Medidas descriptivas Introducción



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2. Medidas descriptivas

2.1 Introducción


Los fenómenos biológicos no suelen ser constantes, por lo que será necesario que junto a una medida que indique el valor alrededor del cual se agrupan los datos, se asocie una medida que haga referencia a la variabilidad que refleje dicha fluctuación.

En este sentido pueden examinarse varias características, siendo las más comunes:



La tendencia central de los datos;



La dispersión o variación con respecto a este centro;



Los datos que ocupan ciertas posiciones.



La simetría de los datos.



La forma en la que los datos se agrupan.

  


Figura: Medidas representativas de un conjunto de datos estadísticos


A lo largo de este capítulo, y siguiendo este orden, iremos estudiando los estadísticos que nos van a orientar sobre cada uno de estos niveles de información: valores alrededor de los cuales se agrupa la muestra, la mayor o menor fluctuación alrededor de esos valores, nos interesaremos en ciertos valores que marcan posiciones características de una distribución de frecuencias así como su simetría y su forma.


2.3 Estadísticos de tendencia central


Las tres medidas más usuales de tendencia central son:

la media,



la mediana,



la moda.

En ciertas ocasiones estos tres estadísticos suelen coincidir, aunque generalmente no es así. Cada uno de ellos presenta ventajas e inconvenientes.

2.3.2 La media


La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X es

X

ni

fi

x1

n1

f1

...

...

...

xk

nk

fk

la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:

Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces





2.3.2.1 Observación


Hemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores de xi por las marcas de clase correspondientes. En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi. Es decir, habrá una perdida de precisión que será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos.

  
2.3.2.2 Proposición


La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir,

Demostración

Basta desarrollar el sumatorio para obtener

Este resultado nos indica que el error cometido al aproximar un valor cualquiera de la variable, por ejemplo x1, mediante el valor central , es compensado por los demás errores:



Si los errores se consideran con signo positivo, en este caso no pueden compensarse. Esto ocurre si tomamos como medida de error alguna de las siguientes:







que son cantidades estrictamente positivas si algún .


2.3.2.3 Ejemplo


Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero.

li-1 - li

ni

0 - 10

1

10 - 20

2

20 - 30

4

30 - 40

3

Solución:

li-1 - li

ni

xi

xi ni





0 - 10

1

5

5

-19

-19

10 - 20

2

15

30

-9

-18

20 - 30

4

25

100

+1

+4

30 - 40

3

35

105

+11

+33

 

n=10

 



 



La media aritmética es:

Como se puede comprobar sumando los elementos de la última columna,




     
2.3.2.4 Proposición (König)


Para cualquier posible valor kque consideremos como candidato a medida central, lo mejora en el sentido de los mínimos cuadrados, es decir

Demostración

Sea . Veamos que el error cuadrático cometido por kes mayor que el de .


   
2.3.2.5 Proposición (Linealidad de la media)




    
2.3.2.6 Proposición


Dados r grupos con n1, n2, ..., nrobservaciones y siendo , , ..., las respectivas medias de cada uno de ellos. Entonces la media de las observaciones es

Demostración

Vamos a llamar xij a la j-ésima observación del grupo i; Entonces tenemos

Así, agrupando convenientemente las observaciones se llega a que




2.3.2.7 Observación


A pesar de las buenas propiedades que ofrece la media, ésta posee algunos inconvenientes:

  • Uno de ellos es que es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. En consecuencia,

  • no es recomendable usar la media como medida central en las distribuciones muy asimétricas;

  • Depende de la división en intervalos en el caso de variables continuas.

  • Si consideramos una variable discreta, por ejemplo, el número de hijos en las familias de Málaga el valor de la media puede no pertenecer al conjunto de valores de la variable; Por ejemplo hijos.

2.3.2.8 Cálculo abreviado


Se puede utilizar la linealidad de la media para simplificar las operaciones necesarias para su cálculo mediante un cambio de origen y de unidad de medida. El método consiste en lo siguiente:

1.


Tomamos a un número que exprese aproximadamente el tipo de unidad con la que se trabaja. Por ejemplo, si las unidades que usamos son millones, tomamos a=1.000.000.

2.


Seleccionamos un punto cualquiera de la zona central de la tabla, x0. Este punto jugará el papel de origen de referencia.

3.


Cambiamos a la variable

 

4.

Construimos de este modo la tabla de la variable Z, para la que es más fácil calcular directamente, y después se calcula mediante la relación (2.2).


2.3.2.9 Medias generalizadas


En función del tipo de problema varias generalizaciones de la media pueden ser consideradas. He aquí algunas de ellas aplicadas a unas observaciones x1, ..., xn:

La media geométrica

, es la media de los logaritmos de los valores de la variable:

Luego


Si los datos están agrupados en una tabla, entonces se tiene:





La media armónica

, se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, es decir,

Por tanto,





La media cuadrática

, es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados:





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