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Instituto tecnologico de villahermosa




MATERIA: SIMULACIÓN

UNIDAD 3

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

INTEGRANTES:


  • Ernesto Balcázar García

  • Griselda Paloma Zamora Maldonado

CATEDRATICO

M.C ZINATH JAVIER GERONIMO



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INDICE




INTRODUCCIÓN 4

3.1 INTRODUCCIÓN 5

3.2 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS UTILIZANDO PAQUETES COMPUTACIONALES COMO EXCEL, PROMODEL 6

3.2.1 Generación de variables aleatorias discretas 9

3.2.2 Generación de variables aleatorias continúas 11

BIBLIOGRAFIA 14




INTRODUCCIÓN


En esta investigación se habla sobre la generación de variables aleatorios que es un proceso que renta la simulación debido a que cuenta con variables con comportamiento probabilístico. Es donde dicha variabilidad se pudiera clasificar dentro de alguna distribución de probabilidad conocida.

Se abordarán los temas de variables aleatorias, discretas y variables aleatorias continuas. Para la generación de las variables aleatorias discretas o continuas, es necesario contar con la información específica de la distribución deseada, la aplicación de un método para la generación de la variable aleatoria, y la implementación computacional para usarse en la simulación de estas se explica detalladamente en el tema correspondiente.

Las distribuciones más utilizadas son: Bernoulli, uniforme, binomial, Poisson y geométrica. En cambio, las distribuciones continuas modelan la aleatoriedad en eventos reales. También se explica los métodos de coevolución, meto de composición, método de transformación inversa y procedimientos especiales.



3.1 INTRODUCCIÓN


Como se ha mencionado en las unidades precedentes, un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema.

Para ello resulta indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí.

En muchos experimentos a los resultados del experimento se pueden asignar valores numéricos. Por ejemplo, si tira un dado, cada resultado tiene un valor de 1 a 6. Si al determinar la puntuación en las pruebas de mitad de período de un estudiante en su clase, el resultado es nuevamente un número. Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado de un experimento. Estos números se denominan los valores de la variable aleatoria. A menudo se usan letras como X, Y y Z para denotar una variable aleatoria.

Variables aleatorias: discretas y continuas

Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas. Las variables aleatorias discretas que puede tomar un número ilimitado de valores (como el número de estrellas que se calcula que el universo) son variables aleatorias discretas infinitas.

Una variable aleatoria continua, por otra parte, puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo o en un intervalo, como la temperatura en el Parque Central, o la altura de un atleta en centímetros.

3.2 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS UTILIZANDO PAQUETES COMPUTACIONALES COMO EXCEL, PROMODEL


La variabilidad de eventos y actividades se representan a través de funciones de densidad para fenómenos continuos y mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.

Método de la trasformada inversa.

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios  ri ~U (0,1). 

El método consiste:


  • Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.

  • Calcular la función acumulada f(x).

  • Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)-1.

  • Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa

El método de la transformada inversa también puede  emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1).

Método de convolución

La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binominales.

Metodología:


  • Se generan números aleatorios (Y1, Y2, Y3…….Yn)

  • Con uno (o más dependiendo del método a utilizar) de los números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (X1,X2,X3,…..Xn)

  • Se obtiene un valor de la variable por suma lineal de las variables aleatorias componentes

Método de composición

El método de composición-conocido también como método mixto-permite generar variables aleatorias x cuando estas provienen de una función de densidad fx qué puede expresarse cómo la combinación convexa de distribuciones de probabilidad fi(x). Entonces, la combinación convexa se puede expresar como:



Donde:


Método de la transformación directa

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.

El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponenciales, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.

3.2.1 Generación de variables aleatorias discretas


Variable aleatoria discreta: una V.A. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.

Una variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

Distribución uniforme



Sea k>1k>1 un entero dado. Decimos que XX tiene una distribución uniforme en {1,...,k}{1,...,k} si tiene una función de probabilidad por:





Distribución Bernoulli

Sea XX la variable aleatoria que representa un lanzamiento de moneda, entonces P(X=1)=pP(X=1)=p y P(X=0)=1pP(X=0)=1−p para alguna p[0,1]p[0,1]. Decimos que XX tiene una distribución Bernoulli (XBernoulli(p)XBernoulli(p)), y su función de distribución es:





Distribución Binomial

Supongamos que tenemos una moneda que cae en sol con probabilidad pp, para alguna 0p10≤p≤1. Lanzamos la moneda nn veces y sea XX el número de soles. Suponemos que los lanzamientos son independientes, entonces la función de distribución es:



Distribución de Poisson

XX tienen una distribución Poisson con prámetro λλ si






La distribución Poisson se utiliza con frecuencia para modelar conteos de eventos raros, por ejemplo número de accidentes de tráfico.

La distribución Poisson es un caso límite de la distribución binomial cuando el número de casos es muy grande y la probabilidad de éxito es chica. Si X1Poisson (λ1) X1Poisson (λ1) y X2Poisson (λ2) X2Poisson (λ2) entonces X1+X2Poisson (λ1+λ2) X1+X2Poisson (λ1+λ2).

3.2.2 Generación de variables aleatorias continúas


Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real. En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades de resultados aislados. La probabilidad de valores puntuales es cero. El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo.

Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad. Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera.



Familias continuas importantes

Distribución Uniforme

XX tiene una distribución Uniforme(a,b)Uniforme(a,b) si:



Donde a<ba. La función de distribución es:





Distribución Normal

XX tiene una distribución normal con parámetros μμ y σσ, denotado XN(μ,σ2)XN(μ,σ2) si:



Donde μ∈Rμ∈R y σ>0σ>0.

Decimos que XX tiene una distribución Normal estándar si μ=0μ=0 y σ=1σ=1. Una variable aleatoria Normal estándar se denota tradicionalmente por ZZ, su función de densidad de probabilidad por ϕ(z)ϕ(z) y la función de probabilidad acumulada por Φ(z)Φ(z)

CONCLUSIÓN

En el presente trabajo de investigación se analizó que las variables aleatorias son presentadas por medio de distribuciones de probabilidad, el procedimiento es para la generación de los números con variables aleatorios a partir de las distribuciones de la probabilidad que se conoce como la generación de variables aleatorias.



El principio del muestreo es basado en la interpretación de frecuencias de la probabilidad y requiere un flujo permanente de los números aleatorios. Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorios y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones. La facilidad de aplicación de dichos métodos, asi como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen.

BIBLIOGRAFIA


  • https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_transformada_inversa

  • http://alexrosete.orgfree.com/materiales_2004/06-Simulacion/Manual_Asignatura-Simulacion_b.pdf

  • https://es.slideshare.net/Crekis3/unidad-iii-generacion-de-numeros-aleatorios-simulacin

  • http://simulacionunilibre.blogspot.mx/2011/04/generacion-de-variables-aleatorias.html





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