Determinación del módulo de young en materiales elastómeros de forma irregular utilizando técnicas ópticas



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DETERMINACIÓN DEL MÓDULO DE YOUNG EN MATERIALES ELASTÓMEROS DE FORMA IRREGULAR UTILIZANDO TÉCNICAS ÓPTICAS
J. A. Rayasa, R. Rodríguez Veraa, Amalia Martíneza, Oliverio Rodríguezb
a Departamento de Metrología Óptica, Centro de Investigaciones en Óptica A. C.

Loma Del Bosque 115, C. P. 37150, León, Gto. jrayas@cio.mx



b Centro de Investigación en Química Aplicada. Blvd. Enrrique Reyna 140, C.P. 25100 Saltillo, Coah.

ResumEn

Se describe una técnica óptica en la que se determina el módulo de Young de muestras de nuevos polímeros elastómeros. La técnica considera la construcción de una pequeña máquina de tracción que sirve para aplicar cargas tensionantes sobre las muestras. Construyendo un interferómetro de iluminación dual y aplicando la técnica ESPI, fue posible medir las deformaciones. Dado que el esfuerzo está determinado como fuerza por unidad de área y dado que las muestras tienen un área transversal irregular, se implementó la técnica de contorneo por proyección de autoimágenes de Talbot para determinarla.




  1. Introducción

Las máquinas de ensayos mecánicos, ahora computarizadas, someten a cargas controladas a una probeta estandarizada bajo un procedimiento también estandarizado llamado ensayo. A partir de la medición de la carga aplicada, la deformación resultante y la geometría de la probeta, es posible determinar características mecánicas como el módulo de Young1 y la razón de Poisson, importantes en el estudio, caracterización y aplicación de los materiales. Cabe señalar que la medición de los resultados del ensayo la realizan aparatos específicos; para medir la carga aplicada se usan celdas de carga y para cuantificar las deformaciones se usan extensómetros, cuyo funcionamiento puede estar basado en principios mecánicos, eléctricos, ópticos o combinaciones de éstos. Las técnicas ópticas son de gran utilidad cuando los objetos bajo prueba tienen un módulo de elasticidad pequeño, es decir que con poca carga se deforman mucho, pues no entran en contacto directo con el objeto y por lo tanto no lo deforman al intentar medirlo2. La interferometría electrónica de patrones de moteado3 (ESPI, por sus siglas en inglés: Electronic Speckle Pattern Interferometry), es ideal para ser usada como extensómetro en la medición de deformaciones sobre materiales superelásticos. Los extensómetros interferométricos tienen la ventaja de medir deformaciones sobre toda la superficie del espécimen, además de hacer medidas más fieles de las deformaciones. En el caso que nos ocupa, contamos con 3 muestras poliméricas en forma de barra (un tanto irregular) que imposibilita la determinación del módulo de Young por medio de un ensayo estandarizado, por lo que fue necesario construir un dispositivo electromecánico para tensionar las muestras. También se implementó la técnica de Interferometría de Talbot4 que nos permitió recuperar fielmente la topografía de las muestras y así determinar el área sobre la que actúa la carga, necesaria para determinar el módulo de Young de las muestras. Cabe señalar que en el presente trabajo no es materia de interés la composición del polímero ni las posibles aplicaciones que pueda tener.


  1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

    1. MÓDULO DE YOUNG

La elasticidad es la propiedad que hace que un cuerpo, que ha sido deformado, regrese a su forma original después de que se han removido las fuerzas deformadoras. La ley de Hooke dice que el esfuerzo es proporcional a la deformación, esta relación es fácilmente identificable en un diagrama esfuerzo-deformación desde el origen y hasta llegar al límite de elasticidad, puesto que es la única sección recta del diagrama. Esta constante de proporcionalidad fue calculada a principios del siglo XIV por Thomas Young5; por lo que es llamada módulo de Young ó módulo de elasticidad del material en cuestión y está dado por1:

E = . (1)

donde es el esfuerzo unitario y es la deformación unitaria.


El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas que se producen en un cuerpo por la aplicación de cargas exteriores. A la intensidad de la fuerza por unidad del área transversal (en la que actúa la fuerza) se le llama esfuerzo unitario. Si la resultante de las fuerzas aplicadas pasa por el centroide de la sección considerada, se puede usar la siguiente expresión1:

(2)

donde P es la carga aplicada y A es el área sobre la cual actúa la carga.


Por su parte, la deformación unitaria se define como el cambio en la longitud por unidad de longitud, si el objeto sometido a tensión tiene una sección transversal constante, se puede expresar como1:

(3)

donde es la deformación total y L la longitud original.




    1. INTERFEROMETRÍA TALBOT

Cuando se coloca un patrón de franjas periódico al paso de un haz monocromático colimado se puede observar que a ciertas distancias periódicas se forman imágenes idénticas a la rejilla original. A esto se le conoce como Efecto Talbot (autoimágenes de Talbot) y es provocado por la difracción que sufre la luz al pasar por la rejilla. Tomando como referencia la rejilla física, los planos donde se forman las autoimágenes se pueden localizar con la siguiente relación4:

(4)

donde k = 1,2,3,… (orden de los planos de Talbot), p es el periodo de la rejilla de difracción y  es la longitud de onda de iluminación.




Fig. 1. Esquema para interferometría Talbot





      1. Contorneo por proyección de autoimágenes de Talbot

Formando una de estas autoimagen de Talbot sobre un objeto, se puede observar que la rejilla se deforma de acuerdo a la topografía del objeto. Esto hace posible aplicar la teoría de contorneo electrónico de moiré6 y así, recuperar la forma del objeto a partir de la deformación de la autoimagen. La rejilla deformada es captada con un CCD y superpuesta con una rejilla ya sea física o sintética de la misma frecuencia, pero sin deformación, obteniendo un patrón de moiré que contiene la información del relieve del objeto. La distancia entre franjas del patrón de moiré, representa una medida de la variación del relieve del objeto dada por6:

, (5)

donde n es el orden de franja de moiré, es el ángulo de iluminación con respecto al eje de observación y p es el periodo de la rejilla que genera la auto imagen.


Existen técnicas computacionales para calcular el valor de z en cada píxel de la imagen captada por el CCD llamadas técnicas de calculo de fase7. Para demodular los patrones de franjas deformados se utiliza la técnica conocida como “cálculo de la fase por portadora lineal espacial (método directo)8” que se basa en la idea de recuperar la información (en nuestro caso de forma) que se encuentra modulada en una señal portadora (el patrón de franjas proyectado). El mapa de fase está dado por8:

(6)
donde S(x,y) es el resultado de multiplicar el patrón de franjas por el seno de la señal portadora (conocida) y C(x,y) de multiplicarlo por el coseno. Como es conocido, las técnicas para el cálculo de la fase que utilizan la función “arcotangente” en el proceso de demodulación, arrojan un resultado llamado “fase envuelta” haciendo necesaria la implementación de técnicas de desenvolvimiento de fase. En el presente trabajo utilizamos la técnica conocida como: “Regularized phase tracking unwrapper7”. Después de este proceso se puede obtener un mapa con la forma en medidas reales del objeto al rescribir la ecuación 5 como:



(7)


    1. INTERFEROMETRÍA ELECTRÓNICA DE PATRONES DE MOTEADO (ESPI)

El moteado es un efecto que se puede observar cuando iluminamos una superficie rugosa con un haz de luz coherente8. La iluminación es reflejada desde la superficie rugosa del objeto hacia todas direcciones haciendo interferencia aleatoria y formando el patrón de moteado. Los métodos de interferometría de moteado se basan en la adición de un segundo frente de onda (de referencia) al patrón de moteado del objeto9, por lo que el patrón de moteado estará formado por la interferencia de dos haces coherentes entre sí. Cuando el objeto sufre deformaciones, la intensidad en el patrón resultante depende de la distribución relativa de la fase de la adición de los haces9.


Fig. 2. Interferómetro ESPI de iluminación dual



Los patrones de motas son registrados electrónicamente por una cámara digital. Cuando el patrón de moteado deformado es comparado con el patrón inicial (correlación), mediante la sustracción digital de intensidades; tenemos como resultado la aparición de un conjunto de franjas claras y obscuras que corresponden a los sitios de diferencia de la fase igual entre los frentes de onda9. Esta diferencia de fase () se relaciona con la diferencia de camino óptico introducido por el movimiento de la superficie9, haciendo posible su cuantificación. En la figura 2 se muestra el diagrama de un interferómetro sensible a desplazamientos en el plano. Según esta geometría la componente de deformación en el plano puede ser calculada como3:



(8)

donde es el cambio en la longitud y n es el número de franjas en el patrón correlacionado.





  1. RESULTADOS EXPERIMENTALES

    1. ÁREA TRANSVERSAL DE LAS MUESTRAS

Las 3 muestras bajo estudio (figura 3) están hechas de un polímero que se encuentra actualmente en fase de prueba; es por esto que se pretende caracterizar algunas de sus propiedades mecánicas. Dichas muestras están depositadas sobre una base plana, por lo que únicamente se recuperó la topografía de una sección central (3 cm) de la cara superior. Para lo cual, se construyó un arreglo óptico, similar al de la figura 1, que nos permitió aplicar la técnica de interferometría de Talbot. Con ángulo de iluminación = 26° y una rejilla de ronchi con una frecuencia de 50 líneas por pulgada. Una vez obtenida la forma de la superficie, se tomó el promedio de los perfiles y se determinó el área bajo la curva; correspondiente al área de interés como se muestra en la figura 4.


Fig. 3. Muestra bajo estudio








Fig. 4. Graficas tridimensionales de la topografía de las muestras y gráficas del perfil promedio mostrando el área de interés. M1 = muestra 1, M2 = muestra 2 y M3 = muestra 3.


    1. MÓDULO DE YOUNG

Con la finalidad de utilizarse como extensómetro, se construyó un interferómetro de iluminación dual con sensibilidad a deformaciones verticales, como el presentado en la figura 5. Se utilizó un láser con = 633 nm iluminando a un ángulo = 3.8°. La muestra se posicionó en el área de interferencia sujetando uno de sus extremos a un dinamómetro digital fijo y el otro extremo se sujetó a una montura de desplazamientos controlada por un motor a pasos. Al accionar la montura, la muestra se estira produciendo los patrones de franjas (ver figura 6) que cuantifican la deformación, mientras que el dinamómetro indica la fuerza que se está aplicando. Con la carga aplicada y el área transversal, medida anteriormente, se determina el esfuerzo, se crea el gráfico esfuerzo deformación (figura 7) y se determina el módulo de Young que es la pendiente de la línea graficada.

M1

M2

M3


Fig. 5. Fotografía del arreglo montado para ESPI.



Fig. 6. Patrones de franjas resultantes




Muestra 3

E = 1288.5 KPa ± 150.5 KPa

Muestra 2

E = 1178 KPa ± 136 KPa

Muestra1

E = 960 KPa ± 73.7 KPa

Fig. 7. Diagrama esfuerzo deformación y módulo de elasticidad de las tres muestras bajo estudio






  1. CONCLUSIONES

Fue posible determinar el módulo de Young de las 3 muestras poliméricas al implementar la técnica óptica de interferometría electrónica de patrones de moteado (ESPI) como extensómetro en un ensayo mecánico tensionante. Este ensayo se diseño exclusivamente para el tipo y geometría de los muestras. Al calcular los esfuerzos producidos en el ensayo, se observó que la forma irregular de las muestras hacia complicada la medición del área sobre la que actúan las cargas por medios mecánicos, por lo que se implementó otra técnica óptica, ahora para recuperar la forma de las muestras y así medir el área de interés. La técnica de proyección de autoimágenes de Talbot fue implementada para este caso.

En la figura 6 (M3) se puede observar que la muestra tiene un defecto en la parte central, el cual se puede observar a simple vista, pues el periodo de las franjas no es constante; en la parte central es menor que en la parte superior. Esto influye en el valor del módulo medido.



BIBLIOGRAFÍA

  1. Robert W. Fitzgerald, Mecánica de Materiales, Alfaomega, México D.F., (1998).

  2. “Medición del modulo de Young en el hule látex usando ESPI”; J. A. Rayas, R. Rodríguez-Vera y Amalia Martínez; Rev. Mex. Fís., 49 (6), (2003), 555-564.

  3. Rajpal S. Sirohi, Speckle Metrology, [Editor], Marcel Dekker, New York, (1993).

  4. “3-D contouring of diffuse objects by Talbot-projected fringes”; R. Rodríguez-Vera, D. Kerr and F. Mendoza-Santoyo; Journal of Modern Optics, 1991, Vol. 38, No. 10, 1935-1945.

  5. Andrew. Pytel y Ferdinand L. Singer, Resistencia de Materiales, Cuarta Edición, HARLA, México D.F., (1994).

  6. R. Rodríguez-Vera, “Three-dimensional gauging by electrónic moiré contouring”, Rev. Mex. Fis. 40, No. 3 (1994) 447-458.

  7. D. Malacara, M. Servín, Z. Malacara, “Interferogram analysis for optical testing”, Marcel Dekker Inc., 1998, pp. 393-397.

  8. K. J. Gasvik, “Optical metrology”, Third edition, John Wiley & Sons, LTD., 2002, pp. 289.

  9. R. Rodríguez-Vera, J. A. Rayas, Amalia Martínez y A. Dávila, Algunas Aplicaciones Industriales de la Interferometría Electrónica de Patrones de Moteado, Simposio de Metrología, CENAM, Querétaro, (2001) D3-6.



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