Matematicas recreativas en el aula de matematicas



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RAZÓN ÁUREA

Vamos a hablar a continuación de la llamada razón áurea y del número de oro o



número áureo. Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación,

buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta, a partir del hombre,

utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que medía lo mismo de alto que de ancho con los

brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura.

La proporción áurea , pasó de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas

y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones. Así, un rectángulo áureo es

un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea ( 1 : 1,61) . Este rectángulo aparece en


muchas antiguas construcciones, por ejemplo en el ateniense templo griego , el Parthenon.

Tratamos de dividir un segmento en dos partes desiguales de la forma más general y directa posible.

Dado el segmento
a b


A C B


c
podemos formar seis razones con las medidas a, b, c. Después de estudiar los

quince casos posibles de proporción que se pueden formar igualando dos razones

cualesquiera de ellas, llegamos a la conclusión de que dicha división consiste en hacer que la

parte mayor “a” sea a la menor “b” como el segmento total “c” es a la mayor “a”, división

de un segmento que ha tomado los nombres de “extrema y media razón” (Euclides) ,

“Sección áurea” (Leonardo da Vinci) o “Divina proporción” (Fray Luca di Pacioli)..

Los aspectos geométricos de esta proporción fueron investigados por Euclides en el libro II de los

Elementos.


Vamos a estudiar el valor de la razón (razón áurea).

Teniendo en cuenta que ha de cumplirse , llamando x = ,

tenemos

x = 1 +



(multiplicando por x ) x2 = x + 1


(colocando) x2 – x – 1 = 0

Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son :

 = ´=
A estas raíces se les suele notar con la letra griega  en honor a Phidias, escultor griego que

utilizaba mucho este número en las proporciones de sus esculturas.

Como los griegos sólo conocían los números racionales (cociente de dos números enteros) ,

les dejó perplejos encontrarse con los números ( es la medida de la diagonal de un cuadrado

de lado 1) y que no podían escribirse como cociente de números enteros. A

estos extraños números para ellos les llamaron irracionales.


El nombre de “ número de oro” se debe a Leonardo da Vinci . En el hombre ideal de

Leonardo , la relación entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que

tiene por centro el ombligo, es el número de oro.


Este número posee curiosas e importantes propiedades matemáticas. Como muestra

señalaremos que

 . ´= -1

 + ´= 1 (Compruébalo )


Por eso si a este número se le disminuye en 1 se convierte en su recíproco :  -1 =1/

siendo este el único número que verifica esta propiedad.




1.2. Sección áurea. Propiedades

Actividad 2

Comencemos a familiarizar a nuestros alumnos con la proporción áurea. Para ello vamos a proponerles la siguiente actividad de carácter manipulativo. Deberán utiliza una regla para realizar las mediciones y una calculadora para realizar los cálculos. Les advertiremos que el instrumento de medida que están utilizando no tiene una precisión muy grande.

Observa los siguientes rectángulos. ¿Cuál de ellos te parece más armonioso?




A B






C D

E

Veamos que ocurre al medir sus dimensiones y calcular el cociente. Completa el siguiente



cuadro.

¿Encuentras alguna relación entre la armonía de los rectángulos y los cocientes calculados?




A B C D E

Largo ( cm )




Ancho ( cm )



Largo / Ancho



Actividad 3

Realizaremos a continuación una actividad para relacionar esta razón con las proporciones

humanas que se suponen más bellas.

Proporcionaremos a nuestros alumnos el siguiente material.


Todo en la naturaleza está sujeto a número y proporción, así los principios del cosmos, sus

constantes expresadas matemáticamente , se proyectan en el crecimiento armonioso de los seres

vivos, en la arquitectura y en el movimiento de los cuerpos celestes.

Según Malba Tahan ,en “El hombre que calculaba”, existe una forma matemática de la belleza:

dado un segmento AB, podremos dividirlo en dos partes iguales o desiguales. Entre las diferentes

maneras de dividir el segmento de forma desigual existe una y sólo una satisfactoria estéticamente ,

denominada “ división áurea”:



Los griegos utilizaron los números para buscar con ellos proporciones armoniosas en las esculturas

humanas. A estas proporciones ideales las llamaron “ canon” . Uno de estos cánones fue el del

escultor griego Lisipo que consideraba que la estatura completa de un hombre era ocho cabezas.

Las proporciones humanas fueron objeto sistemático de estudio por parte de arquitectos, escultores,

Pintores y matemáticos. En los inicios del Renacimiento, el monje italiano Luca Pacioli, publicó su

libro Divina Proportione (Venecia, 1509 ), en el que aparece la figura hecha por Leonardo da Vinci

del hombre inscrito en un cuadrado. Leonardo dice: “ si abres las piernas hasta reducir tu altura en

una décima cuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al

nivel de la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo,

y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”.

En 1855, el científico alemán Zeysing comprobó que el ombligo divide al cuerpo humano en sección

áurea. Por tanto, en el dibujo de Leonardo el cuerpo del hombre está inscrito en una circunferencia,

cuyo radio es su sección áurea.







  • El rostro está normalmente enmarcado en un rectángulo áureo. Compruébalo en los

rostros de los compañeros de tu grupo. Anota las medidas y los cocientes obtenidos

en una tabla.



  • El ombligo divide la altura de un hombre según la razón áurea . Mide en tus

compañeros de grupo , la distancia desde su ombligo a la parte superior de su cabeza

y la distancia de su ombligo a los pies. Anota los resultados en tu cuaderno y

calcula los cocientes entre cada par de medidas.


  • Cada grupo nombrará un portavoz. Los portavoces se reunirán para poner en común

todos los datos y comunicar al resto de la clase los resultados. ¿Qué alumno tendrá

el rostro y el cuerpo más armonioso?



  • Trabajo de investigación . Busca ejemplos en el mundo artístico ( pintura, escultura , arquitectura) de la aparición de las proporciones áureas.




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