Ecuaciones diferenciales. Exactas, lineales y Bernoulli



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Ecuaciones diferenciales. Exactas, lineales y Bernoulli



Alan Alejandro Centeno Quintero 212 811128

Ecuaciones diferenciales Exactas

Las ecuaciones diferenciales exactas son como aquellas que como las demás ecuaciones diferenciales; se ajustan a la definición de ecuación diferencial pero además de esto se les puede llamar exactas por su forma: M(X,Y)dx + N(X,Y)dy = 0 esta es la forma Ordinaria pero lo verdaderamente trascendental para llamara a una ecuación diferencial “Exacta” es que se cumpla la siguiente condición = Sean M(x,y) Y N(x,y) continuas y que tienen primera derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a< x< b , c< y < d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy .



Ecuaciones diferenciales Lineales

Muy bien, continuamos en nuestra búsqueda por resolver las ecuaciones diferenciales, en esta búsqueda no inventamos ni creamos nuevas matemáticas. lo único que hacemos es pararnos sobre hombros de gigantes para lograr encarar esta tarea, en realidad el trabajo sesudo ya fue hecho por alguien en el pasado que se sentó a pensar y a hacer nuevos silogismos matemáticas, lo que nosotros usamos son métodos. nada más. Los grandes matemáticos del pasado han hecho que para la gran mayoría de nosotros y sobre todo los ingenieros las matemáticas sean una herramienta un ciencia técnica, estamos en el área de las ciencias serviles y muy necesarias, pero serviles al fin y para siempre. en fin en esta ocasión tenemos la “técnica” de Ecuaciones diferenciales Lineales. Para poder resolver ecuaciones diferenciales por este método lo primero que se debe identificar es sí la Ec.D. Es Lineal, partamos entonces de la definición:

(a₁) + a₀(x)y = g(x)

Se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y.

Solución de una ecuación Lineal

1.- Ponga la ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2)

2.- Identifique de la forma estándar P(x) y después determine el factor integrante

3.-Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y Y:



[] = [

4.- Integre ambos lados de esta última ecuación

Otra manera de decirlo:

Ahora bien

Sí se traduce la expresión:

Dónde:




Son variables de la función x

Lo cual queda expresado



Forma ordinaria

Dato curioso:

= 0 V.separables

Q(X)

Factor integrante



≠ 0

Variación de parámetros

Mediante el factor integrante:

Solución General (para cualquier caso)





Ecuaciones Lineales Bernoulli

Jacob Bernoulli Basilea, 1654- Basilea, 1705

Su familia su familia se establece en Basilea, tras llegar de Amberes, de donde huyen a raíz de persecuciones religiosas. Una vez establecidos allí nace Jacob. Este estudioso suizo se hace matemático, siguiendo la vocación de la mayoría de sus parientes. Estudia matemáticas y teología en su ciudad natal. Sus estudios en el campo de las matemáticas están relacionados con el cálculo infinitesimal. De ese campo le interesan particularmente las series y curvas planas, como la espiral logarítmica. También estudia otras curvas, como la bracquistócrona y la catenaria. Igualmente, alcanza importantes resultados en el cálculo de probabilidades y da a conocer una teoría de grandes números que le cuesta 20 años de investigación. Su actividad profesional estuvo ligada siempre a Basilea, donde ejerció durante toda su vida como profesor.

“La ley de grandes números es una regla que incluso la persona más estúpida conoce mediante cierto instinto natural per se y sin instrucción previa” Jacob Bernoulli

También hay que mencionar que Bernoulli fue él en 1690 el que desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables.

archivo:golden-section.png

La espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea resulta una aproximación a la espiral logarítmica, que Bernouilli deseó para su tumba, en lugar de la espiral de Arquímedes que finalmente fue erróneamente tallada

Definición de

Caso general


Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

\frac{y\'}{y^\alpha}+\frac{p(x)}{y^{(\alpha-1)}}=q(x)

Definiendo:



z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}

lleva inmediatamente a las relaciones:



z\'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y\' \qquad \rightarrow \frac{y\'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}z\'(x)

Gracias a esta última relación se puede reescribir como:

(2) \!z\'(x)+ (1-\alpha)\!p(x)\!z(x)=(1-\alpha)\!q(x)

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:



z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}} {dx}+c}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}}}}

Donde c \in \mathbb{r}es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:



{y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}} {dx}+c}} \qquad \rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!p \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}} {dx}+c}}}

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:



y(x)={\frac {{e^{-\int \!p \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!p \left( x \right) {dx}}}{dx}+c}}}

Con c \in \mathbb{r}.


Caso particular: α = 0


En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

\!y(x) = e^{-\int \!p(x)dx}\left({\int{ \!q(x)e^{\int \!p(t)dt}dx}+\!c}\right)

Caso particular: α = 1


En este caso la solución viene dada por:

\ln\ \!y(x) = \int [q(x)-p(x)]dx + c

Ejemplo


Para resolver la ecuación:

\qquad xy\'+y=x^4y^3

Se hace el cambio de variable z=y^{-2}\;, que introducido en (*) da simplemente:

(**)  y^2=\frac{1}{z} \rightarrow 2yy\'=-\frac{1}{z^2}z\'

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: \frac{2y}{x};se llega a:



\qquad 2yy\'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:



-\frac{z\'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \rightarrow \quad z\'-\frac{2z}{x}=-2x^3

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:



e^{\int p(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}

Y se resuelve ahora la ecuación:



\left(\frac{z}{x^2}\right)\' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + c_1= -x^2 + c_1

Deshaciendo ahora el cambio de variable:



\frac{z}{x^2} = -x^2 + c_1 \quad \rightarrow \quad z=c_1x^2 -x^4

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue z=y^{-2}\;:



\frac{1}{y(x)^2}=c_1x^2-x^4 \quad \rightarrow \quad y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{c_1x^2-x^4}}

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