Ejercicios Tema 3: medidas de dispersión



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D37. ESTADÍSTICA. Ejercicios Tema 4

Ejercicios Tema 4: medidas de forma y concentración

1) Dada la siguiente distribución de frecuencias:



x

0

10

20

30

40

n

2

4

7

5

2

  1. Calcula la media, moda, mediana, primer y tercer cuartil y cuadragésimoquinto centil.

  2. Varianza, desviación típica, coeficiente de variación, desviación media respecto de la mediana, recorrido y recorrido intercuartílico.

  3. Coeficiente de asimetría y de curtosis.

  4. Índice de concentración de Gini y curva de Lorenz.

2) Las ayudas concedidas, en millones de pesetas, por el Fondo Europeo para el Desarrollo Regional (FEDER) a 62 proyectos españoles vienen reflejadas en la siguiente tabla:



importe de ayuda

0–100

100–250

250–500

500-1000

nº de proyectos

12

15

20

15

  1. Calcula la ayuda media y la desviación típica.

  2. Representa el histograma pertinente.

  3. Calcula la ayuda máxima concedida al 60% de los proyectos menos favorecidos en el reparto.

  4. Estudia la concentración de las ayudas.

  5. Si para el año siguiente las ayudas aumentan un 5% sobre el valor inicial, manteniéndose el criterio del reparto, ¿cuál será ahora la ayuda media y la desviación típica?

  6. Supongamos que queremos contactar con el 15% de as empresas a quienes han sido concedidas estas ayudas, pero no queremos que sean ni las empresas que más han recibido, ni las que menos, sino que queremos quedarnos con el 15% “central”. ¿Entre qué valores se mueven las ayudas concedidas a este grupo de empresas?

  7. Calcula la asimetría y la curtosis de esta distribución.

3)En un barrio de una gran ciudad española se ha constatado que las familias residentes se han distribuido, según su composición, de la siguiente forma:



Composición

0–2

2–4

4-6

6-8

8-10

Familias

110

200

90

75

25

  1. ¿Cuál es el número medio de personas por familia?

  2. ¿Cuál es el tipo de familia más usual?

  3. Si sólo hubiera plazas de aparcamiento para el 50% de las familias, y éstas se atendieran de mayor a menor número de miembros, ¿Cuántos componentes debería tener una familia para entrar en el cupo?

  4. Si el coeficiente de variación de Pearson de otro barrio de la misma ciudad es 1,8, ¿cuál de los dos barrios puede ajustar mejor sus previsiones en base al diferente número de miembros de las familias que lo habitan?

  5. Si el ayuntamiento concede una ayuda de 5.000 ptas. fijas por familia, más 10.000 ptas. por cada miembro de la unidad familiar, determinar el importe medio por familia y la desviación típica.

  6. Número de miembros que tienen como máximo el 85% de las familias menos numerosas.

4). La distribución de acciones de una sociedad es:



acciones

accionistas

0-50

23

50-100

72

100-150

62

150-200

48

200-250

19

250-300

8

300-350

14

350-400

7

400-500

7

  1. Calcular el número medio de acciones que posee un accionista.

  2. Número de acciones que más frecuentemente posee un accionista.

  3. Número de acciones que debe poseer un accionista para que la mitad de los restantes accionistas tengan menos acciones que él.

  4. El índice de concentración de Gini y la curva de Lorenz correspondiente.

  5. Asimetría y curtosis de esta distribución.

5) Las siguientes tablas corresponden a dos muestras representativas de los créditos concedidos, en millones de pesetas, por dos agencias de una entidad bancaria en el último ejercicio. Comparar la concentración y la homogeneidad de ambas distribuciones.






Agencia A

Agencia B

Valor crédito

Nº créditos

Nº créditos

0-0,5

3

10

0,5-1

4

12

1-2

6

8

2-4

58

30

4-7

78

12

7-12

90

15

12-14

20

5

14-18

6

6

18-20

4

16

6) Dada una variable x de la que sabemos que n=25, ; Mo = 10 ; ; Me= 6. Determinar estas medidas para la distribución:


7) Se ha realizado un estudio de las rentas de alquiler de 390 viviendas (donde la renta viene dada en miles de pesetas), en una población de tamaño medio, obeniéndose

Tipos de alquiler

0-25

25-50

50-100

100-150

150-200

número de viviendas

20

140

180

40

10

  1. ¿Qué porcentaje de alquileres es superior a 100.000 pts? ¿Cuál es el alquiler más frecuente?

  2. ¿En qué intervalo se encuentra el 50% de los alquileres más bajos? ¿Y el 30% de los más altos?

  3. El propietario de la vivienda debe pagar el 10% del precio que establece como alquiler, más una cantidad fija de 3.000 ptas., al Ayuntamiento, en concepto de impuestos. ¿cuál es el impuesto medio que se ha de pagar?

  4. Calcula el índice de concentración de Gini y la curva de Lorenz.

8) Supongamos que dos empresas desean repartir beneficios entre sus cuatro principales accionistas, y que el reparto se realiza de la siguiente forma:






Empresa A

Empresa B

1r accionista

100.000

1.200.000

2º accionista

500.000

1.300.000

3r accionista

300.000

1.400.000

4º accionista

100.000

1.100.000

¿Cuál de los dos repartos el más equitativo? Justifica el resultado e base al análisis estadístico del reparto.
9) Un estudio realizado en un supermercado en Benicàssim, indica que durante los meses estivales se realiza diariamente y como media, una caja de 625.00 ptas.; que la desviación típica de las recaudaciones es de 15.000 ptas., y que aunque la caja oscila dependiendo de la semana y del mes en que nos encontremos, la mayor parte de los días la cantidad de dinero ingresado en caja ha sido de 575.000 ptas.

Este supermercado debe pagar diariamente 75.000 ptas. a sus empleados en concepto de nóminas, y la quinta parte de lo recaudado como impuestos municipales. ¿Qué gasto medio diario tiene el supermercado durante el verano? ¿Con qué varianza? ¿Cuánto pagará la mayor parte de los días?


10) La distribución de la superficie de los 90 despachos que se han construido en un nuevo edificio comercial es:

Superficie (m2)

40-60

60-80

80-120

120-200

200-400

oficinas

12

16

20

32

10




  1. ¿Cuál es la superficie media de un despacho? ¿Y el tamaño de despacho más común?

  2. ¿Se puede considerar el tamaño medio que acabamos de calcular como representativo de la superficie total de los despachos?

  3. ¿Qué tamaño mínimo debe tener una oficina para poder ser considerada en el grupo del 15% de las más grandes? ¿Qué porcentaje de oficinas tienen más de 80 metros cuadrados de superficie?

  4. Asimetría y curtosis de esta distribución.

11) En los municipio de la región de Lieja, se estudió la distribución de la renta per cápita (en miles de francos belgas), y del número de habitantes censados. Los datos recogidos fueron lo:



Renta per cápita/

Miles de habitantes



100

150

200

250

85-95

1

1

0

3

55-85

5

3

2

5

45-55

6

4

15

15

35-45

10

20

20

10

25-35

8

12

18

12

15-25

5

10

5

10

  1. Estudiar si la renta está equitativamente repartida entre el conjunto de municipios.

  2. ¿Qué porcentaje de municipios tienen 200.000 habitantes censados o más? ¿Qué porcentaje de municipios con una renta superior a 45.000 francos tienen menos de 200.000 habitantes censados?.


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