Institución educativa la paz



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INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA PAZ

GRUPO: 9 __

MATEMÁTICAS

FECHA:

GUÍA DIDÁCTICA PARA RESOLVER EN AUSENCIA DEL DOCENTE

DOCENTE: MARTA AYALA

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:

  • Lectura de los temas aquí planteados y elaboración de un resumen en el cuaderno.

  • Desarrollo de los ejercicios en el cuaderno.

  • *La actividad puede realizarse individual o por parejas y será evaluada por el docente a su regreso.


PRESENTACION

Diariamente nos enfrentamos a problemas de matemáticas expresados con números, operaciones y relaciones y además queremos no solo interpretarlo sino darle una solución correcta, tenemos ante todo, que conocer la estructura del sistema numérico correspondiente, para evitar los errores en la aplicación de propiedades, los que finalmente nos conduce al razonamiento sofístico. Muchos problemas en la práctica profesional (ingeniería, arquitectura, topografía etc) pueden ser formulados y resueltos en términos algebraicos, cuya simbolización corresponde a los números reales que se utilizan desde lo teórico y se operan no solo mental, sino verbal y simbólicamente.

A través de estas actividades repasaremos el conocimiento de los operadores reales analizaremos la composición de los operadores, algunas de sus propiedades más importantes así como su aplicación en el planteamiento y solución de problemas que simbólicamente interpretan la relación entre los datos y la incógnita o las incógnitas.


TEMA: NÚMEROS REALES



SUBTEMA 1: NÚMEROS NATURALES

Algo de Historia…

Después de tener un sistema numérico determinado, el ser humano lo uso para realizar cuentas y contabilizar pérdidas y ganancias de sus actividades económicas diarias. Para ello no hubo mejor herramienta que los números naturales pues con ellos podía representar de una forma muy cómoda las cantidades. A lo largo de toda la historia los números han tenido diferentes formas, significado y representación. Por ejemplo:

En Egipto mediante jeroglíficos.

En Grecia, las letras de su alfabeto representaban números además clasificaron algunos números según sus propiedades.

En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C= 100; D=500; M= 1000.

Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos.

En los papiros egipcios, como el de Rhind, aparecen ejemplos del uso de las potencias y de extracciones correctas de las raíces cuadradas.

En las tablillas mesopotámicas existen tablas de cuadrados, de raíces cuadradas, de cubos y de raíces cúbicas de números naturales. Thales, Pitágoras, Diafanto, Fermantmatemático del siglo XVII creador de la moderna teoría de números. y Gauss permitieron el desarrollo de las matemáticas con importantes aportes, precisamente haciendo uso de los números naturales. Los más importantes son los números triangulares y los cuadrados, aunque también distinguieron entre números perfectos (Cuando es igual a la suma de sus divisores sin incluir el propio número), abundante (si es mayor que la suma de sus divisores), defectuoso (si es menor que la suma de sus divisores), amigos (cuando cada uno coincide con la suma de los divisores del otro), primos y compuestos estudiados por Eratóstenes de Cirene (276 - 194 a.C.), ideó un método para encontrar los números primos llamado Criba de Eratóstene.

Gracias a los aportes de las personas dedicadas a las matemáticas a través de los tiempos, las operaciones matemáticas han evolucionado y hoy hacen parte de nuestro diario vivir y seguramente continuaran siéndolo. La necesidad de perpetuar el conocimiento adquirido, en particular en lo concerniente a este sistema de números, obligó a utilizar ciertas grafías para representar, tanto a sus elementos, como a las operaciones relacionadas mostrando cada vez una evolución.

El sistema numérico actual (llamado arábigo) no fue inventado por los árabes, sino por los hindúes, ellos recogieron este gran conocimiento y lo introdujeron en Europa, al cero lo llamaron céfer, que en el idioma árabe significa vacío, es un sistema posicional eso quiere decir que el valor de cada número depende de la posición que ocupa.

El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualesquiera uno de ellos es menor que otro, se representación la letra N, y sus elementos por los signos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9..., positivos, estos además se utilizan para establecer relación de orden entre dos números, sirven para contar los elementos de un conjunto es decir su cardinal, se pueden realizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, además de operaciones combinadas; su notación es: N = {0,1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}

“El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.



1. A partir de la lectura conteste:

  1. ¿Cómo se denomina el sistema Numérico actual y por qué recibe su nombre?

  2. ¿Cómo llamaron los árabes al cero?

  3. Escriba la definición de Numero Natural, su representación y las operaciones que se realizan con ellos.

  4. Defina y enuncie un ejemplo de los siguientes Números: Número Perfecto, Número abundante, Número amigo, Número defectuoso, Primo y Compuesto.

TEANO: "La Escuela Pitagórica estaba formada por los seguidores de Pitágoras (572 - 497 a. C.). En la influyente escuela pitagórica las Matemáticas se estudiaban con pasión. Se afirmaba "todo es número" ya que se creía que en la naturaleza todo podía explicarse mediante los números. Daban mucha importancia a la educación tanto de hombres como de mujeres, que no se limitaba a las artes útiles, sino que también se ocupaba del lenguaje y del rigor del razonamiento.

Consideraban importante que una mujer fuera inteligente y culta.Teano, natural de Crotona (Grecia, s.VI a. C.) se casó con Pitágoras cuando éste ya era viejo. Fue su discípula y más tarde enseñó en la Escuela Pitagórica.

Según los historiadores Teano escribió mucho. Se le atribuye haber escrito tratados de Matemáticas, Física y Medicina, y también sobre la proporción áurea. Se conservan fragmentos de cartas. La mayor parte de los textos que nos han llegado de mujeres de esta época, quizás por ser los que resultaban más interesantes a los religiosos que los han conservado, hablan de problemas morales o prácticos.”

Cuenta una leyenda que un discípulo joven de Pitágoras quien había ingresado recientemente a la escuela vio a Teano un día y quedó enamorado de ella inmediatamente. Se acercó a Pitágoras para preguntarle la edad de la mujer que lo había cautivado.

Pitágoras respondió: -Teano es perfecta y su edad es un número perfecto.-El joven estudiante confundido preguntó: -Maestro, ¿no podría usted darme más información? -Tienes razón -contestó Pitágoras- te hacen falta más datos. La edad de Teano, además de ser un número perfecto, es el número de sus extremidades multiplicado por el número de sus admiradores que cabe señalar, es un número primo.

El joven confundido se alejó. Nunca nadie supo si logró resolver o no el problema, lo que sí se supo es que nunca fue correspondido por Teano pues ella estaba profundamente enamorada de Pitágoras.



2. Te invitamos a que, aunque tú no estés enamorado de Teano, intentes resolver el problema. Recuerda:

  • Un número primo es aquel cuyos únicos divisores son 1 y él mismo.

  • Un número se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios

3. Ejercicios de Aplicación:

a. Daniela y Gabriel se encuentran el domingo 15 de Octubre a jugar Futbol. Daniela practica deporte cada tres días, Gabriel cada dos días. ¿Cuántas veces durante el mes de octubre se encuentran nuevamente? ¿Cuáles días?

b. El producto de dos números es 3.675 y uno de ellos es el triple del otro. ¿Cuáles son los números?

c. Un camión que transporta mercancía realiza en el mes 15 viajes. Cada tres viajes entrega una caja menos. Si entrega en total 420 cajas ¿Cuántas entrega en cada uno de los 15 viajes?

d. Un edificio tiene cinco pisos con un total de 54 oficinas. En el piso más alto hay cuatro oficinas menos que en el cuarto piso y en este hay dos oficinas menos que en tercero; el tercero y el segundo tienen el mismo número de oficinas y el primero tiene dos más que el segundo. ¡Cuántas oficinas hay en cada piso? ¡Cual es la diferencia en oficinas entre el primero y el quinto piso? ¡si la altura total del edificio es de 13 metros ¡cual es la altura de cada piso?

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES





4. Consigne la anterior tabla en su cuaderno y tenga en cuenta esta información para la solución de operaciones y problemas.

5. Realice la representación numérica de cada una de las siguientes situaciones y diga que propiedad de los números naturales cumple, explicando por qué:


  • Voy a la tienda y compro, una libra de arroz en $1200, una panela en $550 y una caja de fósforos en

  • $200. Es decir debo pagar 1200+550+200 y el tendero al hacer sus cuentas realiza la siguiente operación 550+200+1200.

  • Tengo 25 canicas y al jugarlas, no pierdo ni gano ninguna.

  • Realizamos una sociedad con dos amigos más (Pedro $200.000 y José $50.000). Entre ellos aportan$250.000, y yo aporto $ 200.000, es decir que entre José y yo aportamos $250.000.

SUBTEMA 2: NÚMEROS ENTEROS

Historias Matemáticas…

Los números negativos han tenido un proceso de siglos tanto para su creación como para su aceptación como elementos matemáticos válidos. Los griegos quienes conocían y manejaban los números naturales y fracciones, desconocían casi por completo a los enteros.

Es en China (7000 a.C. – 1300 d.C.) Donde por primera vez en la historia se hace uso de los coeficientes negativos y se formulan reglas para opera con estos números pero las soluciones a estos planteamientos los buscaron en los números positivos. Hacia el año 800 d.C. se empieza en India a operar con el cero y con números negativos. Dos siglos más tarde, los filósofos y matemáticos griegos Thales de Mileto y Pitágoras de Samos (624 – 500 a.C.) elaboran los principios de una teoría científica de los números, para ellos los números enteros se diferencian en pares e impares.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Michel Stifel, popularizó los signos + y -, y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m. En el sistema de los números naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del terreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, que no es posible representarlas con tales números. Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sean posibles. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y que se simboliza por la letra Z. En general los números enteros es la unión de los números enteros positivos y los números enteros negativos:

Z = {…,-11, -10,-9…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,9, 10, 11,…}

Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros casi no se pueden dividir y que su resultado de un entero. Por eso nace la siguiente estructura numérica.

OPERACIONES CON LOS NUMEROS ENTEROS





1. A partir de la lectura conteste:


  1. Cuál es la utilidad que tiene los números enteros para la vida cotidiana

  2. Explique brevemente a través de una línea de tiempo los orígenes de estos números.

  3. Escriba la definición de Numero Entero, su representación y las operaciones que se realizan con ellos.

2. Consigne la tabla anterior en su cuaderno y de acuerdo a esta solucione los puntos No 3 y 4

3. Ejercicios de Aplicación:

  1. Aristóteles, uno de los filósofos más influyentes de todos los tiempos, vivió entre los años 106 y

  2. 43 a.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso?

  3. En las vidas de Cicerón y Séneca encontramos numerosos rasgos comunes. Los dos eran ciudadanos de Roma, cultos, buenos oradores y metidos en política, lo que a ambos les costó la vida. Sin embargo, vivieron en distinta época:

    1. Cicerón nació en el año 106 a.C. y vivió 63 años.

    2. Séneca nació 47 años después de la muerte de Cicerón y vivió 61 años. ¿En qué año murió Séneca?

  4. Un submarino se encuentra a 450 m de profundidad. Desciende 320m y luego sube 408 m. ¿A qué profundidad se encuentra?

  5. Ricardo le dice a Isabel que el multiplicó dos números enteros usando una calculadora y la respuesta fue 450 pero olvido cuales eran los números, el recuerda dos cosas acerca de ellos: La primera es que ambos números tiene dos dígitos y la segunda es que ambos números son menores que 50 ¿Cuáles son los números que multiplico Ricardo. ¿Existen otras posibilidades de multiplicar dos enteros y obtener 450? ¿Cuáles?

4. Calcula e identifique que propiedades cumplen:

  • (-5)x[(-5) + (+2) - (4 + 6 - 1)]

  • (-3)x(+2) - [(-5) + (-7) - (-1)]x (-3)

  • 3 x [(+4) + ( -6)] - (- 2) x [8 - (+4)]

  • 6 + (3 - 5 + 4) x 2 – 3 x (6 - 9 + 8)

  • 10 -9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1

SUBTEMA 3: NÚMEROS RACIONALES

Historias Matemáticas…

Los números naturales inicialmente eran un recurso muy útil ya que permitían satisfacer la necesidad práctica de contar objetos. El hecho de fraccionar la unidad en partes iguales dio origen, quizá la concepto de fracción y aún más allá de racional. Se han encontrado evidencias de que distintas civilizaciones usaron los racionales, sin embargo se considera que fueron los egipcios los primeros que usaron las fracciones específicamente las que son de la forma 1/n y las que se generan por combinaciones de ellas. Los babilónicos desarrollaron un sistema de notación fraccionaria que permitió establecer aproximaciones decimales bastante exactas, por ejemplo de raíces cuadradas. En la antigua China lo más notorio es que en la división de fracciones se usó la reducción de estas a un común denominador. Los griegos, interesados ampliamente en la geometría hicieron conclusiones en las que se mezclaban arte y números.

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792. Al estudiar la operación de multiplicar en los números enteros, se observa que la operación inversa, la división, no es siempre posible. Por ejemplo, 4 : 5 carece de sentido en los enteros.

Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema de los números enteros, a un nuevo sistema en el que tengan sentido tales operaciones. Este nuevo sistema recibió el nombre de sistema de los números racionales, y que se simboliza con la letra Q. En general los números racionales son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

OPERACIONES CON LOS NUMEROS RACIONALES



1. A partir de la lectura conteste:


  1. Escriba la definición de Número Racional, su representación y las operaciones que se realizan con ellos.

  2. Consigne la siguiente tabla en su cuaderno y tenga en cuenta esta información para la solución de operaciones y problemas.

2. Ejercicios de Aplicación:

Complete la tabla e identifique la propiedad que se aplica:



a

b

C

a+b

b+a

a+0

b+(-b)

(a+b)+c

a+(b+c)

1/2

-2/3

5/6



















3/4

1/8

-7/2



















-2/9

2

-1/3



















Transforme a decimal

Resuelva:



  • Un alumno tiene ocho (8) notas durante un semestre, el solo se acuerda de 7 de ellas, pero sabe que su promedio fue 4,7; podrías averiguar cuál es la nota que le falta, si las que recuerda son: 2,1; 6,9 ; 5,7 ; 6,3 ; 2,9 ; 3,6 y 4,8.

  • Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

SUBTEMA 4: NÚMERO IRRACIONALES I

La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. El estudio de los números irracionales comenzó con la aparición de los primeros ejemplos de estos números "raros", seis siglos antes de Cristo, Así en el siglo VII a.C., los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollaran independientemente. Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

Cerca de 2000 años más tarde, se hace más clara la idea de lo que estos números representan, con el trabajo del matemático francés Nicolás Chuquet, (S. XV) y más adelante en el siglo XIX con el desarrollo de las teorías de Dedekind y G. Cantor sobre los irracionales.Lo primero que se puede decir acerca de un número irracional es que no se puede expresar como una fracción. Esta es la característica que lo define como irracional. Como todo número racional tiene una expresión decimal que contiene, o bien un número finito de cifras decimales, o bien un número infinito de cifras formadas por la repetición periódica de un número finito de cifras, se puede concluir que un número irracional tiene, en su expresión decimal, una cantidad infinita de cifras no periódicas. En otras palabras, todo número irracional tiene la característica siguiente: “Su expresión decimal no puede escribirse completa jamás, porque jamás se terminaría de escribir una cantidad infinita de cifras decimales”. Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas por su misma naturaleza.



1. ¿Qué piensa de la historia anterior? ¿Por qué se dio la situación anterior?

2. Son importantes los números irracionales para nuestra cotidianidad?

3. Consigne la anterior tabla en su cuaderno y tenga en cuenta esta información para la solución de operaciones y problemas.

4. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales:


  • √11

  • 3 + π

  • 2,053245648

  • 54,1211221122

5. Resuelva las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción:

  • 2√2 + (-5√2) – (+10√2)

  • 2π + (-2π)

  • 6e – 2e

  • 6e – 6e + (-3e) – (-2e) + (-e)

SUBTEMA 5: DEFINICIÓN NÚMEROS REALES

NUMERO: Es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

NUMEROS REALES: El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales. Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero). Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

EVALUACIÓN

Dos enteros positivos, ambos mayores que 1, se dicen primos relativos o primos entre sí, si el máximo común divisor entre ellos es 1. Una pareja de enteros positivos, que no son primos entre sí es:



  1. 20 y 21

  2. 187 y 202

  3. 132 y 143

  4. 24 y 35

El doble de la edad de A excede en 50 a la edad de B y 1/4 de la edad de B es 35 años menos que la edad de A. Las edades de A y B respectivamente son:

  1. 45 y 40

  2. 32 y 39

  3. 12 y 14

  4. 23 y 34

3. El número real (2 - π)/2 está en el intervalo

  1. (-1,0) y es un número irracional

  2. (-1,0) y es un número racional

  3. (-4,-3) y es un número irracional

  4. (-4,-3) y es un número racional.

4. A una función del Teatro Infantil entraron 270 personas. Por cada dos niños entró un adulto a la función. Cada adulto pagó $6.000 y los niños entraron gratis. ¿Cuánto dinero se recaudó en la función?

  1. $540.000

  2. $810.000

  3. $1.080.000

  4. $1.620.000

5. Considere las siguientes proposiciones relacionadas con soluciones de ecuaciones:

(1) La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

(2) La ecuación tiene exactamente dos soluciones reales.

De las proposiciones es correcto afirmar que:



  1. (1) es verdadera, (2) es falsa

  2. (1) y (2) son falsas

  3. (1) y (2) son verdaderas

  4. (2) es verdadera y (1) es falsa.

6. La profesora de quinto de primaria les pidió a sus alumnos determinar el precio de una caja de 6 huevos, sabiendo que cada uno vale $250. Cuatro estudiantes propusieron los siguientes procedimientos para encontrar la solución:

  • Juan: 6 X 250.

  • Liliana: 6 X 25.

  • Carlos: 250 + 6.

  • Milena: 250 + 250 + 250 + 250 + 250 + 250.

¿Quiénes plantearon procedimientos correctos?

  1. Juan y Milena.

  2. Liliana y Juan.

  3. Juan y Carlos.

  4. Milena y Liliana.

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

Se llama sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas a 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas cada una. Resolverlo es hallar todas sus soluciones. Se indica que dos ecuaciones forman un sistema, abarcándolas con una llave.

Por ejemplo: La solución de este sistema es x=3, y=4

En este caso el sistema admite una solución única, se dice que el sistema es determinado o compatible determinado (rectas concurrentes).

Si el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones se dice que es compatible indeterminado (rectas coincidentes). Si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible (rectas paralelas)

EJERCICIOS


  • Resuelve por el método de sustitución o igualación:



TEMA 3: ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se llama ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, en la incógnita x, a la siguiente expresión: ax + bx + c = con a, b, c ∈ ℜ , llamados coeficientes de la ecuación.

Pueden ser completas o incompletas, la anterior es completa, las incompletas se producen cuando b = 0 o cuando c = 0

Resolver una ecuación es hallar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad; esto equivale a hallar las raíces o ceros del polinomio P(x)= ax2+bx+c



Las raíces de una ecuación cuadrática pueden obtenerse mediante la siguiente fórmula:



EJERCICIO

  • Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

TEMA 4: INECUACIONES

  • Resuelve las siguientes inecuaciones expresa el resultado en forma gráfica y como intervalo





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