Matemáticas para economistas 1



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Matemáticas para economistas 1
Calendario de clases
Se consideran catorce semanas de clases de dos horas cada una a razón de dos clases por semana. Además habrá dos semanas de exámenes durante las cuales no se dictarán clases. En total serán sesenta horas de curso.
1ª clase: El sistema de los números reales como campo provisto de las operaciones de adición y multiplicación.. El mismo sistema como campo ordenado, como campo arquimediano y como campo completo, a diferencia del campo de los números racionales.
2ª clase: Sucesiones como funciones definidas en el sistema de los números naturales. Subsucesiones como composición de sucesiones crecientes de naturales con sucesiones de reales. Límites de sucesiones, convergencia y divergencia de sucesiones. Sucesiones de Cauchy. Propiedades del límite de una sucesión: unicidad de él, convergencia de toda subsucesión de una sucesión convergente, acotación de toda sucesión convergente y convergencia de toda sucesión monótona convergente.
3ª clase: Teorema de Bolzano-Weierstrass. Preservación, por paso al límite, de desigualdades y de operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división. Límites infinitos. Series como sucesiones de sumas parciales. Convergencia y divergencia de ellas. Convergencia absoluta de seires.
4ª clase: Funciones como conjuntos de pares ordenados. Sus dominios y codominios. Composición de funciones. Funciones inversas. Correspondencias y relaciones. Propiedades de reflexividad, simetría y transitividad. Equivalencias. Particiones de conjuntos y equivalencias por ellas generadas. Conjunto cociente de una equivalencia.
5ª clase: Nociones topológicas en la recta real: punto interior, vecindad de un punto, conjuntos abiertos, cerrados, punto fronterizo, clausura de un conjunto, conjuntos compactos.
6ª clase: Punto de acumulación y conjunto derivado de un conjunto. Límite de una función en un punto de acumulación. Teorema del emparedado. Unicidad del límite de una función. Preservación, mediante toma de límites, de las operaciones aritméticas.
7ª clase: Límites laterales de una función en un punto de acumulación del dominio: diestro y siniestro. Límites en infinito y en menos infinito. Límites infinitos.
8ª clase: Continuidad y discontinuidad de una función en un punto de su dominio. Continuidad y discontinuidad de una función. La desigualdad de las imágenes de un punto mediante dos funciones continuas se preserva cerca de dicho punto.
9ª clase: La continuidad de una función en un punto equivale a que la imagen de dicho punto sea el límite de las imágenes de puntos que convergen a él. Continuidad de la suma, la resta, la multiplicación y el cociente de dos funciones continuas.
10ª clase: Continuidad de la composición de funciones continuas. Teorema del valor intermedio. Máximos y mínimos locales y globales de funciones.
11ª clase: Las imágenes de intervalos mediante funciones continuas son intervalos. Teorema de Weierstrass. Las imágenes de compactos mediante funciones continuas son acotadas. Toda biyección continua definida en un compacto tiene función inversa continua.
12ª clase: Derivada de una función en un punto. Derivabilidad ó diferenciabilidad de una función. Equivalencia entre la diferenciabilidad de una función en un punto y la existencia de una aproximación lineal óptima a ella en dicho punto. Diferenciabilidad de suma, resta, producto y cociente de funciones diferenciables. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa.
13ª clase: Derivadas laterales de una función: diestra y siniestra. Sus propiedades. Condiciones necesarias, en términos del signo y nulidad de la derivada, para máximos y mínimos locales de una función.
14ª clase: Teoremas de Rolle y del valor medio. Derivadas de orden superior. Polinomio de Taylor de una función y resto de orden n en un punto del dominio de la función.
15ª clase: Propiedades de la función resto de orden n de una función en un punto. Aplicación a la optimización irrestricta.
16ª clase: Concavidad y convexidad de funciones. Continuidad de tales funciones. Condiciones suficientes para máximo global y para mínimo global en términos de concavidad y convexidad.
17ª clase: Antiderivada ó integral indefinida de una función real de variable real. Propiedades de las integrales indefinidas de funciones.
18ª clase: Algunos métodos de integración: por partes y por sustitución de variables.

El espacio vectorial n. Operaciones con vectores.


19ª clase: Propiedades de esas operaciones. Combinaciones lineales de conjuntos de vectores. Producto escalar y norma de vectores.
20ª clase: Ortogonalidad de vectores y proyección de un vector sobre otro. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
21ª clase: Rectas e hiperplanos en n. Matrices y operaciones entre ellas. Propìedades de dichas operaciones.
22ª clase: Propiedadesde la multiplicación matricial. Potencias de matrices cuadradas.
23ª clase: Transposición matricial. Propiedades de la transposición matricial y matriz identidad.
24ª clase: Determinantes e inversas de matrices cuadradas. Propiedades de los determinantes.
25ª clase: Propiedades de la inversa de una matriz. Teorema equivalencia de la existencia de la inversa de una matriz y de la no nulidad de su determinante.
26ª clase: Dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores. Subespacios vectoriales Rango y nulidad de matrices vistas como transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
27ª clase: Bases de espacios vectoriales. La imagen y el núcleo de una matriz son subespacios vectoriales. Valor de la suma y el rango de una matriz. Menores de una matriz.
28ª clase: Autovalores y autovectores de matrices cuadradas. Diagonalización de matrices cuadradas.

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