Matematicas recreativas en el aula de matematicas



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Actividad 16

Vamos ya a introducir una sucesión muy particular y conocida : la sucesión de Fibonacci.


Conoceremos a Leonardo de Pisa y también a Edouard Lucas y su relación con esta sucesión. El primer contacto con la sucesión de Fibonacci se hará a través del famoso problema de los conejos.
Material : Fotocopia de la información , calculadora, cuaderno de trabajo.

Leonardo de Pisa (1170-1240) , más conocido como Fibonacci, nació en Pisa . Durante su juventud

viajó a Argelia entrando en contacto con la cultura árabe. Conoció la notación decimal indo-arábiga

y al regresar a su patria publicó su obra Liber abaci con la que divulgó el uso de las cifras árabes y

calculó con ellas, mostrando la ventaja que este sistema de numeración representaba frente al sistema

de numeración romana que todavía se utilizaba en Europa.

Uno de los muchos problemas que Fibonacci investigó trataba de los conejos y su rápida

reproducción. Un par de conejos adultos, macho y hembra, empiezan a procrear a los dos meses de

su nacimiento engendrando un único par, macho y hembra. A partir de ese momento, cada uno de los

meses siguientes engendrará una pareja más. El problema parte de una pareja de conejos recién

nacida. Al final del primer mes hay una pareja ( la inicial).Al final del segundo mes, sigue habiendo

una única pareja ya que aún no han procreado. Al cabo del tercer mes habrá dos parejas. Al final del

tercer mes habrá 3 parejas , .....

Suponiendo que nuestros conejos nunca mueren y siempre producen un nuevo par de conejos,

¿cuántas parejas crees que habrá al cabo de un año?


Nota : Así fue como Fibonacci planteo y estudio el problema , pero en la realidad, parece

ser que el apareamiento entre hermanos trae problemas genéticos. Además realmente, no es

cierto que en cada parto nazcan exactamente dos conejos, macho y hembra. Henry E.

Dudeney sustituyó este problema por otro equivalente , más realista: Una vaca produce su

primera cría a los dos años, y después produce una cría cada uno de los años siguientes.

¿Cuántas vacas habrá al cabo de doce años, suponiendo que ninguna de ellas muere?



  • Responde a las pregunta que plantea el texto.



Actividad 17

Comencemos a manipular con la sucesión de Fibonacci para así llegar a descubrir sus propiedades.

Cualquier sucesión en la que un término, a partir del tercero, es suma de los dos anteriores

se llama sucesión de Fibonacci . Podemos determinar los términos de una sucesión de

Fibonacci conociendo los dos primeros que han de ser positivos.

A partir de la sucesión de Fibonacci


1 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 43 , ......
se han ido construyendo los siguientes rectángulos:










a b c d e

Explica como se han construido. Con las dimensiones de estos rectángulos ( tomando como

unidad de medida el lado de un cuadradito) y llamando x la longitud del lado mayor e y a

la del lado menor , completa la siguiente tabla, para los rectángulos dibujados antes y los

siguientes.


Rectángulo a b c d e f g



x / y


¿La sucesión se va pareciendo a algún número que tú conozcas?

Actividad 18

En esta actividad continuaremos formalizando y avanzando en el conocimiento de la sucesión de

Fibonacci.

Vamos a denotar por a1 el primer término de la sucesión de Fibonacci, por a2 el

segundo término de la sucesión, y, en general an el término que ocupa el lugar n.
Vamos a considerar la sucesión de los cocientes
Los primeros términos serán :

, , , , , , ..........

o expresado con números decimales:


1 , 2 , 1,5 , 1,666666 , 1,6 , 1,625 , 1,615384615 ...........

Ejercicio : Calcula los 20 primeros términos de la sucesión. ¿Esos términos se van

aproximando cada vez más a algún número conocido?

Actividad 19

Fibonacci no profundizó en el problema de las sucesiones de números. Sólo en el siglo XIX los matemáticos empezaron a tratar en toda su extensión el tema de las sucesiones. Uno de ellos, conocido con el nombre de Lucas, llevó a cabo serias investigaciones sobre este tipo de sucesiones numéricas que comienzan con dos números enteros y cuya ley de formación es tal que cualquier otro término se obtiene sumando los dos anteriores. Tales sucesiones se llaman series de Fibonacci y estimularon la curiosidad de muchos matemáticas, que encontraban siempre nuevas propiedades y teoremas.


Lo más asombroso es que los números de esta sucesión aparecen en muchos fenómenos naturales.

Podemos encontrar ejemplos en el campo de la Botánica:



  • Si partimos de una hoja de un tallo de una planta y contamos el número de hojas consecutivas hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por lo general, un término de la sucesión de Fibonacci.

  • En las “hojas “ de una piña ocurre lo mismo : si las contamos, observaremos que aparecen en espiral alrededor del vértice en un número igual a los números de la sucesión de Fibonacci .

Recientemente, tales series se han revelado de gran utilidad en los métodos de programación por ordenador, en la selección de datos, en la recuperación de la información y otros problemas informáticos.


 Ejercicio : Cuando salgas de paseo al campo, observa las piñas que están en el

suelo y si encuentras alguna en la que pueda observarse bien la propiedad de Fibonacci, recógela y llévala a clase.



Actividad 20

Continuamos acercándonos a las curiosas e interesantes propiedades de la sucesión de Fibonacci. Los alumnos trabajarán individualmente en su cuaderno, aunque agrupados en mesas de 4 o 5 alumnos para enriquecer el proceso de obtención de resultados.


Una propiedad de esta sucesión es que cada tres términos de la sucesión los números son

divisibles por dos. Análogamente, puede estudiarse que lugares ocupan los términos

divisibles por 3, 5 , 8 , 13, etc.

Ejercicio : Escribe, con ayuda de la calculadora, los 32 primeros términos de la sucesión de Fibonacci. Después construye y completa una tabla como la siguiente:



MÚLTIPLOS DE: OCUPAN LOS LUGARES:




2 3º,6º, 9º, 12º, 15º, 18º, 21º,24º,27º, 30º

3



5

8

13


21


Se puede comprobar también que si a cada término al cuadrado le restamos el producto del

anterior por el siguiente se obtiene alternativamente 1 y -1

Comprueba en tu cuaderno que esto ocurre al menos en 10 casos.



Actividad 21


Hay 30.000 especies de abejas y la mayoría de ellas viven vidas solitarias. La más conocida para

nosotros es la abeja de miel, que vive en colonias. Lo más curioso de ellas es que no todas tienen

padre y madre.

En una colonia de abejas , siempre hay una especial, que es hembra y se llama “ reina”. Hay también abejas trabajadoras, que son hembras y se llaman “obreras”. Pero sólo la reina produce huevos.

También hay “zánganos” , que son machos y no trabajan. Los zánganos provienen de huevos no

fecundados, y por eso las abejas macho sólo tienen madre. Las hembras se producen cuando las

reinas se aparean con un macho y por tanto tienen padre y madre. Algunas de las hembras son

alimentadas con una substancia especial que hace que se conviertan en reinas para así empezar otra

nueva colonia


¿Cuántos antecesores tiene un zángano en una determinada generación?


Un zángano proviene de una hembra, luego en la primera generación tiene un antecesor, la

hembra.Esta hembra, a su vez, proviene de un macho y una hembra, luego en la segunda generación anterior nuestro zángano tiene dos antecesores. Siguiendo con este proceso se van determinando los antecesores en cada generación.


  1. Averigua cuántos antecesores tiene en las generaciones décima y veintava.

  2. ¿En qué generación tiene 46368 antecesores?

  3. ¿Cuántos padres ( padre y madre ) tienen las personas? ¿Y cuántos abuelos ( abuelos y abuelas?) ¿Y cuántos tatarabuelos? Continua retrocediendo hasta 10 generaciones atrás. Construye el árbol correspondiente. Te darás cuenta que el árbol genealógico de las personas lleva a una sucesión diferente de la de Fibonacci ¿La conoces?


Actividad 22


 Vamos a hacer otra construcción utilizando la sucesión de Fibonacci

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ...........

Empezaremos con dos pequeños cuadrados de lado 1 . Encima de ambos , dibujaremos otro de

lado 2. Después dibujaremos otro nuevo cuadrado de 3 unidades de longitud. Luego otro tocando los

rectángulos de lados 2 y 3 con una medida de cinco unidades. Podemos continuar el proceso

indefinidamente.

Este conjunto de rectángulos cuyos lados son dos sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci están compuestos de cuadrados cuyos lados son términos de la sucesión de Fibonacci y se llaman Rectángulos de Fibonacci.

Realiza esta construcción en tu cuaderno iterando el proceso 8 veces.





 Ahora vamos a ver como una planta en concreto muestra la sucesión de Fibonacci en los nodos de

crecimiento que tiene . Después de plantar una ramita, al cabo de dos meses es lo suficientemente


fuerte como para soportar ramas. Representemos su crecimiento con el siguiente dibujo:
Esta planta se llama Achillea ptarmica.

Actividad 23

Utilizando el siguiente material fotocopiado a nuestros alumnos, les mostraremos como las matematicas pueden estar próximas a su entorno cotidiano. Los alumnos trabajarán individualmente o en grupo, según nos parezca más conveniente

En las piñas también podemos encontrarnos con la sucesión de Fibonacci. A la izquierda

podemos ver una piña , vista desde la base. A la derecha aparecen marcadas espirales en

una dirección ( rojo) y en otra ( verde).




Actividades :





  1. ¿Cuántas espirales rojas hay? ¿Cuántas verdes?

  2. Recoge algunas piñas de un pinar cercano a tu domicilio. Cuenta las espirales en ambas direcciones.


Actividad 24

También muchas plantas muestran los números de Fibonacci en la distribución de las hojas

alrededor del tallo. Esta distribución es debida a la búsqueda de una posición óptima para

el aprovechamiento de la luz solar y del agua de la lluvia.


Si partiendo de una hoja cualquiera vamos girando el tallo en el sentido de las agujas del reloj, hasta encontrar otra hoja en la misma posición y contamos el número de hojas entre ellas y el número de vueltas que hemos dado al tallo, nos encontraremos números de la sucesión de Fibonacci. Si giramos en la dirección contraria a la de las agujas del reloj, contaremos un número diferente de vueltas.
Por ejemplo en la parte de arriba del dibujo damos 3 vueltas al tallo en la dirección de giro de las agujas del reloj , pasando por 5 hojas. Si lo hacemos en dirección contraria a la de las agujas del reloj, necesitaremos sólo dos vueltas. Observa que 2, 3 y 5 son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Por eso a esta planta se le asocia la razón 3/5 ( o 2/5 en sentido contrario a las agujas del reloj)


Así por ejemplo:


  • ½ : olmo , tilo

  • 1/3 : haya, avellano , zarzamora

  • 2/5 : roble, cerezo, manzano, acebo, ciruelo

  • 3/8 : álamo, peral, sauce

( el primer número indica el número de hojas y el segundo el numero de vueltas que hay que dar al tallo)

Actividad: Intenta comprobar lo dicho en alguna especie que puedas encontrar en tu localidad.



Actividad 25
Para terminar pediremos a nuestros alumnos que busquen alguna información adicional sobre el tema, a traves de bibliotecas públicas, enciclopedias, internet o cualquier otra vía a la que puedan tener acceso.

BIBLIOGRAFÍA




  • Cuadernos NARCEA-MEC

  • “Las matemáticas en la vida cotidiana” Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid.

  • Internet:

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

y otras.

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