDAD:
DEFINICIÓN: Una matriz A de orden n es diagonalizable tiene n autovectores L.I.

En este caso A es semejante a una matriz diagonal D cuyos elementos en la diagonal son los autovalores de A mientras que P es una matriz cuyas columnas son respectivamente los n autovectores L.I. de A. ()


PROPIEDAD: Si los autovalores de A son reales y distintos, los autovectores asociados son L.I.

MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMÉTRICA:

A k se lo llama multiplicidad algebraica y a p se lo llama multiplicidad geométrica.


PROPIEDAD: El subespacio propio asociado a un autovalor λ de multiplicidad tiene dimensión

CONSECUENCIAS DE ESTA PROPIEDAD:



  • El subespacio propio asociado a un autovalor simple es de dimensión 1.

  • A es diagonalizable k=p para todo autovalor.


DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS:

PROPIEDADES:



  • Si A es una matriz real de orden n simétrica λ son números reales.

  • Si A matriz simétrica de orden n A tiene n autovectores ortonormales.

  • Una matriz es diagonalizable ortogonalmente es simétrica





Formulario de Vectores y Matrices

Elaborado por: Ing. Roberto Castellanos

Contacto: www.robertocastellanos.como T.682.806.131


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