Eje: manejo de la informacióN ¿QUÉ es la proporcionalidad?



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EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?

Generalmente estamos tratando con cantidades que varían. Por ejemplo nos interesa saber la talla que tenemos, la cantidad de dinero que gastamos, el ahorro en un consumo de energía, etc.



Concepto de razón.

Una razón es el cociente de comparar dos cantidades o magnitudes, por ejemplo:

6 de cada 10 humanos viven en Asia.

2 de cada tres miembros de la familia de Humberto son mueres.

La razón 2: 7 se lee “2 es a 7”, también la podemos escribir como una fracción así siendo el primer número el antecedente y el segundo el consecuente.

Las fracciones como resultado de una razón.

Todas las razones se pueden expresar como una fracción, por ejemplo 2: 3, que se lee “2 es a 3”, se puede escribir como y significa la relación entre dos cantidades.

Ejemplo: Hice una encuesta sobre los deportes que practican mis amigos:

an01326_bd05492_pe01778_pe00998_pe01659_pe01381_

Descubrí que 3 de cada seis de mis amigos practican fútbol americano.

Esta razón se puede expresar como una fracción:

Este tipo de relaciones ya se estudiaron en la escuela primaria sin embargo, tal vez, los alumnos no recuerden los procedimientos formales, es necesario indagar qué procedimientos conocen al resolver problemas que implican comparar dos o más razones.


En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:image270

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"



  • Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO. teoria2



  1. También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).

También se cometen errores:

  • Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas la palabra Proporción tiene un significado más restringido que trataremos de precisar.

Consideremos los siguientes ejemplos:



Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.propor2



m2 de valla a pintar

1

1.5

2

4

Litros de pintura empleados

0.33

0.495

0.66

1.32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad: 



 Velocidad que lleva (Km/h)

20

40

60

80

100

Distancia total de detención (m)

7

20.5

39.5

64

95

Ejemplo 3propor34

Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.



Base del rectángulo

4










Altura del rectángulo




12







¿Son proporcionales las medidas de los rectángulos?

_______________________________ Argumenta tu respuesta

_________________________________________

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:


Tiempo

Precio

hasta 1 hora

$ 1

hasta 2 horas

$ 2

..................

.............

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía  provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde.... altura.


Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble, a mitad.............. mitad, a triple ............. triple, a un tercio.....un tercio, etc



decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".



En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo

Precio

30 minutos

$ 1

60 minutos

$ 1

70 minutos

$ 2

140 minutos

$ 3

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ? Averígualo y Argumenta tu respuesta.



Regla de tres

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

Esta tabla es de proporcionalidad directa.

Observa:


Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:

El cociente entre dos números correspondientes de cada serie es constante:

A esta constante ( en el caso anterior 0.25) lo llamaremos razón de proporcionalidad.



Actividades

  1. De las siguientes tablas de valores, identifica cuáles corresponden a una proporcionalidad directa:



  1. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es 3/4.

propor6

  1. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.

propor35

  1. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad ? propor8



  1. Un estudiante pesó algunas bolas de acero. He aquí los resultados:

¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?_______ comprueba tu conclusión.



  1. Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen: propor9

¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ? Argumenta tu respuesta: ____________________
PROPORCIONALIDAD. TABLAS Y GRÁFICAS

Tablas de variación proporcional directa.bd04896_

Una proporción es la igualdad entre dos razones donde se comparan magnitudes, por ejemplo: si el cambio del dólar está a $ 9.30 mexicanos, completemos veamos la siguiente tabla:




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