Funciones



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FUNCIONES LIMITES Y CONTINUIDAD

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.



El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom(f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).





Ejemplo: cálculo del dominio de una función

1) Hallar el campo de existencia de la función f definida por









-3, 0, 3 y 5. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0?

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.



Ejercicio: representación gráfica de funciones

Representar gráficamente la función definida por





OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por





Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función



Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.



Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por





Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por



(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)



Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por





COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las



funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».





Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).



Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:



1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

1.- Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

2.- Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:



a) (g o f ) (x)

b) (f o g ) (x)

c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)

d ) El original de 49 para la función g o f.

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Funciones pares

Una función f es par cuando cumple f(x) = f(-x).

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.



Funciones impares

Una función f es impar si cumple f(x) = -f(x).

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1...).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.



Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares

1.- Indicar cuáles de estas funciones son pares:



2.- ¿Cuáles de estas funciones son impares?:





Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

_ Despejar la variable independiente x.

_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante.

Ejercicio: cálculo de la función inversa de una dada

1.- Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.



las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

3.- Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Idea intuitiva de límite de una función en un punto





Idea intuitiva de límite

1. Considérese la función lineal y = 2x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 3?



Resolución:

 Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.

Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:

 Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la proximidad de f(x) a 7.

Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2x + 1 es 7, y se escribe



LÍMITES LATERALES













Relación entre el límite y los límites laterales de una función

límites laterales y coinciden:



Si se verifica esto, y l es un número finito, se dice que la función es convergente.

En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:



Ejercicio: cálculo aproximado de límites

1) Sea la función definida por



¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?



¿A qué valor se aproxima la función cuando x se aproxima a 3?



LÍMITE DE UNA FUNC. EN UN PUNTO

1. Se dice que una función f( x ) converge, en el punto x0, hacia el valor l, o que



x0 corresponden valores de la función muy próximos a I.

La definición anterior se puede concretar más:



cualquier  > 0, existe un  > 0 tal que si



Límites infinitos

Se estudiarán los siguientes límites:









OPERACIONES CON LIMITES DE FUNCIONES



Límite de una suma de funciones

El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:





Límite de una resta de funciones

El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los

límites de cada una de ellas:



Límite de un producto de funciones

El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:





Límite de un cociente de funciones

El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:





Ejercicio: límites de suma, resta, producto y cociente de funciones





Operaciones con expresiones infinitas









Indeterminaciones



CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

Algunos límites infinitos

Potencias: si k>0

Exponenciales: si a>0

Logarítmicas: si a>1


Comparación de infinitos


Si y se dice que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si o, lo que es lo mismo

  • Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior. Por ejemplo

  • Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior

  • Toda función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior que cualquier potencia.

  • Funciones exponenciales y potencias de x son infinitos de orden superior que cualquier función logarítmica.

Si y se dice que f(x) y g(x) son infinitos del mismo orden si

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.



Cálculo de límites

  1. Cociente de polinomios



  1. Cociente de otras expresiones infinitas



  1. Diferencia de expresiones infinitas



  1. Límite de una potencia



  1. Expresiones del tipo :



Límite de una función cuando



Cálculo de límites cuando xc

  1. Casos inmediatos: se verifican siempre que f(x) está definida en x=c y



  1. Indeterminaciones del tipo 0/0



  1. Indeterminación del tipo k/0

d)Indeterminación del tipo





  1. Indeterminación del tipo



ASINTOTAS

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:




  1. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.



  1. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite:

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.



  1. Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :



La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

CONTINUIDAD

Función continua













Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función











OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

Suma

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.





Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.



Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.



Producto de una función por un número

El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto.



Cociente

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).



Composición de funciones





CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES

Función constante

La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.





Función identidad

La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.





Función potencial

La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.





Función polinómica

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.





Función racional

en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.



Función exponencial

La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.





Función logarítmica

La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +).





Ejercicio: estudio de los puntos de continuidad



en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).



CLASIF. DE PUNTOS DE DISCONT.

darse una, al menos, de estas condiciones:







Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).



Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):



La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite.



el que hace la función sea continua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.



Una discontinuidad inevitable es de salto infinito si

Una discontinuidad inevitable es de salto finito si y a≠b

Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función

1) Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función













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