Matemáticas 1º eso programación didáctica



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Unidad 7. Longitudes y áreas

La unidad se inicia con el tema “Medidas de longitud y superficie”. Explica que para medir tanto la longitud entre dos puntos, como la superficie, hay que compararla con una unidad que se toma de referencia, denominada unidad patrón o estándar. En el sistema métrico decimal, la unidad patrón de la longitud es el metro (m) y de la superficie, el metro cuadrado (m2), que no es más que la superficie que ocupa un cuadrado de un metro de lado.

A partir del metro y del metro cuadrado se definen las unidades múltiples, para medir longitudes y superficies más grandes que los metros y los metros cuadrados, y los submúltiplos, para medir las longitudes y superficies más pequeñas que los metros y los metros cuadrados.

El tema nos muestra el procedimiento de cómo cambiar estas unidades de longitud y de superficie y se hace multiplicando o dividiendo por la unidad seguida de ceros. Se muestran representaciones gráficas indicando cómo se pasa de una unidad a otra.

En otro apartado, el tema nos enseña que las magnitudes pueden expresarse de dos formas, por lo tanto también se puede hacer con las unidades de longitud y superficie. Estas dos formas se denominan forma compleja y forma incompleja y se explica cómo pasar de la forma compleja a la incompleja y al revés. Un punto importante es conocer que sólo se puede operar aritméticamente con longitudes y superficies si están expresadas en la misma unidad. Se muestran ejemplos de ambos procesos.

Casi para acabar se explican las unidades de longitud tradicionales, basadas en las partes del cuerpo o en objetos, y las unidades de superficie agrarias.

Otro punto interesante son las unidades de longitud que se usan en el sistema inglés y su equivalencia en nuestro sistema métrico decimal.

El segundo tema trata “Instrumentos de medida de longitudes” empieza con la definición de medir, ¿qué es medir? ¿Cómo se mide la longitud en una regla? ¿A qué valores corresponden las medidas de una regla?

El tema explica que para medir longitudes existen diferentes instrumentos de medida y depende de que queremos medir, tenemos que utilizar uno u otro. Los alumnos tendrán que hacer algún ejercicio de asociación de instrumentos en objetos o cosas a medir.

A continuación se explican los diferentes instrumentos para medir longitudes, dando las características propias de cada uno y que pueden medir y cómo: cinta métrica, regla graduada, pie de rey o calibrador y palmer o micrómetro. Hay dos apartados dedicados exclusivamente al funcionamiento del pie de rey y el palmer.

El otro punto capital son los apartados de longitudes muy grandes y muy pequeñas y las unidades de medida especiales que las representan. En las longitudes muy grandes se denominan la unidad astronómica y el año luz, y en las longitudes muy pequeñas, el micrómetro, el nanómetro, el angstrom. También se ven las equivalencias de todas estas unidades en metros y kilómetros.

Para acabar, hay un punto dedicado al origen de la unidad astronómica, la definición de escala respecto a un plano o un mapa, los números grandes y las potencias de 10 y por último la notación científica.

El tema “Operaciones con unidades de longitud y superficie” repasa el cambio de unidades del sistema métrico decimal, y las formas complejas e incomplejas tanto de longitud, como de superficie. También el concepto de magnitud, muy importante para reconocer como tal la longitud y la superficie.

Con la revisión de estos conceptos, se explica el proceso de suma y resto de longitudes y superficies, primero lo hace en forma incompleja (se tienen que expresar siempre en la misma unidad y si no es así se tienen que convertir, primero, a la misma unidad, antes de sumar o restarlas) y en forma compleja con las peculiaridades que esta forma exige. Para sumar o restar las longitudes y superficies de forma compleja se usa un cuadro de unidades y se explica el procedimiento de uso de este cuadro para llegar al resultado correcto.

El último punto que se trata es la multiplicación de un número por una longitud o una superficie, tanto cuando las unidades de medida de estas magnitudes están expresadas en forma incompleja, como en forma compleja. Los procedimientos a seguir son los mismos, independientemente de si la magnitud es la longitud o la superficie.

El tema “Aproximaciones y errores en medidas de longitud” empieza diferenciando los conceptos estimar y medir longitudes, aspecto muy importante para recorrer el resto de contenidos. También se destaca la importancia de las estimaciones en el día a día y que se aprende a estimar en la práctica (habilidades estimativas). Dependiente de la finalidad, es útil medir de manera precisa (medida exacta) o es suficiente al obtener un valor aproximado haciendo una estimación y por lo tanto sin utilizar ningún instrumento de medida.

Hay varias estrategias de estimación y el tema trata algunas, las más habituales: usar objetos (definir como unidad un objeto y distribuirlo a lo largo del objeto que queremos medir), comparar longitudes (comparar la longitud que queremos medir con una longitud conocida), encontrar mitades cuando la longitud que queremos estimar es demasiado grande (se divide entre dos y se estima sólo la mitad, si esta todavía es muy grande, vuelve a estimar la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Si se divide muchas veces, el error que se puede cometer es mayor) y por último, tomar una medida como referencia.

El otro punto que trata el tema es la diferencia entre precisión y exactitud. Antes de medir una longitud y para elegir el instrumento adecuado se tiene que saber la precisión necesaria. Aun así, la exactitud de una medida define cómo son de próximas la medida realizada y la medida real.

Los errores de medida es uno de los puntos capitales. Se da una definición y una clasificación en dos grandes grupos, según cómo se realiza la medida (error sistemático y accidental) y según la aproximación de la medida obtenida (error absoluto y relativo). El error absoluto va ligado al relativo y al revés, uno sin el otro no dan mucha información. Si el error relativo es inferior a 0,01, la medida es aceptable. La medida que tiene un error relativo menor es una mejor medida. Respecto a los errores absolutos y relativos hay un apartado dedicado a ejemplos de aplicación y cómo se expresa una medida junto con el error absoluto.

El último apartado importante es la aproximación de un número, se define el concepto y se hace la clasificación en dos tipos, por defecto y por exceso. Se puede aproximar un número hasta la orden de las decenas, las centésimas, etc., el número de cifras decimales elegidas. Esta aproximación hasta un determinado orden se puede hacer de dos maneras: por truncamiento y redondeo y se explica cada uno de los procesos.

Hay dos recursos complementarios interesantes, la definición y características de las cifras significativas y cómo ha ido mejorando la precisión en la aproximación al valor del número π (pi) a lo largo de la historia, a consecuencia de la mejora de la precisión de las herramientas para tomar medidas y calcular.

La siguiente unidad está dedicada al “metro”, medida patrón de la longitud. Cuando se mide la longitud se utiliza el metro y sus múltiplos o submúltiplos, pero no siempre ha sido así, no siempre se ha utilidad el metro de forma generalizada.

Para iniciar el tema se hace una serie de preguntas a los alumnos a modo de introducción de los siguientes puntos que explican cómo se medía antes del metro, cómo nació el metro y la definición de metro en la actualidad.

A lo largo de la historia, ha ido cambiando la forma de definir y medir una longitud: partes del cuerpo humano y unidades que tenían longitudes diferentes según el lugar geográfico, incluso entre pueblos de la misma comarca. Esta manera de medir tenía muchos inconvenientes y por eso se pensó en la necesidad de adoptar un patrón de medida universal. A partir del siglo XVII se intentó encontrar una medida común para todo el mundo y crear un sistema de medidas en que las unidades dependieran de realidades físicas inalterables.

La última unidad está dedicada a las “Medidas de tiempo” e igual que se hizo en las medidas de longitud, se definen las unidades más habituales y cómo se pasa de unas a las otras (conversiones de unidades). También se habla de los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida del tiempo y se denominan unas cuántas.

La diferencia fundamental entre la medida de la longitud o la superficie y la medida del tiempo es el sistema de referencia por el cual se rigen, los primeros por el sistema métrico decimal, el tiempo por el sistema sexagesimal. Los ángulos también se miden según el sistema métrico sexagesimal y se explican las diferencias entre los dos.

Hay un par de puntos capitales en el tema, el primero es el de cambio de unidades de tiempo, cómo se pasa de unas a las otras y el nombre que tienen. Este cambio también se puede producir utilizando los factores de conversión y se explica mediante un ejemplo cómo se tiene que hacer. El segundo punto es la forma compleja e incompleja en la que se pueden expresar las unidades de tiempos. El tema explica cómo pasar de una forma compleja a incompleja y de una forma incompleja a compleja, con ejemplos y algún ejercicio.

Para acabar, el tema enseña cómo sumar y restar las unidades de tiempos en forma compleja con ejemplos y ofrece una serie de recursos complementarios interesantes, como los siglos y su expresión con los números romanos, el cambio temprano que se produce dos veces al año y las unidades de tiempos múltiples del año.

El tema “Líneas poligonales” empieza permitiendo a los alumnos que hagan prácticas en las líneas poligonales. En este recurso interactivo los alumnos ya pueden ver una definición de línea poligonal de diferentes tipos, a partir de segmentos delimitados. Los ejercicios que resolverán los alumnos en este recurso, permitirá ver que hay dos tipos de líneas poligonales (abiertas y cerradas), el nombre que recibe la superficie que se queda dentro de las líneas poligonales cerradas (polígono) y finalmente, cuando son cóncavos y convexos, los polígonos.

El tema expresa teóricamente todo lo que los alumnos han aprendido en los ejercicios, siempre utilizando ejemplos gráficos. Empieza con la definición de línea poligonal y no poligonal (si en un vértice se unen más de dos segmentos), segmento, extremo, costado, vértice, ángulos y polígono.

El siguiente punto importante es la clasificación y definición de las líneas poligonales siguiendo dos criterios, que no se excluyen entre ellos: si los extremos coinciden o no (líneas abiertas o cerradas) y la amplitud de los ángulos de la línea (líneas convexas o cóncavas). Por lo tanto, existen líneas abiertas convexas y líneas abiertas cóncavas.

El último punto es la longitud de las líneas poligonales y cómo se calcula.

El contenido se completa repasando los conceptos de cóncavo y convexo y explicando el método para determinar si una línea poligonal es una cosa o la otra. El otro punto complementario y de repaso es la definición y características del plano. Los tres conceptos son imprescindibles para comprender las diferentes características de las diferentes líneas poligonales.

El tema “Área y perímetro de un polígono” se inicia con la práctica, mediante una aplicación interactiva con varios niveles, de construcción de polígonos tanto regulares como irregulares. También se verán, automáticamente, el perímetro y el área de cada uno de los polígonos. A partir de esta actividad se plantean algunas preguntas para los alumnos y a través de las cuales aprenderán algún concepto interesante para más adelante.

El primer apartado está dedicado a la definición del perímetro (P) de los polígonos regulares e irregulares (cómo ya saben los alumnos, tienen características diferentes) y cómo se calculan según sean una cosa o la otra. También se hace mención a cómo se mide el perímetro. Se explica utilizando ejemplos gráficos.

El segundo apartado define el área de los polígonos (A), qué representa y cómo se mide. Se utiliza un ejemplo para explicar el concepto. Se diferencia también entre el cálculo del área en polígonos regulares e irregulares. En el cálculo del área de polígonos regulares se utiliza una fórmula donde aparecen conceptos como el perímetro y el apotema de un polígono. También hay una representación gráfica donde se ven claramente los elementos que definen un polígono regular: centro, radio y apotema, además de los elementos comunes en todos los polígonos como los lados, los vértices, etc. La unidad hace una definición explícita del centro, el radio y el apotema.

El tercer apartado está dedicado a la diferencia entre área y perímetro y aclara que no representan la misma magnitud.

El siguiente punto es el perímetro y área de las figuras compuestas y la definición de una figura compuesta, porque es fundamental para poder hacer los cálculos del perímetro y el área. Se explica, pues, el proceso a seguir para calcular el perímetro de una figura compuesta y también cómo, para calcular el área, la figura compuesta se tiene que descomponer en figuras más simples y calcular las áreas de estas figuras. Una vez calculadas las áreas de las figuras simples, estas se tendrían que sumar para obtener el área total de la figura compuesta.

La unidad tiene un punto dedicado a cómo descomponer figuras, puesto que a veces el proceso es muy sencillo (áreas con contornos rectos se pueden dividir en un conjunto de rectángulos y triángulos y figuras con formas redondeadas pueden dividirse en sectores de círculos y óvalos), porque se pueden calcular las áreas por separado y desprendido sumarse entre sí. Otras veces, el proceso no es tan simple, porque se tiene que medir un espacio negativo y restar su área del total. Este punto se explica con ejemplos y con la posibilidad de hacer ejercicios por parte de los alumnos.

Por último, se explica la construcción de figuras con el tangram. Los alumnos ya conocen este juego chino y la unidad propone que practiquen con él, ofreciendo una plantilla para que creen su propio tangram (siete piezas, cinco triángulos de diferentes formas, un cuadrado y un paralelogramo), utilizando, evidentemente todas las piezas. La unidad destaca que las figuras obtenidas tendrán la misma área. La unidad también ofrece, en este caso, ejemplos de figuras que se pueden hacer en un tangram y algún ejercicio a resolver por los alumnos.

“Área y perímetro de un rectángulo” se inicia con un ejercicio de manipulación matemática, mediante el cual se iniciarán en el cálculo del perímetro y área de cuadrados y rectángulos. También aprenderán a explicar el procedimiento seguido para hacer los cálculos.

El primer punto ofrece una definición del polígono cuadrilátero, entre los cuales se incluyen los cuadrados y rectángulos. De hecho, el cuadrado es un caso particular de rectángulo, porque tiene los cuatro lados iguales. A continuación el tema explica qué son los vértices y diagonales de un cuadrilátero y, apoyándose en figuras gráficas, una definición y un trazado sobre la propia figura.

El segundo y tercer punto detallan las características del rectángulo y del cuadrado, respecto de los ángulos y de los lados. El cuadrado también se denomina cuadrilátero regular.

El cuarto punto es muy importante, está dedicado a la definición y cálculo del área y el perímetro de los rectángulos. Se expresan los dos conceptos mediante una fórmula. Sobre este punto, la unidad propone, entre otros, un ejercicio muy ilustrativo que obtiene el área y el perímetro de una pista de baloncesto. También pueden practicar estos cálculos en Geogebra.

El quinto punto muestra el caso peculiar del cálculo del área y el perímetro de los cuadrados. También se nos enseña la expresión de los cálculos con una fórmula.

Un punto complementario es el llamado cuadriláteros paralelogramos. Los rectángulos y cuadrados se pueden clasificar también como paralelogramos puesto que son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales y paralelos. Como otros ejemplos de paralelogramos están los rombos y los romboides.

Cómo en temas anteriores, en “Área y perímetro de un rombo y de un trapecio” se inicia el estudio de los rombos en un ejercicio, a partir del cual, con los valores numéricos de las diagonales (mayor y menor) y el lado y alguna característica más, como que las diagonales del rombo lo dividen en cuatro triángulos rectángulos iguales y que los cuatro lados de un rombo siempre miden el mismo, se averigua la fórmula para calcular el perímetro del rombo, además del área del rombo a partir de las áreas de los triángulos.

El primer punto ofrece una definición de rombo y un detalle de sus características en lados y ángulos. Así mismo se explica como calcular el perímetro y el área del rombo con las fórmulas adecuadas.

En el segundo punto se ofrece una definición de romboide y se explican las características que tienen los lados y los ángulos. También se exponen las fórmulas del cálculo del perímetro y el área.

El tercer punto explica qué es un trapecio y las características que tienen los tres tipos de trapecios que hay: isósceles, escalenos y rectángulos. Igualmente se describe el cálculo del perímetro y área de un trapecio, mediante una fórmula. También se definen los trapezoides, que no se tienen que confundir con los trapecios.

Los cálculos de perímetros y áreas de rombos, trapecios y paralelogramos, los alumnos los podrán practicar en dos tipos de recursos interactivos desde los cuales también podrán comprobar si los resultados son correctos o no.

Por otro lado y como un recurso complementario y extra de la unidad, la unidad ofrece la demostración de la fórmula del área del rombo paso a paso.

Para empezar el tema “Área de un círculo y longitud de una circunferencia” se hace una actividad donde hay que utilizar una hoja de papel y dibujar una circunferencia con el apoyo de algunos instrumentos (compás, transportador de ángulos, regla, tijeras, hilo,...). De hecho, se trata de hacer una manualidad a partir de la cual los alumnos repasarán conceptos como por ejemplo el origen y el radio de una circunferencia. Los alumnos, a partir de dibujar con un compás una circunferencia y señalar más de un radio, calcularán el perímetro o longitud de la circunferencia y alguno de los ángulos con el transportador. Mediante la actividad, los alumnos podrán averiguar la relación entre la longitud y el radio de una circunferencia y aprenderán que cuando los cálculos se realizan manualmente siempre se cometen errores.

El primer punto, pues de la unidad, se denomina círculos y circunferencias donde se definen cada uno de los conceptos y se explican las diferencias entre ellos. En este mismo apartado se enumeran y se muestran gráficamente los principales elementos de la circunferencia: el radio, la cuerda, el diámetro, el arco y la semicircunferencia.

El segundo punto importante es el cálculo del área de los círculos y la longitud de las circunferencias con la presentación de las fórmulas que se utilizan para hacerlo. Se propone un ejercicio a los alumnos utilizando una figura gráfica. Por este punto es muy importante que los alumnos conozcan el valor que se asigna a π (el número pi).

Para acabar, el tema habla del uso de la tecla número π (pi) en la calculadora y hace un poco de historia de este número y de cómo se calcula, encontrando el valor del número pi π estableciendo la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro o su radio. Esta relación también se puede representar gráficamente.

El tema “Área de un sector circular y longitud de un arco de circunferencia” también empieza con una actividad práctica, mediante la cual, los alumnos repasarán conceptos como el cálculo del perímetro y área de figuras compuestas, en este caso mosaicos formados por cuadrados y círculos. Una parte importante de la actividad es que los alumnos trabajarán en grupo. A partir de algún dato numérico que el enunciado de la actividad proporciona, los alumnos tendrán que calcular qué mosaicos o baldosas tienen menos perímetro y más área. Una vez tengan todos los datos obtenidos en los cálculos, los alumnos tendrán que comparar valores de perímetros (cm) y áreas (cm2) y elegir la figura más adecuada a la que el enunciado pide.

La primera parte trata sobre qué es el arco de una circunferencia y cómo se calcula su longitud. Se enseña a los alumnos la fórmula a aplicar en este caso, donde hay implicados dos radios de la circunferencia y el ángulo delimitado entre los dos.

El siguiente punto enseña a los alumnos, mediante algún ejemplo y propuesta de ejercicio, cómo calcular el área de los sectores circulares y la fórmula para hacerlo. Obviamente, primero se explica qué es un sector circular y cómo se traza. A partir del conocimiento de que el ángulo total de la circunferencia es de 360 grados y el cálculo del ángulo central del sector circular, podrá calcularse el área de este sector. Por lo tanto en este punto, la conclusión que los alumnos extraerán es que para calcular el ángulo central de un sector se tiene que dividir 360º en tantas partes como se haya seccionado el círculo.

El último punto trata el cálculo del área de las coronas circulares y proporciona la fórmula para calcularla. Como antes, primero se define el concepto de corona circular con el apoyo de una representación gráfica. Para poder hacer este cálculo, se tiene que conocer el concepto de circunferencias concéntricas. Uno de los recursos complementarios de la unidad habla sobre el ángulo central de una circunferencia y explica cómo calcularlo a partir de dos radios cualquiera. Otro recurso nos da la cifra de cuando mide el ángulo total de una circunferencia.


Contenidos
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS


  • Coherencia de las unidades: Vacaciones en Tailandia

ACTIVIDAD DE PRESENTACIÓN


  • El AVE

OBJETOS DE APRENDIZAJE




Actividad inicial

Exposición teórica - Actividades

Propuesta de trabajo

Unidades de medida

Andar es bueno para la salud

  1. Medidas de longitud y superficie

Cambios de unidades con cálculo mental

Medimos con cuidado

  1. Instrumentos de medida de longitudes

Es hora de medir

La estrella de las medidas

  1. Operaciones con unidades de longitud y superficie

Geometría plana

Medir y estimar, todo es empezar

  1. Aproximaciones y errores en medidas de longitud

Sistema métrico y sistema anglosajón

Los sistemas de medida en la antigüedad

  1. Historia de la medida

La medición a lo largo del tiempo

De sesenta en sesenta

  1. Medidas de tiempo

El día de mi nacimiento

Puntos que hacen líneas, líneas que hacen polígonos

  1. Líneas poligonales

Dibujando líneas poligonales con Pac-Man

Construye tus propios polígonos

  1. Área y perímetro de un polígono

Pentaminós

La papiroflexia

  1. Área y perímetro de un triángulo

Doble o mitad

Cuadriláteros

Cuadrados, rectángulos y cordeles

  1. Área y perímetro de un rectángulo

Cálculo de áreas y perímetros con el geoplano

Logotipos geométricos

  1. Área y perímetro de un rombo y de un trapecio

Cálculos ágiles y rápidos

Seguimos el hilo

  1. Área de un círculo y longitud de una circunferencia

Juego matemático con mandarinas

Concurso de mosaicos

  1. Área de un sector circular y longitud de un arco de circunferencia

Un arco astronómico


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