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Metodología
Al comenzar el taller en tercer curso, convendría que se hiciera alguna sesión, o al menos parte de ella, en gran grupo para repasar lo trabajado en el curso anterior, tanto en su metodología como en los contenidos tratados.
Además, siempre que se inicie una tipología de problema diferente, multiplicativos, aritméticos de segundo nivel… es recomendable el modelado por parte del profesor/a para explicitar el razonamiento interno, así como los pasos seguidos para llevar a cabo su resolución. En ese momento será centro de atención ya que sus explicaciones irán dirigidas a todo el grupo-clase. Es mejor trabajar al inicio en gran grupo, para que el alumno se sienta más acompañado en el proceso de aprendizaje, y posteriormente pasar a la modalidad por parejas.
Será el profesor/a el que determine en cada momento la forma de agrupamiento. Las parejas serán estables al menos durante un tiempo bastante prolongado en la duración del taller, y será el propio profesor el que las forme. Se recomiendan parejas heterogéneas, aunque las diferencias entre sus componentes no deben ser extremas. La forma de trabajar en este caso sería:
Durante cinco o diez minutos leen bien la ficha de trabajo, tratan de entenderla y reflexionan sobre las actividades. Se las explican uno a otro y piensan cómo pueden resolverlas; deben llegar a un consenso en la forma de proceder. Es importante que durante ese tiempo no tengan ningún objeto que les permita escribir; es una manera de forzarles a expresarse oralmente en matemáticas utilizando los términos adecuados.
Una vez que en la pareja han hablado y han "planteado" oralmente la tarea a realizar, cada uno, ahora ya individualmente, completa la ficha de trabajo y resuelve las actividades. A ello se puede dedicar quince o veinte minutos.
El profesor/a marcará los ritmos en las distintas fases. Motivará a los alumnos y estará pendiente de cómo trabajan las parejas. Prestará atención a las dificultades que puedan surgir y valorará la necesidad de su intervención, tanto en grupo como individualmente.
Si es posible debería contarse con espacio suficiente en el aula para que no se den interferencias entre alumnos de diferentes parejas mientras estén ejecutando la tarea.
Al terminar la sesión del taller, cada persona guarda su hoja de trabajo acabada en una carpeta. Del mismo modo que en el ciclo anterior, el profesor las revisará periódicamente para constatar que el trabajo se ha realizado y para detectar posibles errores que deban ser tratados nuevamente bien con todo el grupo de alumnos, bien con una parte ellos.
Al final de este ciclo se introducen los problemas de recuento sistemático. Este es un tipo de actividades que gustan a los alumnos, aunque por sus características es necesario proceder de una manera sistematizada. Nuevamente es recomendable resolver algunos problemas en gran grupo con el fin de dotar a los alumnos de estrategias de resolución y de sistemas para ir anotando los posibles resultados de forma organizada.
En lo referente a las fases del método de resolución de problemas, en este ciclo es muy importante insistir en la planificación. Se debe pedir al alumno que exprese por escrito cada uno de los pasos que piensa llevar a cabo, aunque sea de modo sencillo. A pesar de que esta práctica les resulte en principio complicada y costosa, poco a poco les ayudará a organizar mejor el proceso de resolución, evitará olvidos y facilitará la justificación cuando se trate de valorar y en su caso validar la solución obtenida.

Procesos heurísticos

En este ciclo se siguen aplicando procesos heurísticos que se iniciaron de forma sistemática en el ciclo anterior, al tiempo que se irán presentando otros nuevos.


- Se continúa con el desarrollo de estrategias que favorecen la lectura analítica. En los ejemplos de actividades para llevar a cabo en el taller se encuentran bajo el epígrafe de "ejercicios para pensar" y son del tipo:
Decir lo mismo pero de otra forma.
Deducir qué se puede calcular a partir de unos datos conocidos.
Dados ciertos datos y operaciones realizadas con ellos, determinar qué quiere calcularse.
A partir de una situación propuesta y un esquema sagital o rectangular, inventarse el enunciado de un problema.
Presentados un enunciado y varias operaciones, señalar la que resuelve el problema.
- La representación de esquemas gráficos, que en primer ciclo se han basado fundamentalmente en sagitales, se ampliarán ahora con otras modalidades. Los primeros son propios de las operaciones de adición y sustracción, pero al introducirse en este ciclo la multiplicación y la división es preciso el uso de diagramas de tipo rectangular en los que se ponen en relación dos magnitudes. Pensemos en el siguiente problema de reparto equitativo:
En clase somos 24 alumnos. Para hacer un trabajo la profesora nos ha dicho que nos pongamos en grupos de

4. ¿Cuántos grupos formaremos en total?

La representación de esta situación a través de un esquema rectangular será:


Cantidad a repartir Número


24 ?

de grupos


4

Número de elementos en cada grupo


En otras ocasiones el esquema puede realizarse a través de diagramas de árbol según el tipo de problema y la situación planteada.


Ejemplo

Un matrimonio tiene 4 hijos, todos ellos casados. Cada hijo tiene a su vez 4 hijos. ¿Cuántos nietos tienen en total?

- La determinación de problemas auxiliares puede considerarse un proceso heurístico. La mayoría de los problemas se resuelven a partir de una serie de pasos intermedios, o subproblemas, que permiten obtener otros datos y avanzar hasta llegar a la solución final. El procedimiento de dividir un problema de modo consciente y sistemático en partes y resolver cada una de ellas, es una estrategia muy utilizada a medida que los pro blemas van siendo más complejos. La búsqueda de estos problemas intermedios se hace a partir del análisis conjunto de los datos que nos dan y lo que nos piden calcular.
- La técnica de tanteo inteligente puede venir muy bien para tratar de sistematizar la búsqueda de soluciones en los problemas de recuento sistemático, por ejemplo. Dicha búsqueda se debe realizar de forma eficaz; hay que evitar en lo posible la repetición de ensayos e intentar agotar las posibles soluciones, no hacer pruebas a la buenaventura, es decir, sin criterio, que llevarían mucho tiempo y producirían el cansancio del resolutor. El método consiste en:
Elegir una acción u "operación" a seguir. Llevar a cabo dicha acción.

Comprobar si una vez llevado a cabo el proceso, este soluciona el problema planteado.

Si la respuesta es positiva, esta se contemplará entre las posibles respuestas. Si la respuesta es negativa, se repite el proceso hasta asegurar que ya no

hay más respuestas posibles.




3er curso

Las páginas que vienen a continuación presentan ejemplos de actividades secuenciadas correspondientes a los cursos de tercero y cuarto. Se plantean como sugerencia de lo que se puede trabajar en el taller de resolución de problemas de segundo ciclo.

2.1. Tercer curso

Actividades
Uno de los objetivos del taller para este curso, es asentar el dominio del plan general de resolución para los problemas aditivo-sustractivos, algo que vienen trabajando los alumnos desde el primer ciclo. En algunos casos, junto con el problema se les facilitará el esquema sagital para que ellos lo completen y, en otros, los propios alumnos deberán realizarlo.
Conforme avanza el curso se iniciarán los problemas aritméticos simples que se resuelven a través de una multiplicación o división. Del mismo modo que en los aditivo- sustractivos, en algunos problemas deberán completar el esquema y en otros elaborarlo. Posteriormente se abordarán problemas sencillos de dos o más operaciones que se resuelven con sumas o restas. En este tipo de problemas es muy importante destacar la fase de la planificación. El trabajo en parejas sigue siendo fundamental en el tema de resolución de problemas potenciando de este modo el aprendizaje cooperativo.
En las sesiones diseñadas para tercer curso se puede apreciar una continuación del desarrollo de las competencias básicas, tanto lingüísticas como matemáticas, que se vienen planteando ya desde los cursos anteriores.
A continuación se presentan ejemplos de fichas que pueden servir de modelo para trabajar en las sesiones de taller.

FICHA 1


PROBLEMAS ADITIVO SUSTRACTIVOS DE UNA OPERACIÓN

Mi papá ha comprado un coche nuevo. Cuando hemos ido a recogerlo, el cuentakilóme- tros marcaba 65 kilómetros. Para probarlo hemos hecho una excursión y al llegar a casa marcaba 289 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros hemos andado?


No te olvides de validar tu solución

ESQUEMA:
o

OPERACIONES:
SOLUCIÓN: ……………………………………………………………

EJERCICIOS PARA PENSAR


1.- En cada caso, escribe lo que se puede calcular con los datos conocidos.
Hace 8 años, mi mamá tenía 34 años.
..................................................................................................................... En clase somos 24 alumnos. 17 son niñas.

..................................................................................................................... Me quedan 45 € en la hucha. He comprado un videojuego que valía 15 €.

.....................................................................................................................

2.- Di lo mismo, pero de otra forma.


Ayer estuve en el recreo 10 minutos más que hoy.
Hoy .............................................................................................................. Si leo más páginas del libro, me quedarán menos para terminarlo.

Si ………………………………………………………………………................


FICHA 2
De un libro que nos han mandado leer en el colegio, yo he leído 16 páginas menos que mi amigo Javier. He leído 125 páginas. ¿Cuántas páginas ha leído Javier?


No te olvides de validar tu solución

ESQUEMA:
0


OPERACIONES:

3er curso

SOLUCIÓN: ………………………………………………………………… EJERCICIOS PARA PENSAR

1.- Piensa bien y acertarás. Resuelve el problema mentalmente.


En la liga de fútbol escolar Alex ha metido 18 goles. Si Juan hubiera metido 6 goles menos, entonces habría metido tantos como Alex.
¿Cuántos goles ha metido Juan? goles

2.- Indica lo que se quiere calcular con las operaciones indicadas.


Tengo para colocar en mi álbum 56 cromos y 25 pegatinas. He colocado ya 32 cromos

56+25 ………...............................................................................


56 - 32 ...........................................................................................

PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN


A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de multiplicación-división, con el correspondiente esquema rectangular para representar en él los datos del enunciado y la incógnita. Después se recoge la estrategia general de resolución de este tipo de problemas.


a) Problemas de reparto equitativo
Tengo 12 canicas para repartir entre mis cuatro amigos. ¿Cuántas canicas recibirá cada amigo?

Cantidad a repartir
12 4
?
Número de elementos en cada grupo

Número de grupos





b) Problemas de factor “N”
Soy muy aficionado a los coches de miniatura, estoy haciendo una colección y tengo ya 14. Mi primo, que comparte el mismo gusto que yo, tiene el triple.

¿Cuántos coches tiene mi primo?





Cantidad mayor
? 3

14

Cantidad menor



Número de veces más o menos



c) Problemas de razón
Un coche circula a una velocidad de 95 km. /hora. ¿Qué distancia habrá recorrido al cabo de 3 horas?


Cantidad extensiva
? 3
95
Cantidad intensiva

Cantidad extensiva





3er curso

d) Problemas de producto cartesiano
Con tres camisetas, una roja, otra blanca y otra verde y dos pantalones uno negro y otro azul, ¿cuántos trajes para un equipo de baloncesto se pueden formar?

Combinación
? 2
3

Conjunto pantalones



Conjunto camisetas




ESTRATEGIA GENERAL PARA APLICAR A LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN- DIVISIÓN
1.- LEO DESPACIO EL PROBLEMA DOS O TRES VECES...DESPUÉS...
CIERRO LOS OJOS Y ME CUENTO EL PROBLEMA...
SÉ............................................................................ QUIERO CALCULAR...........................................

2.- TRATO DE RELACIONAR LO QUE SÉ CON LO QUE QUIERO CALCULAR...


HAGO UN ESQUEMA RECTANGULAR
RELACIONO EN EL ESQUEMA LOS DATOS Y LA PREGUNTA DEL PROBLEMA...

3.- PLANTEO LA OPERACIÓN QUE RESUELVE EL PROBLEMA.


EL ESQUEMA INDICA CUÁL ES ESA OPERACIÓN.
ESCRIBO LA OPERACIÓN A REALIZAR... HALLO EL RESULTADO DE LA OPERACIÓN...

ESCRIBO LA RESPUESTA A LA PREGUNTA DEL PROBLEMA...


4.- COMPRUEBO LA RESPUESTA OBTENIDA...


LLEVO LA SOLUCIÓN, COMO UN DATO MÁS, AL TEXTO DEL PROBLEMA... YA NO HAY PREGUNTA...

LEO LA HISTORIA QUE RESULTA... ¿TODO ENCAJA?...




FICHA 1


EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN PARA RESOLVER

La mamá de Ana tiene 36 años. Tiene el cuádruple de años que Ana. ¿Cuántos años tiene Ana?


Leemos el problema. ¿Qué sé? ... ¿Qué me preguntan?...Hacemos un esquema...




3er curso

OPERACIONES

SOLUCIÓN: ……………………………………………………………………. Comprobamos la solución. Leemos la historia que resulta.

Cada semana sale a la venta un libro de una colección sobre viajes por países europeos. Cada libro tiene un precio de 3 euros. Si la colección está formada por 56 libros, ¿cuán- to dinero vale toda la colección?

Leemos el problema. ¿Qué sé? ... ¿Qué me preguntan?... Relacionamos los datos y la pregunta en un esquema.

OPERACIONES

SOLUCIÓN: ………………………………………………………………… Comprobamos la solución. Leemos la historia que resulta.




FICHA 2
Todos los alumnos de tercero, cuarto, quinto y sexto hemos ido de excursión. Hemos llena- do en total 4 autobuses de 52 plazas cada uno. ¿Cuántas personas hemos ido de excursión?


Leemos el problema. ¿Qué sé? ... ¿Qué me preguntan?... Relacionamos los datos y la pregunta en un esquema.

OPERACIONES

SOLUCIÓN: ………………………………………………………………….. Comprobamos la solución. Leemos la historia que resulta.

En un restaurante ofrecen para comer tres primeros platos y cuatro segundos. ¿Cuántos menús diferentes pueden formarse eligiendo un primer plato y un segundo?

Leemos el problema. ¿Qué sé? ... ¿Qué me preguntan?...Hacemos un esquema...

OPERACIONES

SOLUCIÓN: ………………………………………………………………… Comprobamos la solución. Leemos la historia que resulta.


PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE SEGUNDO NIVEL


ESTRATEGIA GENERAL PARA APLICAR A LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE SEGUNDO NIVEL
1. Comprensión de la situación
Practicar el subrayado de los datos y de la pregunta.

Contar(se) la situación separando lo conocido de lo que hay que calcular. Escribir de forma concisa y ordenada los datos del problema en recuadros,

un recuadro para cada dato.

2. Idear - concebir un plan de resolución. Recursos heurísticos

Preguntarse qué se podría calcular con los datos disponibles del problema. Preguntarse qué datos se necesitarían para poder contestar a la pregunta

del problema.



3er curso

Indagar cómo se pueden calcular los datos que faltan y son necesarios para operar con ellos posteriormente y llegar a la solución.
Visualizar-esquematizar el plan de resolución, relacionando los recuadros que contienen datos del problema que se deben utilizar de un modo encadenado para ir avanzando en el proceso de resolución del problema.

Solución
3. Ejecutar el plan


Separar en la redacción de la solución los pasos del plan. Expresar con una breve frase lo que se pretende calcular en cada uno de ellos.
Debajo de cada frase explicativa, indicar la operación pertinente y el resul- tado magnitudinal obtenido.
Escribir, al final del último paso, la solución como una respuesta completa a l a pregunta del problema.

4. Validar la solución


¡Ya no hay pregunta, el problema está resuelto! Introducir la respuesta del problema como un dato más de la situación.
Organizar mentalmente el problema como una historia y ordenarla lógica- mente. Examinar si existe coherencia entre todos los datos de la historia en la que se ha convertido ahora el problema.

FICHA 1
Una colección de cromos de naturaleza consta de 350 cromos. Gonzalo tiene ya 230 cromos. Tiene 18 cromos más que Ander. ¿Cuántos cromos le faltan a Ander para completar la colección?


Cuéntate el problema... ¿Cuáles son los datos?.....


¿Qué puedes calcular? Piensa en qué orden vas a hacer los cálculos. ¿Tienes un plan?

EJECUTA TU PLAN Y COMPRUEBA TU SOLUCIÓN


Primero calculo............................................................................................ Después calculo..........................................................................................

SOLUCIÓN:.................................................…………………………...


EJERCICIO PARA PENSAR


Para sacar dinero para un viaje de fin de curso, los alumnos de sexto han montado una tienda en la que venden los productos que ellos han hecho. Los objetos y los precios son:
Collar 90 céntimos. Anillo 50 céntimos. Pulsera 70 céntimos. Llavero 75 céntimos Marca páginas 60 céntimos.

Laura se ha gastado 1 euro y 10 céntimos. ¿Qué compró?


..................................................................................................................................... Juan ha pagado con una moneda de dos euros y le han devuelto 35 céntimos.

¿Qué compró?


..................................................................................................................................... Para pagar, Eder ha hecho estos cálculos: 120 + 70

¿Qué ha podido comprar Eder? ..........................................................................…...


¿Podría comprarse una cosa de cada con un billete de 4 €? ¿Por qué?
.....................................................................................................................................
FICHA 2
Para la fiesta del colegio, se hacen campeonatos entre clases. Como en cada clase somos muchos niños, formamos tres equipos. Hoy hemos jugado a baloncesto. Los equipos de mi clase hemos conseguido los siguientes puntos:
Equipo rojo: 25 puntos.
Equipo azul: 16 puntos más que el equipo rojo, pero tres menos que el equipo verde.
¿Cuántos puntos hemos conseguido entre los tres?

Cuéntate el problema ¿Cuáles son los datos?


¿Qué puedes calcular? Piensa en qué orden vas a hacer los cálculos. ¿Tienes un plan?

EJECUTA TU PLAN Y COMPRUEBA TU SOLUCIÓN



3er curso

Primero calculo........................................................................................... Después calculo.......................................................................................... Por último calculo.......................................................................................

SOLUCIÓN:.................................................…………………………....


EJERCICIO PARA PENSAR


Iranzu está resolviendo un problema sobre el regalo de cumpleaños de una amiga y ha hecho el siguiente esquema:

84 ?


4

Escribe tú cuál podría ser el texto del problema.


……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….

FICHA 3
Para la fiesta de mi cumpleaños invité a 3 amigos. Entre todos me regalaron un puzzle que valía 17 euros y un libro. Cada niño puso 10 euros para comprar mi regalo. ¿Cuánto valía el libro que me regalaron?


Cuéntate el problema... ¿Cuáles son los datos?.....


¿Qué puedes calcular? Piensa en qué orden vas a hacer los cálculos. ¿Tienes un plan?

EJECUTA TU PLAN Y COMPRUEBA TU SOLUCIÓN


Primero calculo............................................................................................ Después calculo..........................................................................................

SOLUCIÓN: …………………………………………………………….


EJERCICIOS


Sabiendo cuál es el esquema que ha hecho Christian para resolver un problema que trata de dinero ahorrado, pagas de cumpleaños y gastos y sabiendo también cuál es la solu- ción, escribe el texto del posible problema que ha resuelto Christian.


32 18
o
? 39

SOLUCIÓN : Ahorro 11 euros.


Texto del problema

............................................................................................................................................


............................................................................................................................................
...................................................................................................................................……..

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO


Buscamos un número formado por cuatro cifras. Las cifras que lo forman son consecutivas, aunque pueden no estar en orden. Sabemos que:


Es mayor que seis mil.
La cifra de las unidades de millar es la más pequeña. La cifra mayor no está en las unidades.

La cifra de las centenas es par.




3er curso

Completa los cuadros de la figura con los números que faltan entre el 1 y el 9, de forma que tanto vertical como horizontalmente sumen 15.

8







15







9

15




7

2

15

15

15

15




Rosalía y Montserrat son hermanas. Rosalía tiene dos sobrinos que no son sobrinos de

Montserrat. ¿Cómo puedes explicar eso?

CUESTIONES SOBRE AZAR


Al lanzar un dado al aire:
¿Cuáles son los resultados posibles?………………………………………………...............
¿De cuántas formas puedes obtener un número par? Escríbelas…………………...........
………………………………………………………………………………………..................
¿De cuántas formas puedes obtener un número impar menor que cinco? Escríbelas…………………………………………………………………………….................
¿De cuántas formas puedes obtener un número impar mayor que cinco?

………………………………………………………………………………………...................


¿Qué es lo contrario de que salga 3?…………………………………………….................

Escribe al lado de cada oración si es muy probable que ocurra, si es probable, si es poco probable, si es seguro o si es que nunca ocurrirá.

Que el fin de semana no tengas que ir a clase ……………………………………. Que el mes de Junio tenga 31 días ………………………………………………… Que llueva en primavera en Pamplona …………………………………………… Que al lanzar un dado al aire salga 7 …………………………………………….. Que toque el gordo de la lotería de Navidad a tu familia ………………………… Que te despiertes mañana a las 5 de la mañana ………………………………….. Que mañana juegues con tus amigos …………………………………………….. Que hoy te hagan un regalo ………………………………………………………. Que al hacer una multiplicación te equivoques ………………………………….



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