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Instituto Nacional de Astrofísica Optica y Electrónica


Coordinación de Ciencias Computacionales

NOTAS PARA EL CURSO DE

SISTEMAS DIFUSOS (FUZZY SYSTEMS): FUNDAMENTOS Y APLICACIONES

POR
CARLOS ALBERTO REYES GARCÍA Ph.D.


INVESTIGADOR

Tonantzintla, Puebla, México


Enero 2015

CONTENIDO:

1. Una Lección Para Ser Aprendida
2. Breve Repaso Histórico de Los Conjuntos Difusos
3. Desde Atenas con Lógica.
4. Conjuntos Difusos.
5. La Geometría de los Conjuntos Difusos (Conjuntos como Puntos).
6. El Pensamiento Difuso de Bart Kosko.
7. Los Números También Son Difusos.
8. Entropia Difusa.
9. Paradojas del Punto Medio.
10. Contando con Conjuntos Difusos.
11. El Teorema de Entropia Difusa.
12. El Teorema de Subconjuntos
13. Relaciones Matemáticas.
14. Productos Relaciónales.
15. Funciones: Un Caso Particular de Relación.
16. Modelos Difusos: Funciones de Membresia.
17. Variables Lingüísticas.

18. Sistemas Difusos.


19. Un Sistema de Control.
20. Construcción de un Sistema Difuso.
21. Memorias Asociativas Difusas (FAMs).
22. Mapas Cognoscitivos Difusos (FCMs).

1.- UNA LECCIÓN PARA SER APRENDIDA:

El profesor Lotfi Zadeh (Zah-da) viajaba en el reluciente nuevo metro de Sendai, Japón. Pocos pasajeros se preocupaban de agarrarse de las barras, incluso cuando el metro arrancaba o se detenía.
El tren paraba con absoluta precisión y ahorraba un 10% de combustible.
Zadeh no era experto en metros, era profesor de la Universidad de California en Berkeley, pero conocía bien el secreto que controlaba el tren.
Se controlaba con la lógica difusa que el había inventado en 1965.
En 1991 el metro de Sendal había estado corriendo por 4 años, y era entonces el sistema más avanzado del mundo.

Ese mismo año, en los Ángeles se construía un metro y necesitaba un sistema de control, pero nunca se consideró la lógica difusa como alternativa.


El gerente de ingeniería para el control automático del tren dijo:

" He oído hablar muy vagamente de la lógica difusa, pero no estoy muy familiarizado con ella ".


Añadió que ninguna de las propuestas para el diseño del control del metro usaba lógica difusa.

"No lo hemos requerido y ninguno de los proponentes a decidido hacerlo".


Esto se debe a que la lógica difusa ha sido despreciada en los EUA.
Desde 1973 Zadeh había mostrado como la lógica difusa podía hacer maquinas más inteligentes, y por 1979 una firma Danesa la usaba en un complejo proceso industrial ahorrándole decenas de miles dólares.
La técnica existía más o menos completa. Los japoneses observaron el éxito y la comenzaron a usar, pero paradójicamente, ninguna compañía estadounidense hizo lo mismo [5].
2.- BREVE REPASO HISTÓRICO DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS:
La teoría de conjuntos fue desarrollada por el matemático Alemán Georg Cantor (1845-1918) a finales del siglo XIX. Los conjuntos permitieron a Cantor mostrar que el infinito más cualquier segmento de él es también infinito. La parte es igual al todo [5].

Cantor definió a los conjuntos como una colección de objetos definidos y distinguibles por nuestra intuición o intelecto. Así mismo probó la manera en que los conjuntos interactúan estableciendo cuatro operaciones básicas.


COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto es su opuesto.
Conjunto A: Dias que son festivos.

Complemento de A: Dias que no son festivos.



CONTENIMIENTO: Un conjunto puede contener otro conjunto.

Al conjunto más pequeño es llamado Subconjunto.


Conjunto A: Dias que son Festivos

Subconjunto A': Dias festivos religiosos


INTERSECCIÓN: Incluye solo los miembros de dos conjuntos que se cruzan.
Conjunto A: Todos los trabajadores

Conjunto B: Todos los estudiantes.


Intersección de A y B: Todos los trabajadores que tambien estudian.

UNIÓN: La Unión combina conjuntos.


Conjunto A: Todos los trabajadores

Conjunto B: Todos los estudiantes.


Union de A y B: Todos los trabajadores o estudiantes.

El primer pensador que consideró seriamente la vaguedad fue Charles Sanders Pierce (1839-1914). El avanzó la lógica Booleana, y fue el primero que la aplicó a los circuitos eléctricos.
En 1923 Bertrand Russell (1872-1970), publico un articulo corto en el cual el decía que la vaguedad y la precisión eran características del lenguaje, no de la realidad. El dijo que la vaguedad es una cuestión de grados. (Un mapa a escala pequeña es más vago que uno grande).


Albert Einstein dijo, “En cuanto las leyes matemáticas se refieren a la realidad, ellas no son ciertas, y en cuanto a que ellas son ciertas, ellas no se refieren a la realidad”.

En la década de los 30s, el filosofo A. Cornelius benjamín había observado que los conceptos simples son mas aptos para ser duros y los complejos a ser vagos. Por ejemplo, las palabras en la izquierda hacen referencia a nociones mas complicadas que las de la derecha.


Ovalado

Linea recta

Enamorado

Casado

Amigo

Hermano

Masculino

Varon

Jan Lukasiewicz (woo-ka-sheh-vitch, 1878- 1955) dio el primer paso hacia un modelo formal de vaguedad. El inventó la subestructura de conjuntos difusos. “La lógica cambia desde sus fundamentos si asumimos que en adición a la verdad o falsedad hay también algún tercer valor lógico o varios valores similares”. Esto condujo al absurdo aparente de los opuestos igualando a ellos mismos.


ESTATUTO NEGACIÓN

0 1


½ ½ A= -A

1 0



En 1965 Zadeh publico su primer articulo llamado " FUZZY SETS ", donde establece los fundamentos de la teoria de los Conjuntos Difusos. De acuerdo a Zadeh, la membresia de un elemento a un conjunto difuso es gradual. Los grados de membresia son valores en el intervalo [0, 1]. Es por esto que, la llave maestra de los conjuntos difusos son los valores de MEMBRESIA. Ademas, establece que los conjuntos difusos incluyen los conjuntos duros [5], ya que un Conjunto Duro (Crisp) es un conjunto difuso con valores de 1 y 0.
Un ejemplo clásico es el de tratar de clasificar individuos en el conjunto de personas Altas, considerando la altura de cada persona. En los conjuntos tipicos o duros, un elemento pertenece o no pertenece al conjunto, por lo que para la clasificacion anterior, es necesario establecer un limite inferior desde el cual se pueda clasificar a las personas como pertenecientes o no al conjunto de personas altas (ej. 1.75 mts.). Mientras que en el conjunto difuso la membresia es gradual, por lo que en la tabla siguiente se muestra una comparación de ambos enfoques.


Persona



Juan


José

Pedro


Luis

Beto

Altura
(2.05m) es alto

(1.96m) es alto

(1.80m) es alto

(1.74m) es alto

(1.70m) es alto


Valores

Duros
1

1

1

0



0

Difusos
1.00

1.00

0.85


0.70

0.40



Las operaciones difusas son:
VACUIDAD: Un conjunto difuso esta vacío si todos los candidatos tienen MEMBRESIA 0 (EMPTYNESS).
Por ejemplo: El Conjunto de océanos cuyo nombre comienza con X.
COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la membresia necesita para alcanzar 1.
CONTENIMIENTO: En conjuntos difusos cada elemento debe pertenecer menos al subconjunto que al conjunto mas grande.





JUAN

JOSÉ

PEDRO

LUIS

BETO

MUY ALTO


1

0.95

0.8

0.4

0.01

ALTOS


1

1

0.85

0.7

0.4



INTERSECCIÓN: En conjuntos difusos es el grado de membresia que dos conjuntos comparten . Una intersección difusa es el valor menor de la membresia de cada elemento en ambos conjuntos.





JUAN

JOSÉ

PEDRO

LUIS

BETO

ALTOS


1

1

0.9

0.4

0.2

GORDOS


0.2

0.5

0.1

0.8

0.6

INTER


0.2

0.5

0.1

0.4

0.2


UNIÓN: La unión de conjuntos difusos es lo inverso de la intersección. Este es el valor más alto de los dos valores difusos.






JUAN

JOSÉ

PEDRO

LUIS

BETO

ALTOS


1

1

0.9

0.4

0.2

GORDOS


0.2

0.5

0.1

0.8

0.6

UNIÓN


1

1

0.9

0.8

0.6


¿POR QUÉ DIFUSOS?
Zadeh dice que el termino era:

Concreto

Inmediato

Descriptivo
El sabía que el termino mismo crearía controversia. Y de hecho el termino causoexactamente ese efecto en muchos y aun lo hace.

¿POR QUÉ LÓGICA?
Tal como la lógica binaria se apoya en los conjuntos duros la difusión se apoya en conjuntos difusos, y la lógica difusa como lógica es realmente una parte pequeña del área.
Lógica difusa no es lógica que es difusa, sino lógica que describe y cuela la difusión. La mayoría de la teoría no es lógica de ninguna manera, es una teoría de conjuntos difusos, conjuntos que calibran vaguedad.
3.- DESDE ATENAS CON LÓGICA:
Aristóteles (384-322 A.C.) comenzó la búsqueda para formalizar la lógica, estableciendo los axiomas;
a).- La Ley de No Contradicción: " A no puede ser ambos al mismo tiempo B y no-B. ".
b).- La ley de la Media Excluida (Ley de Bivalencia): " A debe ser ya sea B o no-B.
4.- CONJUNTOS DIFUSOS:
Definición: Un conjunto difuso A se define como una Función de Membresia que mapea los elementos de un dominio o Universo de discurso X con elementos del intervalo [0,1]:

  • A: X [0,1]

Cuanto más cerca esté A(x) del valor 1, mayor será la membresia del objeto x al conjunto A.



  • Los valores de membresia varían entre 0 (no pertenece en absoluto) y 1 (membresia total).

Representación: Un conjunto difuso A puede representarse como un conjunto de pares de valores: Cada elemento xX con su grado de membresia a A. También puede ponerse como una “suma” de pares:

A = { A(x)/x, xX}

A = Σi A(xi)/xi (Los pares en los que A(xi)=0, no se incluyen)


Ejemplo: Conj. de alturas del concepto difuso “Alto” en Personas:


  • A = 0.25/1.75 + 0.5/1.8 + 0.75/1.85 + 1/1.9

Este tipo de representacion se denomina Singleton
Si el Universo es Continuo: A = x A(x)/x
• La suma y la integral no deben considerarse como operaciones algebráicas. La fraccion denota pares ordenados y la suma la funcion union.
CARACTERISTICAS DE UN CONJUNTO DIFUSO:
Altura de un Conjunto Difuso (height): El valor más grande de su función de membresia: supxX A(x).
Conjunto Difuso Normalizado (normal): Si existe algún elemento xX, tal que pertenece al conjunto difuso totalmente, es decir, con grado 1. O también, que: Altura(A) = 1.


Soporte de un Conjunto Difuso (support): Elementos de X que pertenecen a A con grado mayor a 0: supp(A) = {xX | A(x) > 0}.
Núcleo de un Conjunto Difuso (core): Elementos de X que pertenecen al conjunto con grado 1: Nucleo(A) = {xX | A(x) = 1}.

Lógicamente, Nucleo(A) supp(A).


α-Corte (α-Cut): Valores de X con grado mínimo α: Aα = {xX | A(x) ≥α}.
DISTINCIÓN ENTRE CONJUNTOS CLASICOS Y DIFUSOS:

CLÁSICOS FUZZY

__ __







P(P(0)=0

Difusión describe Ambigüedad de Eventos. Mide el grado el cual un evento ocurre , no si ocurrirá. El azar describe la incertidumbre de la ocurrencia del evento. La difusión es un tipo de incertidumbre Deterministica. Ambigüedad es una propiedad de los fenómenos físicos [2].
COMPLEJIDAD EN EL MUNDO REAL:
Los fenómenos del mundo real son muy complejos. La complejidad al tratar de estudiarlos y explicarlos en toda su extensión, se presenta en la forma de incertidumbre y ambigüedad. El ser humano ha tenido que desarrollarse en medio de este tipo de fenómenos durante todo el transcurso de su historia, aún así, las computadoras diseñadas por él no son capaces de manejar la complejidad y ambigüedad. Esto ha podido ser explicado por la capacidad que tiene el ser humano para razonar aproximadamente, y las computadoras aún no la tienen. Cuando razonamos acerca de un sistema complejo, explicamos su comportamiento aproximadamente, y mantenemos un entendimiento general acerca del problema [10]. Esta generalización, con todo y ambigüedad, es suficiente para que comprendamos los sistemas complejos. La complejidad de un sistema decrece conforme aprendemos mas acerca de el, incrementando al mismo tiempo nuestro entendimiento del mismo. Al decrecer la complejidad se obtiene mayor precisión en el modelado del sistema. Es así como podemos relacionar el grado de complejidad de un sistema con la precisión de los modelos del sistema (ver figura).




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