Funciones de varias variables



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A-


FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Hasta ahora, solo se han visto funciones de una sola variable (variable independiente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = F.D) y el volumen de un cilindro circular recto (V = π.r2.h) son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular (V = l.w.h) es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Ejemplos:

z = f(x,y) = x2 + xy Función de dos variables “x” y “y”

w = f(x,y,z) = x + 2y - 3z Función de tres variables “x”, “y” y “z”



Definición de una función de dos variables

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada `par ordenado (x,y) de D le corresponde un único número real f(x,y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores z = f(x,y) que son imágenes de los pares ordenados (x,y) pertenecientes al dominio de la función, es el rango o recorrido de f.

En la función dada por z = f(x,y), “x” y “y” son las variables independientes y “z” es la variable dependiente.

f



(x,y) z = f(x,y)

ALGUNAS CONDICIONES PARA ESTIMAR EL DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Siendo f(x,y) y g(x,y) funciones polinómicas



h(x,y)= Condición para que h(x,y) ЄR

(1) f(x,y) …………………………………………………… (x,y)ЄR

(2)  ………………………………………………..…… g(x,y) ≠ 0

(3)  …………... n: Impar …………………………. (x,y)ЄR

(4)  …………... n: Par …………………………..... f(x,y

(5)  ………….. n: Par ………………………….. g(x,y) > 0

(6)  ………….. n: Impar …………………………. g(x,y) ≠ 0

(7)  ……………………………………………... f(x,y) > 0

(8) Ln[f(x,y)] …………………………………………………. f(x,y) > 0

(9)  ……………………………………………. (x,y)ЄR

(10) Sen[f(x,y)] ………………………………………………. (x,y)ЄR

(11) Cos[f(x,y)] ………………………………………………. (x,y)ЄR

(12) Arcosen[f(x,y)] …………………………………………. -1≤(x,y)≤1

(13) Arcocos[f(x,y)] …………………………………………. -1≤(x,y)≤1



Ejemplo 1

Cuál es el dominio por definición de las siguientes funciones:

(a) f(x,y) = x2 + y2 todo el plano xy

(b) f(x,y) = Ln(xy) todos los puntos (x,y) en el plano xy > 0. Esto consiste en todos puntos del primer y tercer cuadrante.



Dominio de funciones de varias variables

Ejemplo 2

Hallar el dominio de la función: f(x,y) = 



Solución

La función f está definida para todos los puntos (x,y) tales que x ≠ 0 y x2 + y2 – 90 x2 + y2  9.



Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el circulo x2 + y2 = 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra en la siguiente figura.

z

DOMINIO



O y







Ejemplo 3

Esboce el dominio natural en el plano xy de la función:

f(x,y) = 

Solución

La función está definida para x2 + (y-1)20, es decir, la función debe excluir al punto (x,y) = (0,1) que sería el punto que produce una división por cero (0); al mismo tiempo y – x2  0 y  x2 (lo que representa a una parábola de vértice = (0,0) y eje focal paralelo al eje y, abriendo hacia arriba, ya que, 4p = 1



P = . El dominio seria todos los puntos que están dentro de la parábola excepto el (0,1).


y



4



(0,1)

1

-2 -1 o 1 2 x



Ejemplo 4

Hallar el dominio de la función: g(x,y,z) = 



Solución

La función g está definida para todos los puntos (x,y,z), tales que, 9 – x2 – y2 – z2 x2 + y2 + z2 < 9 por consiguiente, el dominio es el conjunto de los puntos (x,y,z) que se encuentran en el interior de la esfera de radio 3, centrada en el origen.

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones de una sola variable. Se puede formar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.



(f  g)(x,y) = f(x,y)  g(x,y) Suma o diferencia

(f.g)(x,y) = f(x,y).g(x,y) Producto

 g(x,y)  0 Cociente

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta (g o h)(x,y), como sigue.





(g o h)(x,y) = g(h(x,y)) Composición



Ejemplo 5

Dada h(x,y) = 16 – 4x2 – y2 y g(u) =  , encontrar (g o h)(x,y).



Solución

(g o h)(x,y) = g(h(x,y)) = , su dominio será: 16 – 4x2 – y2 



4x2 + y2   El dominio de esta función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse o su interior.

Grafica de una función de dos variables
La grafica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) para los que z = f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f. Esta grafica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, en donde a la grafica de z = f(x,y) es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es el domino de f. A cada punto (x,y) en el domino de f le corresponde un punto (x,y,z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x,y,z) de la superficie le corresponde un punto (x,y) en el dominio de f.



Ejemplo 6
Dibuje la grafica de f(x,y) =. ¿Cuál es su recorrido o Rango?.

Solución

f(x,y) = , y de acuerdo a lo especificado por las condiciones del dominio z = f(x,y) , o sea, si z = f(x,y) =, elevando al cuadrado ambos miembros, nos queda:

z2 = 16 – 4x2 – y2 z2 + 4x2 + y2 = 16, dividiendo entre 16, nos queda:  , en donde se puede observar que para que esta ecuación con x = 0 y y = 0, dé uno (1) con z  es con z = 4, luego el recorrido o rango de la función es 0, otra forma de representarla seria: [0,4].

• El dominio de la función que será en el plano xy será:

16 – 4x2 – y2  4x2 +y2 , dividiendo entre 16, nos queda: , luego el dominio corresponde a todos los puntos (x,y) interior a la elipse de ecuación: , que es una elipse de eje focal paralelo al eje y, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =  = 4 y longitud del semi-eje menor = b =  = 2.

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos a los planos coordenados. En este caso, hay que tener presente a la hora de trazar la grafica que el rango o recorrido es 0.

- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, luego si z2 = 16 – 4x2 – y2, implica

0 = 16 – 4x2 – y2 4x2 + y2 = 16 , que es una elipse de eje focal paralelo al eje y, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =  = 4 y longitud del semi-eje menor = b =  = 2, como se indicó anteriormente.



- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0 z2 = 16 – 4x2

4x2 + z2 = 16 , que es una elipse de eje focal paralelo al eje z, con centro (0,0), longitud del semi-eje mayor = a =  = 4 y longitud del semi-eje menor = b =  = 2.

- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0 z2 = 16 – y2

Y2 + z2 = 16, que representa un circulo de centro (y,z) = (0,0) y radio = 4.

Luego viene llevar al sistema de coordenadas en el espacio estas trazas.



z










o

y

x





Ejemplo 7
Sea f la función definida por f(x,y) = 9 – x2 – y2 en el dominio =

(x,y): x2 + y2  . Dibuje la grafica de f. ¿Cuál es el Rango o recorrido?.



Solución

• El dominio de f puede representarse geométricamente por la colección de puntos del plano xy que se encuentra en el circulo x2 + y2 = 9.

Por otra parte, si z = f(x,y) = 9 –x2 – y2 z + x2 + y2 = 9, se puede observar que para que en estas ecuaciones dé nueve (9) es con x = y = 0, por lo tanto, el recorrido o rango es 0.

- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, luego si z + x2 + y2 = 9, implica

x2 + y2 = 9, que representa a un circulo de centro (x,y) = (0,0) y radio = 3.



- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0 z + x2 = 9 x2 = -(z – 9)

lo que representa una parábola de vértice (x,z) = (0,9), eje focal paralelo al eje z y abre hacia abajo ya que 4p = -1 p =- .



- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0 z + y2 = 9 y2 = -(z - 9)

lo que representa una parábola de vértice (y,z) = (0,9), eje focal paralelo al eje z y abre hacia abajo ya que 4p = -1 p =- .





z





x y




Ejemplo 8

Trazar la grafica de la función f(x,y) = 6 – x – 2y



Solución

• El dominio seria todo el plano xy



- Traza sobre el plano xy, se hace z = 0, si z = 6 – x – 2y x + 2y = 6, que es una recta.

- Traza sobre el plano xz, se hace y = 0 z = 6 – x z + x = 6, que es una recta.

- Traza sobre el plano yz, se hace x = 0 z = 6 – 2y z + 2y = 6, que es una recta.

z





o

y



x

9.- Trazar la grafica de la función f(x,y) = 3 – x2 – y2. (TRABAJO)

10.- Hallar el dominio, Rango o recorrido y dibujar o trazar la grafica de las siguientes funciones.

10.1.- f(x,y) =  . (TRABAJO)

10.2.- f(x,y) = 144 – 9x2 – 16y2

10.3.- f(x,y) = x2 – y2

10.4.- f(x,y) = 4x2 + 9y2

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