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Actividades
En este curso, uno de los objetivos importantes del taller es practicar el modelo de resolución de problemas para conseguir en los alumnos un dominio que les capacite para abordar los problemas aditivo-sutractivos con garantías de éxito. Además se pretenderá que aprendan a trabajar en parejas, desarrollen su capacidad lógica y profundicen en comprensión lectora.
Al comenzar el taller es aconsejable plantear alguna sesión en gran grupo, con el fin de recordar aspectos trabajados durante el curso anterior. Esta forma de trabajo se propone también al introducir nuevas tipologías de problemas. Después se pasará al agrupamiento por parejas, proponiéndoles en principio actividades bastante similares a las trabajadas en situación de gran grupo. Será el profesor la persona que determine en cada momento la forma de agrupamiento, decidiendo en su caso la composición de las parejas cuando crea conveniente trabajar de este modo, manteniéndolas además estables durante bastante tiempo con el fin de que se vayan ajustando al ritmo, familiarizando con el modo de resolver las dificultades que vayan surgiendo, aceptándose entre ellos y proporcionándose la ayuda necesaria en cada momento... Hay que insistir mucho en la idea de que deben resolver el problema entre los dos y que no se copien si no entienden.
Al presentarles la hoja de trabajo en cada sesión, lo primero que deben hacer, en total silencio, es dedicar cinco minutos a la lectura individual del problema que han de resolver. Pensar sobre él para, después, en parejas, contárselo unos a otros, decidir conjuntamente el esquema a realizar y la operación asociada. Una vez que hayan consensuado su decisión, resolverán individualmente el problema cada uno en su hoja y comprobarán el resultado. Durante este tiempo el profesor se desplazará por la clase, para escuchar los razonamientos de los alumnos e intervenir cuando lo crea conveniente intentando reconducir a aquellas parejas que no estén bien encaminadas. Se trata en este caso de hacerles preguntas… con el fin de que se percaten de su error.
Conviene que cada alumno tenga una carpeta en la que irá guardando las fichas realizadas. De ese modo, el profesor las revisará periódicamente y tomará nota del tipo de errores cometidos, para trabajar sobre ellos en otro momento bien con todo el grupo, con grupos más reducidos o con algún alumno en concreto e intentar subsanarlos.
A continuación se presentan algunos ejemplos de sesiones que pueden ser adecuadas para este curso. En cada ficha se propone trabajar de forma combinada un problema, en el que se pondrá en práctica el plan general de resolución presentado, y algún ejercicio de refuerzo en la línea de lo trabajado durante el taller de primer curso. El número de fichas, una o dos, para cada sesión del taller es también una decisión que debe tomar el profesor. Se puede empezar abordando solo una y conforme avanza el curso y los alumnos se familiarizan con la metodología ampliar a dos.

FICHA 1


EJEMPLOS DE FICHAS A TRABAJAR EN LAS SESIONES

En un partido de fútbol escolar, el equipo que viste con camiseta verde ha metido 14 goles. Ha metido 7 goles más que el equipo de camiseta azul. ¿Cuántos goles ha metido el equipo que viste de azul?


Leo el texto del problema dos o tres veces. Cierro los ojos. Me lo cuento.



2º curso

¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?
Relaciono los datos y la pregunta en el esquema.

o

Planteo la operación y escribo la solución.

? = ..................................= ......... Solución:..................................................……. Compruebo. Llevo la solución al texto del problema. Leo la historia que resulta. ¿Todo

encaja?



Ejercicios

1.- Calcula mentalmente.


Los 25 alumnos de clase nos hemos puesto en fila por orden alfabético. Yo soy la número 18. Eso significa que hay ……………….. personas detrás de mí.

2.- Calcula mentalmente.

Mi madre ha comprado 4 camisetas que le han costado 18 euros cada una.


¿Crees que le llegará para pagar con un billete de 50 €? SÍ NO

FICHA 2
Javier tiene en la hucha 18 euros. Aimar tiene en la suya dos veces el dinero que tiene

Javier. ¿Cuánto dinero tiene Aimar?

Leo el texto del problema dos o tres veces. ¿Qué sé? ¿Qué me preguntan? Relaciono los datos y la pregunta. Hago un esquema.

0

Planteo la operación y escribo la solución.



? = ...................= .......... Solución:..................................................………….. Compruebo. Llevo la solución al texto del problema. ¿Todo encaja?

Ejercicios

1.- Averigua, en cada caso, en qué número estoy pensando.


Después de sumarle 8, obtengo 19. Solución: ………………. Le he restado 15 y me quedan 13. Solución: ..............………

2.- Maite ha hecho la operación ? = 12 + 9 para resolver un problema que habla de una bolsa de caramelos.

Escribe el problema que puede estar resolviendo Maite.


.................................................................................................................................


.................................................................................................................................
¿..............................................................................................................................?

FICHA 3
He entrado a una tienda de chucherías con 95 céntimos. He comprado algunos dulces y al salir tenía 34 céntimos. ¿Cuánto dinero he gastado?


Leo el texto del problema dos o tres veces. Cierro los ojos. Me lo cuento.


¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?

2º curso

Relaciono los datos y la pregunta. Hago un esquema.
0

Planteo la operación y escribo la solución.


? = .........................= .......... Solución:..................................................………..


Compruebo. Llevo la solución al texto del problema. Leo la historia que resulta. ¿Todo encaja?



Ejercicios

1.- Escribo dos preguntas que puedan contestarse con los datos conocidos.


En la estantería de mi habitación hay 37 libros de cuentos. En la de mi hermano hay 23 libros de cuentos.


¿ ...................................................................................................................?
¿ ...................................................................................................................?

2.- Tacho el dato que no es necesario para poder contestar a la pregunta..


Yo tengo 8 DVD de una colección sobre la naturaleza. La colección completa son 25

DVD. Mi amigo Julen tiene 3 más que yo.
¿Cuántos DVD tenemos entre los dos?
FICHA 4
Esta mañana en el recreo he ganado 6 canicas. Cuando he salido de clase al mediodía, tenía 19. ¿Cuántas canicas he llevado al colegio esta mañana?

Leo el texto del problema dos o tres veces. Cierro los ojos. Me lo cuento.


¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?

Relaciono los datos y la pregunta. Hago un esquema.

0

Planteo la operación y escribo la solución.



? = ..................................= .......... Solución:..................................................…….

Compruebo. Llevo la solución al texto del problema. Leo la historia que resulta. ¿Todo encaja?



Ejercicios

1.- En cada caso, haz una pregunta que pueda responderse con los datos conocidos.


Para la merienda de mi cumpleaños, mi mamá compró 15 pastelitos. Han quedado en la bandeja 3 pastelitos.

¿..................................................................................................................?

Quiero comprar un juego para mi "game boy". Tengo ahorrados 24 euros.

Todavía me faltan por ahorrar 12 euros.
¿.......................................................................................................................?

FICHA 5
Esta mañana hemos cogido un tren en la estación para ir a Madrid. Desde la estación hasta Madrid, hay 378 kilómetros. Hemos recorrido ya 215 kilómetros. ¿Cuántos kilóme- tros debemos recorrer todavía hasta llegar?


No te olvides de comprobar tu solución.


2º curso

o

Operación: ? = .....................................= ........... Solución: ............kilómetros


He leído ya 57 páginas de un libro. Todavía me faltan 36

¿Cuántas páginas tiene el libro?
No te olvides de comprobar tu solución.

o
Operación: ? = .....................................= ........... Solución:. ................páginas


Ejercicios

Mi papá ha comprado un jersey y unos calcetines. El jersey valía 86 euros y los calcetines 15. Escribe lo que se quiere calcular al hacer:

? = 86 + 15 ……………………………………………………………………………………
? = 86 - 15 ……………………………………………………………………………………

FICHA 6
Unos esquiladores deben esquilar a 250 ovejas blancas y 137 negras. Han esquilado ya a todas las blancas y a 86 negras.

¿Cuántas ovejas han esquilado?
No te olvides de comprobar tu solución.

o
Operación: ? = ..............................= ...........
Solución: …………………………………………………………………………………


Ejercicios

1.- Di lo mismo, pero de otra forma.


El armario está delante de la pared.


........................................................................................................

2.- Escribe un número de dos cifras que cumpla estas condiciones: Es impar.

Sus cifras suman 13.
La cifra de las decenas es mayor que la de las unidades.
SOLUCIÓN

3.- Da marcha atrás. Cuenta la historia al revés, de atrás hacia delante.


Laura entra en clase. Se sienta en su silla. Abre el libro de matemáticas.
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................

Como puede comprobarse, la mayoría de los problemas aditivo-sustractivos tratados en el taller de este curso van acompañados de un esquema gráfico que los alumnos deberán completar. Sin embargo, en algunos casos, cuando se considere que ya se les han aportado suficientes ejemplificaciones, se deja para que los alumnos lo dibujen y luego lo completen.



2º curso

En la primera parte de esta publicación, al hablar sobre tipologías de problemas que se debieran tratar en Educación Primaria, se ha mencionado además de los aritméticos, pro- pios de la etapa, los de razonamiento lógico y aquellos problemas o cuestiones que se refieren al tratamiento del azar y la probabilidad entre otros. Pues bien, es en este curso donde hay que iniciar a los alumnos en este tipo de actividades. Se podrían mencionar como ejemplos los siguientes:

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO Sustituye cada figura por un número, de forma que las sumas verticales y horizontales



sean correctas. La misma figura corresponde siempre al mismo número

A


5

8

J

J

18

S

5

7

18

15







5 = S = J =

A =

Observa las dos pesadas. Ordena según su peso los tres sacos


CUESTIONES Y PROBLEMAS SOBRE AZAR

Has lanzado una moneda al aire 5 veces y te han salido todas las veces cara.


Si lanzas otra vez la moneda ¿qué crees que te saldrá? Haz la prueba, ¿has acertado? Repítelo varias veces.

¿Crees que es fácil acertar lo que va a salir?


¿Por qué?

Escribe al lado de cada oración si crees que es fácil que ocurra o por el contrario crees que es difícil.

Que mañana vayas a la piscina al aire libre a nadar Que esta tarde celebres un cumpleaños Que juegues con tus amigos al salir de clase Que vayas hoy al cine a ver una película de dibujos animados Que comas un bocadillo para merendar Que leas un ratito antes de ir a dormir

Escribe en un papel el número de veces que crees que te saldrá el número 3 al lanzar un dado al aire 10 veces.


Después haz la experiencia y anota en la tabla los resultados:



Nº Tirada



















10ª

Resultado































¿Cuántas veces te ha salido el número 3?


¿Coincide el número de veces que te ha salido el 3 con el que habías anotado en el papel? Mira los resultados de tus compañeros.

¿Hay muchos resultados parecidos al que te ha salido a ti?


¿Son muy diferentes?
¿Te parece que es fácil adivinar el número que saldrá si vuelves a lanzar el dado?

Evaluación

En este curso se presentan también dos pruebas para pasarlas en días diferentes al final del taller. Deben realizarse individualmente por lo que es muy conveniente que de vez en cuando una sesión de las del taller se realice siguiendo esta modalidad de agrupamiento. A través de las pruebas recogeremos información sobre cuál es la situación de los alumnos en el aspecto de resolución de problemas al finalizar el ciclo.



2º curso

Las actividades que aparecen son similares a las trabajadas a lo largo del curso y recogen tanto aspectos referidos a la comprensión lectora y al desarrollo de competencias en este campo, como problemas en los que tienen que aplicar el plan general de resolución.
Las estrategias generales que se aplican durante este taller: lectura analítica, separación de datos e incógnitas, realización de gráficos… son también una continuación de lo trabajado con los alumnos el curso anterior, si bien en este caso estarán ya más familiarizados con ellas.
Las otras tipologías de problemas que se han iniciado durante el curso no aparecen en la evaluación del taller por no considerarse lo suficientemente representativas del mismo, pero eso no quiere decir que deban eludirse en su tratamiento.
Para que estas pruebas u otras similares diseñadas por el profesorado tengan validez como pruebas finales del taller, es necesario mantenerlas durante al menos cuatro años para poder comparar resultados antes de introducir modificaciones.
Los modelos que vienen a continuación pretenden dar una idea sobre los contenidos de la prueba de evaluación. Las actividades podrían modificarse si así se considera, pero es recomendable que la estructura y tipología permanezcan, ya que es lo fundamental en este curso:
- Dados los datos de un problema, escribir una o más preguntas que se podrían responder a partir de la información presente en el enunciado.
- Dados algunos datos y una pregunta, escribir los datos que son necesarios y no están en el enunciado, para poder responder a la pregunta formulada.
- Problemas para responder a través de cálculo mental. Son bastante discriminativos.
- Problemas aditivo-sustractivos.

PRUEBA A NOMBRE: ………………………………
Escribe una pregunta que pueda contestarse. Sabemos que:
Alex tiene 16 cromos de una colección de animales. La colección completa son 45 cromos.

¿………………………………………………………………….….? (1 punto)


Escribe el dato que falta para poder contestar a la pregunta.


Mikel ha comprado un libro en la librería. El librero le ha devuelto a Mikel 4 euros.

…………………………………………………………
¿Cuántos euros costaba el libro que ha comprado Mikel? (1 punto)

Lee despacio, piensa y contesta: (1 punto cada apartado)


1.- Laura tiene 9 cromos. Laura tiene 2 cromos más que yo.


Yo tengo ……… cromos.

2.- Sumar 25 y después restar 10, es lo mismo que ……………………


3.- Me faltan 4 euros para tener 7.


Ahora tengo ………….euros.

4.- María compró 12 caramelos, 2 caramelos menos que Javier.


Javier compró ………caramelos.

PROBLEMA (4 puntos)


Una frutera tenía 58 kilos de manzanas y 42 kilos de peras. Ha vendido todas las peras y 36 kilos de manzanas.

¿Cuántos kilos de fruta ha vendido la frutera?


2º curso

Subraya de rojo lo que sabes y de azul lo que quieres calcular. Completa el esquema con los datos y la pregunta del problema.

o

Escribe la operación y la solución del problema.


OPERACIÓN:


SOLUCIÓN: …………………………………………………………………



PRUEBA B NOMBRE: ………………………………

Escribe dos preguntas que puedan contestarse. Sabemos que:

En la hucha grande hay 120 monedas. En la hucha pequeña hay 75 monedas.

¿………………………………………………………………….….? (0,5 puntos)


¿……………………………………………………….……….……? (0,5 puntos)

Escribe el dato que falta para poder contestar a la pregunta (1 punto)


Marta es mayor que Juan. Marta tiene 10 años.

………………………………………………………..


¿Cuántos años menos que Marta tiene Juan?
Lee despacio, piensa y contesta: (4 puntos)

1. En la bolsa de Juan hay 10 gominolas más que en la bolsa de Marta.


Marta se come 3 gominolas de su bolsa.
Ahora Juan tiene ……….. gominolas más que Marta.
2. Irene dice: "Tengo 10 años y mi madre tiene 40 años".
Ahora mi madre tiene …………años más que yo.
Dentro de 10 años mi madre tendrá ……….. más que yo.
3. Pedro tiene 8 caramelos y yo tengo 5 caramelos.
Pedro se come 5 de sus caramelos.
Yo tengo que comer ………… de mis caramelos para tener tantos como él.

4. Encima de la mesa había 12 fichas.


He cogido 3 fichas con la mano derecha y 2 fichas con la mano izquierda. Encima de la mesa quedan …………… fichas.

PROBLEMA (4 puntos)





2º curso

Laura ha leído 75 páginas de un libro de aventuras. Todavía le faltan 32 páginas para acabarlo.

¿Cuántas páginas tiene el libro que está leyendo Laura?

Subraya de rojo lo que sabes y de azul lo que quieres calcular. Relaciona en el esquema los datos y la pregunta del problema.

o

Escribe la operación y la solución del problema. OPERACIÓN:

SOLUCIÓN: ……………………………………………………………….
2. SEGUNDO CICLO

En este ciclo, las diferencias en el desarrollo intelectual de los alumnos de los dos cursos que lo componen no son tan acusadas. Partimos de unas capacidades que están ya en pro- ceso de adquisición (competencia lectora, más autonomía, desarrollo de destrezas de cálculo, etc.); por ello, si bien aún es necesario seguir trabajando en esa línea, el taller se centrará más en la práctica e interiorización del proceso de resolución de problemas.




Objetivos
Potenciar el desarrollo (iniciado durante el primer ciclo) de las capacidades que favorecen la comprensión lectora tanto del enunciado del problema como de la situación planteada en él.
Aplicar el plan general de resolución en el caso de los problemas aritméticos de un solo paso (aditivo-sustractivos y multiplicativos o de división).
Resolver problemas aritméticos de segundo nivel, en los que se insistirá de modo especial en la fase de la planificación de las acciones a realizar para resolver la situación planteada.
Aplicar técnicas heurísticas que favorezcan el proceso: lectura analítica, organización de la información, reformulación, elaboración de esquemas, determinación de problemas auxiliares, tanteo inteligente…
Resolver problemas sencillos de recuento sistemático, en contexto geométrico y numérico.

Desarrollar el razonamiento lógico aplicado al campo de la resolución de problemas. Aprender a trabajar en parejas para potenciar el aprendizaje entre iguales en la reso-

lución de problemas.

Contenidos. Tipos de problemas

A lo largo de este ciclo, el alumno debe familiarizarse con la identificación de situaciones de la vida cotidiana que se resuelven a través de multiplicaciones y/o divisiones. Es la tipología de problemas característica de estos dos cursos y ha quedado reflejada, así como su variada casuística, en el capítulo "Tipología de problemas matemáticos en la etapa de Educación Primaria". En tercer curso, es recomendable iniciar el taller retomando los problemas aditivo-sustractivos. Hay que tener en cuenta que a lo largo de este curso los alumnos deben resolver con confianza aquellos problemas que durante el primer ciclo han sido reseñados como de especial dificultad.


Dentro de los problemas multiplicativos del tipo factor N pueden presentar mayor dificultad aquellos en los que la incógnita se refiere a la cantidad inicial.

Ejemplo:


Javier está haciendo una colección de cromos de fútbol y tiene ya 320 cromos. Tiene 4 veces más que su primo Jorge. ¿Cuántos cromos tiene Jorge?.

Son las situaciones 5 y 6 que están recogidas en el cuadro correspondiente del mencionado capítulo.


En este ciclo, algunos alumnos los confunden con las situaciones aritméticas aditivo- sustractivas de comparación, sobre todo al empezar a trabajar con este tipo de problemas. Quizá es porque por despiste no diferencian los matices "… más/menos que ..." y "… veces más/menos que …"
Los problemas de razonamiento lógico y los de azar o probabilidad que fueron iniciados en primer ciclo siguen tratándose también en este.
Se introducen como novedad los problemas aritméticos de segundo nivel o llamados también combinados. Son aquellos que conllevan la realización de dos o más operaciones encadenadas en un cierto orden para llegar hasta la solución del problema. Resultan complicados puesto que:
- La comprensión de la situación planteada en el enunciado es más compleja, ya que deben establecer relaciones entre un mayor número de datos.
- El esfuerzo que debe realizarse para elaborar el plan de resolución es mayor.
- El resolutor debe explicitar de una forma lógica y ordenada los pasos intermedios, subproblemas, que ha tenido que resolver, para a partir de los nuevos datos obtenidos llegar a la solución.
- Valorar la solución es más complejo, debido a las interrelaciones que deben establecerse entre los datos.
El paso de los problemas aritméticos simples a los combinados debe realizarse de una forma gradual. El profesorado debe acompañar al alumno en el cometido de este nuevo tipo de actividades, variando la dinámica de desarrollo de la sesión del taller. Respecto al nivel de dificultad de los problemas, conviene diferenciar entre los combinados puros y los mixtos. Los primeros son aquellos en los que intervienen operaciones del mismo campo conceptual, es decir, sumas - restas o multiplicaciones - divisiones. Se empiezan a trabajar al final de tercer curso. En los problemas combinados mixtos, es necesario utilizar operaciones de distintos campos conceptuales para su resolución, es decir, suma/resta y multiplicación/división. Este tipo de problemas se inician en cuarto.
Otra tipología nueva para los alumnos son los problemas de recuento sistemático. Aparecen por primera vez en este ciclo y se continuará trabajando sobre ellos en el siguiente.

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