La regla áurea y el número de oro



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LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO

Prof. Hugo Omar Pajello

hpajello@ing.unrc.edu.ar

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Río Cuarto




_____________________ INTRODUCCIÓN – DEFINICIONES ­­­­­­­­­­­­­­­­­____________________

Proporción

Es la igualdad entre dos razones.
Proporción de cuatro términos ó proporción discontinua:

Es de la forma:

Los términos a y d se llaman extremos y los términos b y c medios de la proporción.
Proporción de tres términos o proporción continua:

Es de la forma el término b se llama medio proporcional entre a y c.

Media y extrema razón de un segmento

Se dice que un punto C divide a un segmento en “media y extrema razón” cuando la parte mayor de esta división x es medio proporcional entre el segmento total a y la parte menor y






Esto también se llama “división áurea” del segmento o “divina proporción”.

La parte mayor, x, se llama “segmento áureo de a”.

Relación entre el segmento áureo “x” y su resto “y” (primera sorpresa!!)


Si x es el segmento áureo de a, resultará que:

restando 1 en ambos miembros

pero como a = x + y resulta: y = a – x

reemplazando en la expresión anterior:




invirtiendo estas razones obtenemos que (1)


entonces ¡¡“y”es segmento áureo de “x”… y este proceso será continuo !!


____________________DOS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ___________________



  1. Dado un segmento áureo ¿cómo encontrar el segmento total?


Con diámetro igual al segmento áureo AB se traza una circunferencia tangente al segmento áureo en un extremo del mismo.

La semirrecta trazada desde el otro extremo del segmento áureo y que pasa por el centro de la circunferencia, determina con ésta, el segmento total

Demostración:

Recordando que se llama “potencia de un punto con respecto a una circunferencia” al producto de los segmentos que se obtienen al trazar por ese punto una secante a la circunferencia.

Por ejemplo:

La potencia de A respecto a la circunferencia del ejemplo anterior, será:

La parte mayor entre y es que es igual a la medida del segmento áureo:



= .

Entonces: =

de donde obtenemos

Luego es el segmento total.





  1. Dado el segmento ¿cómo encontrar su segmento áureo?

En la construcción anterior, el segmento quedó dividido en dos, la parte menor y la parte mayor que es su segmento áureo.

Por la propiedad (1) la parte menor es el segmento áureo de la parte mayor que es igual a . En consecuencia, llevando la medida de sobre el segmento , obtenemos su segmento áureo.




___________________ EL NÚMERO DE ORO Ó NÚMERO ÁUREO ____________________
Si x es el segmento áureo de a, entonces, como a = x + y , resulta y = a – x .

Luego como:



a (a – x) = x2 x2 + ax -a2 = 0
= = =

como x > 0



de donde resulta que la razón entre la longitud de un segmento y la de su segmento áureo, llamada razón áurea es:




Esta constante es un número irracional cuadrático conocido como número áureo ó número de oro.

Entonces: =

racionalizando el denominador

. = = = = = (2)

Esta expresión es más conocida que la anterior, entonces:

si en la proporción anterior consideramos a = 1

la razón áurea será = (3)

y la citada proporción será:

además, como x + y = 1

resulta que x + x2 = 1


y utilizando (3) nos queda: (4)



_________________ OTRA FORMA DE GENERAR LA SECCIÓN ÁUREA _______________
Sea a la longitud de un segmento y x la de su segmento áureo, entonces resulta:
a = x + y y

En la expresión a = x + y si dividimos por x resulta:


=

luego reemplazando nos queda:



(5)
Por este mecanismo recursivo resulta:
.............
la razón áurea es una fracción continua.

Este desarrollo de la fracción continua converge, por lo indicado en (2), al número .



Por otro lado, como por (2):

la expresión (5) queda:

luego:

y el desarrollo de esta fracción continua convergente a será:



___________________ OTRA DIVISIÓN ÁUREA DE LA UNIDAD ____________________

Considerando el cuadrado ABCD de lado unitario, = 1


Como

Con este radio trazamos una semicircunferencia y calculamos la longitud del segmento que llamaremos x
= = x x =
racionalizando el numerador: x = =

Este segmento x representa la razón áurea encontrada en (3).


Siguiendo la construcción anterior y uniendo los puntos A con E y A con F:

Podemos considerar los triángulos: y .

Ellos son semejantes por ser rectángulos y tener ángulos agudos iguales, en consecuencia sus lados homólogos son proporcionales, de donde:


x ( x + 1 ) = 1 x2 + x – 1 = 0
considerando la relación (3) reemplazamos x por y la ecuación anterior resulta




nuevamente la relación (4).




____________________ OTRA CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA _____________________
En la figura anterior, con centro en D y radio = trazamos el arco y construimos los rectángulos ; y el cuadrado

Por ser


Área = 1 . =

Área = . = Área = 1 = Área

y por (4) + = 1
Pero: Área =

de donde: =

Entonces: =

pero: = 1 +



luego: (6)


que es equivalente a (5)
Por otro lado, como = 1 +

resulta por (6) =

el Área = 1 . =
Por eso este rectángulo se llama rectángulo áureo
Como: Área = 1 . = ; Área = . =

y Área = Área + Área + Área + Área


Reemplazando estas áreas por los valores obtenidos anteriormente tenemos
= 1 + + + = [por (6) y por (4) resulta] = 1 +

luego: (7)


que también se obtiene de (4).
multiplicando ambos miembros por obtenemos:




(8)


_____ ALGUNAS RELACIONES DONDE APARECE EL NÚMERO Ó LA RAZÓN ÁUREA ____

 El lado de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de radio unitario es:




 La diagonal de un pentágono regular inscripto en una circunferencia es medio proporcional entre el diámetro de la circunferencia y la altura del pentágono

 Rostro femenino matemáticamente hermoso

Llamando:

“a” a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la punta del mentón;

“b” a la distancia entre el mentón y la línea de unión de los párpados;

“c” a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la línea de unión de los párpados;
el rostro femenino matemáticamente hermoso es el que guarda la siguiente proporción:

______ ARBORESCENCIA – FRACTAL – NÚMERO ÁUREO Y SUCESIÓN DE FIBONACCI ____
Estos tres primeros temas se relacionan por medio de la sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa (Fibonacci) fue hijo de un rico comerciante de Pisa. Nació en 1175 y murió en 1240. Fue contemporáneo de San francisco de Asís)

DEFINICIONES:

Sucesión de Fibonacci:

La sucesión de Fibonacci es: {un} = 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ....., un , ...

donde a partir de los dos primeros términos, los restantes se forman sumando los dos anteriores, es decir:

un = un-1 + un-2

Cualquier sucesión formada de esta manera a partir de dos número dados, se dice que es una sucesión de Fibonacci.


Se dice que esta sucesión surgió como respuesta al problema de calcular el número de hijos que podría tener una pareja de conejos jóvenes al cabo de determinado número de meses considerando que:

a) Los conejos demoran un mes en llegar a la adultez y procrearse.

b) Todos los meses pueden procrearse.

c) suponiendo que en cada procreación nacen una pareja y no muere ninguno.

En estas condiciones tendríamos:

Mes 1 1 pareja de conejos jóvenes

Mes 2 1 pareja de conejos adultos

Mes 3 2 parejas de conejos. 1 los padres y 1 sus hijos.

Mes 4 3 parejas de conejos. 1 los padres, 1 de hijos adultos y 1 de hijos jóvenes.

Mes 5 5 parejas de conejos. 1 los padres, 2 de hijos adultos y 2 hijos y nietos jóvenes.


y así siguiendo se obtiene la sucesión de Fibonacci, la cual responde a un sistema de arborescencia pero además se construye recursivamente sumando los dos términos precedentes.

Por eso, toda sucesión que se construye con este mecanismo recursivo a partir de dos números cualesquiera se dice que es una sucesión de Fibonacci.


Sistema L: (Proviene de Arístides Lindenmayer)

Un Sistema L es un conjunto o sucesión de símbolos (pueden ser letras) operados por alguna regla de sustitución o de inferencia similar a los algoritmos utilizados para generar fractales.

Por ejemplo, con el conjunto { A , B } y la regla de sustitución

Se obtiene la siguiente sucesión de términos:



Iteración__Resultado'>Iteración

Resultado

1

A

2

B

3

AB

4

BAB

5

ABBAB

6

BABABBAB

7

ABBABBABABBAB

8

BABABBABABBABBABABBAB

.....

...........

.....

...........

Si se observa el número de símbolos que van apareciendo en cada iteración, se podrá constatar que estas cantidades coinciden con los números de la sucesión de Fibonacci, tal como se muestra en la siguiente tabla.




Iteración

Resultado

Nro símbolos

Nro Fibonacci

1

A

1

1

2

B

1

1

3

AB

2

2

4

BAB

3

3

5

ABBAB

5

5

6

BABABBAB

8

8

7

ABBABBABABBAB

13

13

8

BABABBABABBABBABABBAB

21

21

.....

...........

......

.....

.....

...........

.......

......

Los números de la sucesión de Fibonacci son iguales a la cantidad de caracteres de la arborescencia.

La sucesión de Fibonacci, tiene la particularidad de que, al tender n a infinito, la razón entre un término un y su antecesor un-1 tiende a



(9)

Demostración:

Si escribimos la sucesión de Fibonacci como: {un} = u1 , u2 , u3 , ......., un , .....

La sucesión de recurrencia de los cocientes será: {bn} = b1 , b2 , b3 , ...... , bn , ......

donde

Supongamos que existe este límite,

Entonces:

=

de donde

luego L2 - L - 1 = 0 de donde obtenemos la tesis:

También puede observarse que la razón de los números de Fibonacci tiende a realizando algunas iteraciones en el desarrollo de la fracción continua (5):

Iteración 0

Iteración 1 = 1 + = 2

Iteración 2 = 1 + = = 1,5

Iteración 3 = 1 + = = 1,666...

Iteración 4 = 1 + = = 1,6

Iteración 5 = ............................ = = 1,625


Según esto, para valores de n suficientemente grandes, la sucesión de Fibonacci pasa a comportarse como una progresión geométrica de razón .

Supongamos la progresión geométrica de razón r: { arn-1} = a1 , a2 , a3 , ......

Si a esta sucesión le imponemos la regla de formación de la sucesión de Fibonacci, es decir:

an = an-1 + an-2

el valor r deberá ser tal que: ar2 – ar – a = 0

o bien, dividiendo por a: r2 – r – 1 = 0




de donde resulta que (10)


Entonces ar2 = a2

Luego {arn-1} = {an-1} = a , a , a2 , a3 , a4 , ... , an-1 , ...

Considerando a = 1 tendremos la sucesión de las potencias naturales de

{n-1} = 1 , , 2 , 3 , 4 , ... , n-1 , ...


Esta sucesión también puede escribirse así:

invocando (7) 1 + = 2

multiplicando ambos miembros por , tenemos + 2 = 3

usando nuevamente (7) + 1 + = 3






(11)
Multiplicando (11) por obtenemos:

4 = 22 + =(por (7)) = 2(1 + ) + = 3 + 2


entonces:



reiterando el proceso, tendremos ;


Entonces {n-1} = 1 , , 2 , 3 , 4 , ... , n-1 , ...

es igual a {n-1} = 1 , , 1+ , 1+ 2 , 2+ 3 , 3 + 5 , 5 + 8 , ...
Observando esta última expresión de la sucesión, vemos que tanto los términos como los coeficientes de las potencias de son los números de Fibonacci

0 = 1 + 0

1 = 0 + 1

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

4 = 2 + 3

5 = 3 + 5

6 = 5 + 8

...................



__________________ RELACIÓN DE CON LA ARBORESCENCIA __________________
Las potencias naturales de resultan codificadas en un sistema L con el conjunto de símbolos {1 , } y los axiomas

n

n




0

1

1 + 0

1



0 + 1

2

1 +

1 + 1

3

+ 1 + = 1 + 2

1 + 2

4

+ 2( 1 + ) = 2 + 3

2 + 3

5

2 + 3( 1 + ) = 3 + 5

3 + 5

6

3 + 5( 1 + ) = 5 + 8

5 + 8

....

............................................

...........


______________________ PROPIEDADES Y CURIOSIDADES ______________________
1.- = 1,61803398874989484882......

2.- =


3.- 2 = (por (7)) = + 1 = 2,61803398874989484882......
4.- = (por (6)) = - 1 = 0,61803398874989484882.....

5.- = (por (4)) = 1 - = (por (6)) = 1 – ( - 1) = 2 -

6.- =
Demostración:

Recordando que una serie geométrica: = si r < 1

resulta = = - 1 = - 1 = - 1 =

= (por (6)) = - 1 = - 1 = (por (7)) =


7.- En toda sucesión de Fibonacci, la suma de los 10 primeros términos es igual a 11 veces el séptimo término.
8.- Los números consecutivos de una sucesión de Fibonacci son primos entre sí.
_____________ LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL NÚMERO DE ORO ______________
El problema de la cuadratura del circulo, consiste en encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área sea igual al área de un circulo de radio unitario.

En el estudio de la cuadratura del circulo se encuentran las siguientes relaciones entre y


=

ó también



=

________ LA RELACIÓN ENTRE LA SERIE DE FIBONACCI Y EL NÚMERO PI () ________
Profundizando estos temas y mediante razonamientos y relaciones parecidas se han encontrado relaciones entre la serie de Fibonacci y el número pi lo cual es para mi gusto, agradablemente sorprendente.

La Regla Áurea y el Número de Oro _________________________________________________________________





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