Laboratorio de ondas



Descargar 83.57 Kb.
Fecha de conversión24.01.2018
Tamaño83.57 Kb.

Versión fiel al material impartido, corregida posteriormente al curso: 25.08.2005
LABORATORIO DE ONDAS
Dr. Eugenio Kourmychev, Centro de Investigaciones en Óptica, A.C., León,

Guanajuato


Todo el mundo a nuestro alrededor, a todas las escalas, vibra ("oscila"). Una de las formas más naturales del comportamiento de la materia es oscilarse y/o propagarse en forma de ondas. Ejemplos: en un átomo oscilan los electrones alrededor de su núcleo; oscilan las moléculas, vibran los edificios y puentes, tiembla la Tierra y los seres vivos, propagan las olas del mar y las ondas electromagnéticas.... La propagación en ondas es esencial para la transmisión de señales y de información en general. ¿Por qué y como vibran las cosas? ¿Qué es una onda? ¿Qué tienen en común los fenómenos mencionados?
En este curso-laboratorio contestamos de manera entendible e interactiva las preguntas planteadas arriba y aprendemos los conceptos fundamentales de la teoría de ondas y oscilaciones: oscilaciones y ondas, resonancia, polarización, caos, ... Usamos como herramienta básica un aparato electro-mecánico simple pero versátil y emocionante, llamado el "Mini Lab de Física". Adaptamos el nivel de las Matemáticas utilizadas a los

participantes.



Objetivo del curso:

Despertar el interés de estudiantes a la física de ondas y oscilaciones, involucrándolos al proceso de investigación con los experimentos interactivos, emocionantes e indicativos con el fin de enseñar los conceptos básicos y fundamentales de la teoría de ondas y oscilaciones.


Metas del curso:

  1. Presentar un punto de vista personal sobre el lugar de la ciencia, en particular de la Física, en el mundo actual.

  2. Mostrar que todo el mundo vibra y enseñar que son oscilaciones y ondas.

  3. Demostrar, usando la teoría y experimentos simples con péndulos físicos, que el modelo de oscilador armónico es un punto clave para explicar y entender a los muchos fenómenos de la física de oscilaciones. La razón de oscilaciones es la existencia de una fuerza restauradora que actúa sobre un objeto o sistema.

  4. Mostrar y Enseñar la fuerza de Lorentz, la de interacción entre la corriente eléctrica y campo magnético.

  5. Demostrar el principio de generación de ondas en una cuerda elástica conductora (un alambre delgado) usando la fuerza de Lorentz alterna que se debe a la interacción entre una corriente eléctrica alterna y un campo magnético estático (permanente). Explicar la diferencia entre los conceptos de oscilación y onda.

  6. Resonancia es un fenómeno de suma importancia para la vida y ciencia (tanto útil como nocivo) que se debe a la respuesta de un sistema oscilatorio a una fuerza externa armónica.

  7. Composición de oscilaciones de la misma dirección y frecuencia, la interferencia constructiva y destructiva.

  8. Polarización de ondas (oscilaciones) como un resultado de Composición de oscilaciones de la misma frecuencia, perpendiculares entre sí; figuras de Lissajous como un resultado de composición de oscilaciones perpendiculares entre sí, pero de frecuencias múltiples.

  9. Enseñar los elementos básicos del análisis y la determinación de Parámetros principales de un sistema ondulatorio: alambre delgado con corriente eléctrica en un campo magnético

SESIÓN # 1. Introducción y una demostración de sistemas oscilatorios y ondulatorios simples.

Movimiento oscilatorio de un péndulo simple.

Objetivo:

Establecer el contacto con el grupo de estudiantes y marcar la línea de desarrollo del curso, mostrando la importancia de los fenómenos oscilatorios y ondulatorios para la vida y ciencia.


Metas:

  1. Implementar los experimentos con un péndulo físico simple para establecer la característica principal de éste: la frecuencia y su dependencia funcional de los parámetros del sistema (longitud, constante gravitacional, masa, forma, ...). Explicar que las oscilaciones es un fenómeno de cambio repetitivo de un parámetro del sistema en el tiempo (la dependencia de una sólo variable). Derivar la ecuación movimiento de un oscilador armónico.

  2. Experimentos de generación de ondas en cubetas de agua de diferente forma y diferente profundidad de agua. Explicar que una onda es la propagación de una perturbación en medio que depende tanto de tiempo como de (por lo menos) de una variable espacial. Condiciones iniciales y de (en) la frontera.

  3. Primera demostración del equipo del Mini Laboratorio de ondas.


Definición #1. Procesos que se distinguen por uno u otro grado de repetición, reciben el nombre de oscilaciones (vibraciones). En general, las oscilaciones es un cambio repetitivo de una característica (una variable, un parámetro) de un sistema físico, químico, biológico, etc. con el tiempo.
Definición #2. Los procesos de transmisión de perturbaciones en un medio se llaman ondas. Un requisito indispensable para éste fenómeno es un medio, que es un conjunto de partículas (elementos) constituyentes con una interacción entre ellas (ellos). En ondas se observan cambios de una o varias magnitudes físicas dependientes tanto del tiempo como de las variables del espacio (coordenadas).
Péndulo (matemático) simple.
El movimiento oscilatorio armónico, que en forma general se describe mediante la función
, (1)
es un ejemplo de oscilaciones más simples en forma y, a la vez, fundamentales de suma importancia.

Un ejemplo de movimiento oscilatorio armónico es el movimiento de un péndulo simple; éste se define como una masa m puntual (que no tiene dimensiones y, por tanto, la forma) suspendida de un punto O mediante una cuerda (hilo) inextensible de longitud R y de masa despreciable (véase Figura 1). En el estado de equilibrio del péndulo la cuerda se extiende a lo largo de la vertical OE. Cuando la masa se coloca en la posición inicial I, de modo que la cuerda forma un ángulo 0 con la vertical, y después se le suelta, el péndulo oscila entre I y la posición simétrica I’.


Figura 1. Péndulo simple



La componente radial del peso, mg, se recompensa por la fuerza de reacción del hilo. El movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial del peso, mg, del objeto. Dado que la longitud de la cuerda, por suposición, es una constante R, la masa puntual se mueve a lo largo del arco del círculo con radio R. Como variables de observación del movimiento del péndulo, podemos escoger el ángulo de desviación del hilo,  o la distancia a lo largo del arco circular. Según la segunda ley de Newton, se tiene
, (2)
donde a es la aceleración de la masa m y el signo menos de la componente tangencial se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento . Recordando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento s en el tiempo, de la Ec. (2) se obtiene la relación

o, dividiendo sobre mR,
. (3)
Suponiendo que las oscilaciones son de una amplitud pequeña, es decir, , se tiene la aproximación, . Sustituyendo esta relación en Ec. (3), se tiene la ecuación (diferencial de segundo orden) de oscilador armónico,
, (4)
que representa la relación funcional entre la variable observable , el ángulo de desviación del péndulo, y parámetros del sistema, g y R. De la ecuación vemos que las oscilaciones del péndulo simple no dependen de la masa m, sino dependen únicamente de la combinación de parámetros g y R. La solución general de Ec. (4) es la función
, (5)
donde A es la amplitud constante y es la fase inicial de oscilaciones. El parámetro
, (6)
es la frecuencia, es decir, el número de oscilaciones por un segundo. La magnitud inversa a la frecuencia,
(7)
se denomina el periodo de oscilaciones que nos da el tiempo en que transcurre una oscilación completa.

Se analiza la gráfica de oscilaciones armónicas, Ec. (5) y el comportamiento del periodo de oscilaciones en función de los parámetros de R y g.

A diferencia de un péndulo (matemático) simple, un péndulo físico simple, es un objeto de masa m suspendido de un punto O mediante una cuerda. ¿Cuáles son los parámetros principales de éste sistema que determinan (influyen) sobre sus oscilaciones? (La lista tentativa: R – longitud de hilo; mg - la fuerza gravitacional, mediante la masa del objeto m y la constante g; la forma del objeto; la elasticidad de del hilo; la masa del hilo; ...). Por razonamiento y mediante los experimentos, establecer la influencia de cada uno de los parámetros enlistados sobre las oscilaciones del péndulo físico simple.
Se habló de cubetas con agua y cuerdas elásticas (alambres delgados) como medios para la generación de ondas.
Resumen, Conceptos y términos importantes:
Oscilaciones (vibraciones); Fuerza restauradora; Péndulo matemático (físico) simple; Oscilaciones armónicas; Frecuencia y Periodo de oscilaciones armónicas.

Ondas, medio de propagación de ondas.




SESIÓN # 2. Péndulo matemático (ideal) y físico simple.

Ejemplos de sistemas ondulatorios – ondas en la superficie de agua y en cuerdas.

Objetivo: Mostrar la diferencia entre un péndulo matemático (ideal) y un péndulo físico (real), comprobando los resultados de análisis teórico a través de experimentos con un péndulo físico simple. Demostraciones de generación de ondas en la superficie de agua y en las cuerdas elásticas (alambres de cobre delgados).
Metas:

  1. Enseñar la metodología y elementos de análisis crítico de un modelo teórico de oscilador armónico, empleando experimentos de medición del periodo de oscilaciones de un péndulo físico simple en función de sus parámetros.

  2. Ampliar la ecuación de oscilaciones armónicas incluyendo los términos correspondientes al amortiguamiento y fuerza externa.

  3. Mostrar la generación de ondas de diferente naturaleza (ondas en superficie de agua en diferentes cubetas y ondas en alambres delgados con corriente eléctrica en un campo magnético).

  4. Mencionar y explicar brevemente los fenómenos ondulatorios fundamentales que son interferencia, difracción, refracción.

Se hace un resumen de la sesión anterior: conceptos y términos principales, los pasos principales de la derivación de ecuación de movimiento de un péndulo matemático simple (oscilador armónico) con análisis de suposiciones para definir el dominio de su dominio aplicabilidad.


Péndulo matemático (ideal) simple
Suposiciones hechas para la derivación de ecuaciones de movimiento (modelo matemático):

  1. Masa puntual, m (sin dimensiones y forma)

  2. Cuerda (hilo) de suspensión inextensible, es decir, R = constante

  3. Oscilaciones en vacío.

  4. Amplitud de oscilaciones pequeña, que implica .

Como resultados se obtienen las ecuaciones (4), (5), (6) y (7).


Definición: Un péndulo físico real es lo que no satisfaga por lo menos uno de las condiciones indicadas anteriormente. Por tal razón, podemos pensar que el período de oscilaciones de éste depende de más parámetros que el del péndulo matemático. La lista de estos podría ser siguiente:

R – longitud del hilo (medida del punto de suspensión, del centro de masa),

g – constante gravitacional,

m – la masa del objeto colgado de hilo,

A – amplitud de oscilaciones,

La forma del objeto, ...


Se toma un péndulo físico real y Se hace una serie de mediciones del periodo de oscilaciones (se mide la duración de tres oscilaciones), cambiando uno de los parámetros y manteniendo los demás fijos. Resulta que, en general, el periodo medido coincide bastante bien con el calculado por la formula (7), teniendo un valor un poco mayor del último. Por razonamiento físico común, el incremento del periodo se explica por un retardo del movimiento debido a la fricción del péndulo con aire (la forma del objeto). Otra razón para el incremento del periodo de oscilaciones proviene de la dependencia del periodo de la amplitud de oscilaciones; se explica a través de la modificación de la frecuencia según las formulas:

() y, por tanto, ,

donde es el promedio por un periodo de oscilación. De la fórmula anterior se obtiene que la frecuencia angular modificada es igual a
. (8)
De Ec. (8) se obtiene el periodo modificado:
. (9)

Nótese que la fricción del péndulo con el aire (ambiente), por lo general, es proporcional a la velocidad de movimiento. Por tanto, agregando la fuerza de fricción y una fuerza externa a la Ec. (2) se obtiene


.
Después de dividir la última ecuación entre mR, se obtiene una generalización del modelo de un oscilador armónico que se presenta por la siguiente ecuación:
, (10)
o, para las oscilaciones de amplitudes pequeñas, ,
, (11)
donde es un constante de fricción que depende del medio ambiente y la forma del péndulo; además, . La agregación de la fricción y la fuerza externa se necesita para explicar el fenómeno de resonancia importantísimo.
Experimentos con ondas en superficie de agua y en cuerdas.
La Primera serie de experimentos demostrativos es con cubetas de agua profunda. Una cubeta se coloca sobre la mesa (de preferencia la que puede vibrar fácilmente) y, golpeando la mesa con una o dos manos y provocando las vibraciones de ésta, se generan diferentes patrones de ondas en la superficie de agua. Se observa el cambio de patrones de ondas al cambiar el ritmo y fuerza de golpes. Se observan patrones de ondas en cubetas de diferente forma y con agua de diferente profundidad.

La segunda serie de experimentos es con la cubeta cuadrada de agua poco profunda. De un lado de la cubeta esta montado un brazo vibrador para la generación de ondas. Se puede cambiar la frecuencia y amplitud de oscilaciones y “nariz” del vibrador electro mecánico para generar las ondas de diferentes tipos. La cubeta tiene un fondo de vidrio transparente y, además, se ilumina desde arriba por una lámpara de luz difusa para la proyección del patrón de ondas sobre la mesa (véase la Figura 2).


Figura 2. La cubeta de agua poco profunda.

Cambiando la nariz de vibrador (un punto, dos puntos, una placa plana) se generan ondas de diferentes tipos: onda circular, ondas circulares de dos fuentes puntuales y su interferencia, onda plana En casos anteriores puede variarse la frecuencia y amplitud del vibrador, también. Introduciendo los obstáculos (placas de aluminio delgadas) de diferente tamaño y en diferentes combinaciones y localizaciones, se logra observar los patrones muy variados de interferencia, difracción y reflexión (rebote de las fronteras de obstáculos) de ondas en agua poco profunda (véase Figura 3).

Figura 3. Algunas de las configuraciones (composiciones) de obstáculos.

La tercera serie de experimentos de generación de oscilaciones y ondas se hace con alambres delgados de cobre con la corriente eléctrica en un campo magnético. Se muestra el equipo de Mini Laboratorio en Física de ondas, se menciona que su funcionamiento se basa en el uso combinado de la fuerza magnetostática (la de Lorentz) y de la tensión en la cuerda. Variando los parámetros del sistema (básicamente la tensión de las cuerdas, la frecuencia de la corriente eléctrica alterna y la posición de imán permanente) se logra observar ondas estacionarios y transitorias con diferentes tipos de polarización (diferentes figuritas).


SESIÓN # 3. ¿Porque vibra una cuerda de guitarra?

¿Porque vibra un alambre delgado con corriente eléctrica en un campo magnético?

Objetivo: Hacer entender una razón de porque vibra una cuerda tensada, un alambre delgado con corriente eléctrica en un campo magnético. Explicar las bases de funcionamiento del Mini Laboratorio de Física de ondas.
Metas:


  1. Mostrar la causa de vibración de una cuerda elástica tensada, perfectamente tensada.

  2. Fuerza magnética ejercida sobre una corriente eléctrica.

  3. El campo magnético producido por una corriente eléctrica (recta, infinita); interacción de dos corrientes eléctricas rectas.

  4. Experimentos con Mini LAB, mostrando los fenómenos indicados anteriormente.


1. Cuerda elástica tensada, perfectamente flexible
La razón porque un sistema físico vibra es la existencia de una fuerza restauradora. Cuando una cuerda elástica tensada se desvía de su estado de equilibrio (que es una línea recta), en cada extremo de un elemento (trocito) de esta actúa la fuerza de tensión, T, que es tangencial en estos puntos (vease la Figura 4). La suma vectorial de estas dos fuerzas esta dirigida hacia la línea recta del estado de equilibrio, tratando de regresar la cuerda a su estado de equilibrio. Sin embargo, al llegar esta en su estado de equilibrio, por inercia sigue moviendo a un estado tensado opuesto al inicial. En el nuevo estado de la cuerda, las fuerzas de tensión sobre los extremos del segmento considerado resultan en una fuerza que es opuesta a la del estado inicial. Dicha fuerza mueve la cuerda de regreso al estado de equilibrio. Sin embargo, la inercia de movimiento de nuevo hace pasar la cuerda por su estado de equilibrio. Esta situación se repite un numero de veces (un numero infinito en ausencia de la fricción en el sistema), haciendo oscilar (vibrar) la cuerda. Es decir, para una cuerda tensada, la fuerza restauradora es una resultante de la fuerza de tensión.

Figura 4. Fuerzas tangenciales de tensión sobre los extremos de un segmento de la cuerda oscilando

Los trocitos (segmentos) de una cuerda interactúan entre si mediante la fuerza de tensión, formando a esta causa un medio para la propagación de perturbaciones (ondas transversales). Cuando la cuerda es finita y extremos de esta están fijos (sujetadas en prensas), las perturbaciones rebotadas de los dos extremos se encuentran en la cuerda, interfieren y forman ondas especiales, llamadas ondas estacionarias, tales que existen puntos en la cuerda que no oscilan. Estos puntos fijos se llaman nodos. Las ondas estacionarias se numeran por el número de crestas que son zonas oscilantes de la cuerda. Los ejemplos de cuatro primeros modos se presentan en la Figura 5.




Figura 5. Primeros cuatro modos normales de oscilación de una cuerda tensada con extremos fijos.

Las oscilaciones libres tienden a desaparecer cuando existe una fricción de la cuerda con el ambiente que es común para cualquier sistema físico. Para mantener oscilaciones un tiempo prolongado se requiere una fuerza externa que recompensa la disipación de energía de la cuerda oscilante (vease Ec. (11) para la aclaración de la tesis). A las oscilaciones de un sistema que surgen a causa de una fuerza externa se les llaman forzadas. Las oscilaciones forzadas en el sistema de cuerdas (alambres delgados) que forman el equipo del Mini LAB de Física de Ondas se mantiene a causa de las fuerzas ejercidas por un campo magnético sobre una corriente eléctrica.



2. La fuerza magnetostatica entre la corriente eléctrica y un capo magnético
La fuerza que ejerce un campo magnético, sobre un elemento que tiene la dirección de la corriente eléctrica I, esta dada por la formula
(12)
Nota: Explicar a los estudiantes en breve que es el producto cruz de dos vectores.


3. Ley de Ampere (Campo magnético de una corriente eléctrica)
Resulta que una corriente eléctrica produce un campo magnético y como fue establecido por el físico francés Ampere (Ley de Ampere), la corriente eléctrica recta infinita (o en un conductor bastante largo) genera un campo magnético según la formula:
, (13)
donde r es la distancia de punto de observación del campo a la corriente recta, I es la intensidad de la corriente y es vector tangencial a la circunferencia que pasa por el punto de observación y con el centro sobre la corriente recta; viendo en la dirección que apunta la corriente, el vector de dirección del campo esta circulando contra las manecillas de reloj. Es decir, la intensidad del campo magnético es una constante sobre cada cilindro coaxial con la corriente, pero la dirección del campo es tangencial a la circunferencia que se encuentra en el plano perpendicular al eje.

4. Interacción magnetostatica entre las corrientes eléctricas
Dado que una corriente eléctrica produce un campo magnético en su alrededor, este campo ejerce la fuerza magnética sobre cada elemento de otra corriente eléctrica según la Ec. (12). Es decir, dos corrientes eléctricos interactúan entre si a través de la fuerza magnética. El caso particular es la interacción de dos corrientes eléctricas rectilíneas paralelas infinitas (conductores bastante largos). Usando las Ec. (12) y (13) se puede demostrar que dos corrientes rectilíneas paralelas de intensidades I1 e I2 se atraen, cuando son de la misma dirección, y se repelen, cuando estas son de direcciones opuestas, con la fuerza cuya magnitud por unidad de longitud se calcula de la siguiente manera (véase la Figura 6): , donde r es la distancia de separación entre las corrientes.

(a) (b)
Figura 6. Fuerzas de atracción (a) y repulsión (b) de dos corrientes rectas




5. Experimentos ilustrativos con Mini LAB
¿Y que nos muestran ellos? Una gran variedad de fenómenos ondulatorios: fenómeno de resonancia para la generación de diferentes modos de ondas transversales estacionarias, estabilidad de ondas estacionarias en cierto rango de parámetros del sistema, importancia de condiciones iniciales y transitorios, simetría del sistema, polarización, ....
SESIÓN # 4. Experimentación libre, medio guiada

con Mini LAB.

Bases teóricos del fenómeno de Resonancia.

Objetivo: apoyar a los estudiantes en la experimentación creativa y enseñar los elementos básicos de análisis critico de fenómenos observados.
Metas:

  1. Enseñando en breve los principios de funcionamiento del Mini LAB, permitir a los estudiantes el planteamiento libre y ejecución de los experimentos con el Mini LAB.

  2. Presentar bases teóricas del fenómeno de resonancia en sistemas vibrantes y, usando conocimiento adquirido, hacer un análisis crítico de lo observado en los experimentos.



Bases teóricas del fenómeno de resonancia.

Todos sistemas oscilatorios reales están sujetos a la fricción de un u otro grado. Por tanto, la amplitud de sus oscilaciones disminuye con tiempo causando finalmente su desaparición. Para mantener un sistema oscilando hay que suministrar la energía a esta sistema. Esta función cumple una fuerza externa, el hecho que se describe por la ecuación idéntica a la Ec. (11),


,
donde es la frecuencia propia del sistema y x es la magnitud oscilante de este. Un caso particular, pero muy importante es una fuerza externa armónica (cosenoidal) de una frecuencia . En este caso la ecuación anterior toma la siguiente forma:
, (14)

donde f0 es la amplitud constante de esta fuerza. Resulta que bajo la acción de una fuerza armónica el sistema termina oscilando con la frecuencia de la fuerza. A estas oscilaciones se les llaman forzadas y ellas se describen por la siguiente formula,


, (15)
donde la amplitud de oscilaciones A depende tanto de los parámetros del sistema, y , como de la fuerza, y de la siguiente manera:
. (16)
La relación entre la amplitud y la frecuencia de la fuerza esta presentada gráficamente en la Figura 7. Estas son curvas de resonancia para diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento cuando los parámetros y son fijos. De acuerdo con la Ec. (16), mientras que el factor de amortiguamiento se vuelve menor, mas arriba y a la derecha hacia desplaza el máximo de la curva correspondiente. En otras palabras, la respuesta resonante del sistema a la fuerza armónica es mayor cuando menor es la fricción del sistema.


Figura 7. Curvas de resonancia.

Con el fin de explicar la generación de diferentes modos normales de ondas estacionarias en una cuerda por la fuerza magnetostatica alterna del Mini LAB, recordamos que la frecuencia de oscilaciones de la cuerda en su n-esimo modo normal es igual a


, (17)
donde n es el número de modo normal, L es la longitud de la cuerda, T es la tensión en la cuerda y es su densidad de masa lineal. Cuando todos los parámetros de la cuerda son fijos, las frecuencias de modos normales son números múltiplos, proporcionales a n. Es por esto, cambiando gradualmente la frecuencia de la corriente en la cuerda (que es la frecuencia de fuerza externa en este caso), llegamos a la resonancia con cada modo normal y provocamos las oscilaciones de la cuerda en cada de estos modos consecutivamente. Por supuesto, sobre esto proceso influye la posición del imán de tal manera que modos impares se generan con el imán en medio de la cuerda o en un lugar cerca de una de las crestas (según la simetría del sistema). Como regla general, para generar uno de los modos, el imán debe estar en un lugar cerca de una de las crestas del modo normal correspondiente.
SESIÓN # 5. Composición de oscilaciones de la misma dirección y perpendiculares entre si.

Objetivo: Explicar la composición de oscilaciones de la misma dirección y perpendiculares entre si con el fin de entender mejor los fenómenos de interferencia y polarización de ondas.
Metas:

  1. Enseñar las bases de interferencia de ondas constructiva y destructiva a través de composición de oscilaciones de la misma dirección y frecuencia, de frecuencias cercanas.

  2. Explicar el concepto de polarización y figuras de Lisssajous a través de composición de oscilaciones perpendiculares entre si, de la misma frecuencia y frecuencias cuya razón es un numero racional.

Cuando un sistema físico se encuentra bajo la acción de dos fuerzas restauradoras independientes, la oscilación resultante será un suma (composición) de oscilaciones generadas por cada una de estas fuerzas. Dichas fuerzas restauradoras pueden actuar en la misma dirección o en direcciones perpendiculares entre sí. Por tanto, suelen distinguir entre composición de oscilaciones de la misma dirección y en direcciones perpendiculares entre sí.



Composición de oscilaciones de la misma dirección
Ejemplo: Cuando se observan las ondas en la superficie de agua poco profunda (cubeta con agua), la magnitud que oscila es la elevación de la superficie en un punto de observación. Las ondas generadas por dos fuentes independientes (dos puntas de un alambre del vibrador electro mecánico) se encuentran en dicho punto de observación para formar la onda resultante. En este caso la elevación de superficie representa un ejemplo de composición de oscilaciones de la misma dirección provenientes de dos ondas.
Suponemos que en un sistema físico las dos oscilaciones armónicas de la misma frecuencia,
y (18)
ocurren en la misma dirección. Aquí, y son amplitudes y es la diferencia de fase de dos oscilaciones (o la fase inicial de la segunda oscilación). Por tanto, después de usar algunas formulas trigonométricas conocidas la oscilación resultante será
, (19)
donde la amplitud y fase inicial se dan por las siguientes expresiones:
y . (20)
De Ecs. (19) y (20) vemos que la oscilación resultante es la armónica de la misma frecuencia y de la amplitud que depende de la diferencia de fases de oscilaciones constituyentes. Dos casos particulares son de interés especial.

Cuando la diferencia de fases es igual a cero, la amplitud de oscilación resultante es la suma de dos oscilaciones constituyentes, . En esto caso se dice que tiene lugar la interferencia constructiva de dos oscilaciones. Cuando la diferencia de fase es igual a , la amplitud de oscilación resultante es la resta de amplitudes, . En esto caso se dice que la interferencia es destructiva que se observa en zonas de “silencio” de ondas sobre la superficie de agua en una cubeta con un vibrador electro mecánico de dos puntas de alambre como fuentes de olas.


Composición de oscilaciones perpendiculares entre sí

Explicar el concepto de polarización y figuras de Lisssajous a través de composición de oscilaciones perpendiculares entre si, de la misma frecuencia y frecuencias cuya razón es un numero racional.

Supongamos que un punto material puede oscilar tanto a lo largo del eje x como a lo largo del eje y de un sistema de coordenadas cartesiano. Algunos ejemplos son: movimiento de un punto marcado de una cuerda tensada oscilante; un punto luminoso de un osciloscopio electrónico; una masa sujetada de dos resortes perpendiculares entre sí; onda electromagnética. Cuando generamos ambas oscilaciones al mismo tiempo, el punto indicado moverá por una trayectoria que, en general, será curvilínea y cuya forma depende de las frecuencias y amplitudes de las oscilaciones constituyentes.

Consideremos un caso básico cuando las oscilaciones perpendiculares entre sí son armónicas y de igual frecuencia:


y , (21)
donde es la diferencia de fases. Estas dos expresiones describen la trayectoria de movimiento en forma paramétrica, donde el tiempo t es un parámetro. Para expresar la trayectoria en forma explicita, hay que excluir el parámetro t de las Ecs. (21). Para éste fin hacemos los siguientes transformaciones:
, por tanto, .
Después, .

Elevando la última ecuación a segundo grado, tenemos la trayectoria en forma explicita:


. (22)
En general, ésta es la ecuación de una elipse. La orientación y los valores de sus semiejes dependen de las amplitudes A y B y de la diferencia de fases . Determinemos la forma de la trayectoria para ciertos casos particulares.
Caso 1. Cuando la diferencia de fases , la Ec. (21) toma el aspecto

, ó . (23)
La última ecuación es una recta con el pendiente (B/A). Tanto x como y son oscilaciones armónicas. Por tanto, el movimiento resultante de la partícula es una oscilación armónica a lo largo de dicha recta, con la frecuencia y la amplitud . (Véase la Figura 8a)
Caso 2. Cuando la diferencia de fases es , de Ec. (22) se tiene
, ó . (24)
El movimiento resultante, también es una oscilación armónica a lo largo de la recta, Ec. (24), con la frecuencia y la amplitud , como en el caso anterior (véase Figura 8b).

Figura 8. Oscilaciones a lo largo de una recta: a) , b)

Cuando los elementos de un medio de propagación de ondas transversales oscilan de modo similar al Caso 1 ó 2 se dice que dicha onda tiene la polarización plana. Esto comportamiento se observó claramente en varias ocasiones al ver ondas estacionarias en la cuerda del Mini LAB.



Caso 3. Con , la Ec. (22) se convierte en la ecuación una elipse
, (25)
con semiejes iguales a las amplitudes A y B de oscilaciones constituyentes. Además, las semiejes están orientados a lo largo de los ejes x y y (véase la Figura 9). Cuando , la elipse se degenera en la circunferencia del radio R.

Figura 9. La trayectoria elíptica de movimiento oscilatorio.



Los casos , y , se distinguen por la dirección del movimiento. Para , las ecuaciones paramétricas, Ec. (21), pueden escribirse del modo siguiente:

y . En el instante el cuerpo se encuentra en el punto . En los siguientes instantes la coordenada x disminuye, mientras que la coordenada y se hace negativa. Esto indica que el movimiento transcurre en el sentido de las manecillas de reloj. De modo semejante se obtiene que para el movimiento transcurre en el sentido contrario de las manecillas de reloj.
Cuando los elementos de un medio oscilan de modo similar al Caso 3 se dice que dicha onda tiene la polarización elíptica (o circular, cuando las amplitudes son iguales, A = B). Esto comportamiento también se observó claramente al ver ondas estacionarias en la cuerda del Mini LAB.

Caso 4. Cuando las frecuencias, y , de oscilaciones perpendiculares entre sí son diferentes y su razón es un número racional, es decir donde n y m son números naturales, las trayectorias del movimiento resultante son curvas cerradas, bastante complicadas que reciben el nombre de figuras de Lissajous. Por ejemplo, para y las ecuaciones paramétricas de movimiento son y . La Figura 10a muestra la trayectoria correspondiente. Para y , es fácil de ver que la trayectoria degenera en una parábola confinada, con , como se muestra en la Figura 10b. En este caso el movimiento transcurre de un extremo a otro del parábola, semejante a un columpio. Recuerden que los dos tipos de trayectorias se observaron en una cuerda del Mini LAB de Física, cuando en un plano de oscilaciones se genera el primer modo normal y en el plano perpendicular se genera el segundo modo normal de doble frecuencia.

Figura 10. Figuras de Lissajous: a) y ; b) y .


RESUMEN del CURSO a través de un glosario de términos y conceptos aprendidos.


  1. Oscilaciones (vibraciones)

  2. Ondas y medio de propagación de perturbaciones

  3. Péndulo matemático y el físico

  4. Frecuencia de oscilaciones y periodo de una oscilación

  5. Fuerza restauradora como una razón suficiente y necesaria de oscilaciones de un sistema

  6. Amortiguamiento o fricción en un sistema oscilatorio, disminución de la amplitud de oscilaciones

  7. Fuerza externa como una fuente de recuperación de energía perdida por un sistema oscilatorio a causa de amortiguamiento

  8. Resonancia, el crecimiento de amplitud de oscilaciones de un sistema en respuesta de una fuerza externa armónica de frecuencia cercana a la frecuencia propia del sistema

  9. Interferencia constructiva y destructiva de ondas como una consecuencia de composición de oscilaciones del medio de la misma dirección y frecuencia

  10. Polarización de ondas, composición de oscilaciones perpendiculares entre sí y de la misma frecuencia

  11. Figuras de Lissajous, composición de oscilaciones perpendiculares entre sí y de frecuencias cuya razón es un número racional

  12. ....







Compartir con tus amigos:


La base de datos está protegida por derechos de autor ©composi.info 2017
enviar mensaje

    Página principal