Matematicas recreativas en el aula de matematicas



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RAZÓN ÁUREA . SUCESIÓN DE FIBONACCI.

Nivel : 4º de Educación Secundaria Obligatoria.

Breve descripción y objetivos generales: Con esta unidad se pretende que nuestros alumnos adquieran algunos importantes conceptos geométricos. Además conocerán las aplicaciones prácticas de las matemáticas y aprenderán a valorar la belleza y la armonía que pueden crearse a partir del conocimiento de las propiedades geométricas que se estudian. En este tema , algunos alumnos se encontraran , quizás por primera vez , con el concepto de sucesión y también con la idea de límite. Profundizarán en el estudio de una sucesión muy particular, la llamada sucesión de Fibonacci, y conocerán sus curiosas propiedades y su aparición en distintos campos del saber.

Buscaremos conocer las matemáticas desde un punto de vista más relajado y creando un ambiente favorable a la implicación de todos los alumnos.





Conocimientos previos: - manejo de los números reales con soltura y con posibilidad de

ayudarse de la calculadora.



  • métodos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.



Duración : Entre 15 y 20 sesiones ( periodos de 50 minutos )

Medios : Fotocopias que proporcionará el profesor, cuaderno de trabajo,calculadora, regla ,

compás.


Si el centro dispone de una amplia biblioteca, se utilizaran libros de historia de las

matemáticas y de la geometría. Si el centro dispone de sala de ordenadores con

conexión a Internet, será también utilizada para adquirir información.

Descripción de las sesiones de trabajo: Se trabajara en grupo y también individualmente, intentado que cada alumno presente todos sus trabajos con claridad, orden , limpieza y puntualidad. Se pretende que los alumnos sean capaces de ir adquiriendo los conocimientos y realizando sus actividades individualmente pero en estrecha colaboración con sus compañeros. Los grupos estarán formados por grupos de 4 o 5 alumnos, pues así todos los alumnos aportarán al grupo lo que puedan con más facilidad, y es más difícil que alguno de ellos se quede sin trabajar aprovechándose del grupo clase. El profesor introducirá las distintas actividades con los conocimientos teóricos necesarios en cada momento y ayudará a los alumnos en la realización de las mismas cuando sea conveniente.

Evaluación: Esta unidad didáctica se llevará a cabo en un centro de Enseñanza Secundaria, con alumnos de 4º de ESO matriculados en la asignatura Taller de Matemáticas. La evaluación será continua. Se valorará fundamentalmente el trabajo y actitud favorable hacia el descubrimiento y el aprendizaje de cada alumno diario. Además deberán realizar todas las actividades en su cuaderno de trabajo y presentar un trabajo final de ampliación

LISTA DE PROCEDIMIENTOS


Algunos han achacado a las matemáticas una falta de conexión con el mundo. Pero nada más lejos de la realidad.


Por un lado es innegable el concepto utilitaria de las matemáticas. De hecho las matemáticas han evolucionado a lo largo de toda la historia en estrecha relación con su funcionalidad , y, en muchos casos se desarrollaron para dar solución a problemas físicos, de ingeniería, militares, etc.
Por otro lado, otra parte de las matemáticas nos descubre la belleza, la proporción, la simetría, etc. Y esto lo conocían y lo utilizaban ya los griegos de la antigüedad clásica y los artistas renacentistas.

Como decía Galileo, “ el libro de la Naturaleza está escrito en el lenguaje matemático”


La lista de procedimientos que desarrollaremos en esta unidad es la siguiente:





  1. La razón áurea.




  • Introducción : conceptos de proporción, razón áurea.

  • Sección áurea. Obtención del número de oro . Propiedades.

  • Construcción de segmentos divididos según al proporción áurea, rectángulos áureos, etc.

  • Aplicaciones en la vida cotidiana.



  1. La sucesión de Fibonacci




  • Aproximación al concepto de sucesión. Sucesión de Fibonacci.

  • Propiedades y límite de la sucesión de Fibonacci.

  • Apariciones en la vida cotidiana.



  1. LA RAZÓN ÁUREA

Comenzaremos la unidad intentando captar la atención de todos nuestros alumnos e intentado que todos ellos participen activamente.



    1. Conceptos iniciales. El número áureo


Actividad 1.
Proporcionamos a los alumnos una fotocopia con la que les presentaremos el número áureo.
Dividiremos a los alumno en grupos de cinco o seis. Cada grupo debe leer detenidamente toda la información y elaborar y escribir en su cuaderno de trabajo 10 preguntas y sus respuestas a partir de la información que les hemos proporcionado.
A continuación organizaremos un concurso en el que cada grupo preguntará a todos los demás .El grupo que contesta la pregunta no puede utilizar nada más que su memoria. Cada vez que un grupo acierte una respuesta se anotarán 5 puntos. Si el grupo falla una respuesta se descontará un punto de su marcador. Tras efectuar varias rondas de preguntas se efectuara un recuento de puntos para obtener un grupo vencedor.

De esta manera conseguiremos que todos los alumnos se impliquen y centren toda su atención en la comprensión y asimilación de los datos y razonamientos, para conseguir que su grupo se el vencedor.

Para la realización de esta actividad utilizaremos el siguiente material fotocopiado para nuestros alumnos:

El concepto de proporción es uno de los más intuitivos de la matemática y aparece

en multitud de ocasiones: relación gasto/compra, relación espacio/velocidad, ....
La formalización de la teoría matemática de las razones y proporciones es debida

a los griegos, en concreto a la escuela pitagórica, aunque se tienen noticias de que

fueron utilizadas , en parte, por civilizaciones anteriores como la egipcia y la babilónica.

En la actualidad, esta teoría impregna numerosos ámbitos de la vida cotidiana y científica.

Entre los primeros, podemos encontrarla en las rebajas, intereses bancarios, nóminas, IVA,

etc. Dentro del ámbito científico, las relaciones de proporcionalidad se encuentran con

gran frecuencia en la mayoría de las leyes de la Naturaleza: velocidad de un objeto

con movimiento uniforme, relación entre presión , volumen y temperatura de un gas, etc.



PROPORCIONES
Los antiguos griegos creían que la proporción era esencial para conseguir belleza. Por eso estudiaron

las proporciones geométricas y algunas especiales , como la razón áurea, como veremos a

continuación.
Vamos a formalizar estos conceptos matemáticos.
Llamamos razón de dos cantidades A y B de igual o distinta magnitud, al número que expresa la

medida de la primera cuando se toma la segunda como unidad. Se escribe . El término A se llama

“antecedente” y el B “consecuente”.

La razón inversa de una dada es la que se obtiene al trasponer sus términos:



Razón Razón inversa :

Una proporción es una igualdad entre dos razones:



Los elementos de una proporción se llaman “términos”. Los términos A y D se llaman

“extremos”. Los términos B y C se llaman “medios”. Al valor común que tienen las razones de

una proporción se le llama “constante de proporcionalidad”.


Por tanto, matemáticamente , llamamos proporción a la igualdad de dos razones o cocientes:

= y se lee “a es a b como c es a d “.



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