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Operaciones con monomios

Suma de monomios


Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn = (a + b)xn

Ejemplo:2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

2x2 y3 + 3x2 y3 z

Producto de un número por un monomio


El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

Ejemplo:5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z

Multiplicación de monomios


La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

axn · bxm = (a · b)xn +m

Ejemplo:5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3

División de monomios


Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.



axn :bxm = (a : b)xn– m

Ejemplos:


cociente

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.



fracción algebraica

Potencia de un monomio


Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

(axn)m = am · xn · m

Ejemplos: (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9

(-3x2)3 = (-3)3 (x3)2 = −27x6


Ejercicios


    1. Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.



        1. 3x3

        2. 5x−3

        3. 3x + 1

        4. 4x2y3

        5. expresión algebraica

        6. expresión

        7. expresión

        8. expresión




    1. Completa la tabla



    1. Realiza las sumas y restas de monomios.



  1. 2x2 yz + 3x2 yz =

  2. 2x3 − 5x3 =

  3. 3x4 − 2x4 + 7x4 =

  4. 3x2 + 2x2 =

  5. 6x - 9x =

  6. 9x3 + 12x3 =

  7. -5x2 + 9x2 =

  8. -8x4 – 4x4 =

  9. 5x2 + 2x2 =

  10. x – 8x =

  11. 4x5 + x5 =

  12. 9x3 – 5x3 =

  13. 8x2 – 3x3=



    1. Efectúa los productos de monomios.



  1. (2x3) · (5x3) =

  2. (12x3) · (4x) =

  3. 5 · (2x2 yz) =

  4. (5x2 yz) · (2 y2 z2) =

  5. (18x3 y2 z5) · (6x3 y z2) =

  6. (−2x3) · (−5x) · (−3x2) = 

  7. 3x . 2x =

  8. 2x2 . 3x =

  9. 5x4 . 4x2 =

  10. 3/2 x3-5x2=

  11. 2x7 . 4x =

  12. 2/5 x3 .5x2=

  13. 8x . 3x5 =



    1. Realiza las divisiones de monomios.



  1. (12x3) : (4x) =

  2. (18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) =

  3. (36 x3 y7 z4) : (12x2 y2) =

  4. 15x5 : 3x2 =

  5. 20x6 : 4x2 =

  6. 30x8 :5x=

  7. 10x : 2 =

  8. cociente

  9. división

  10. solución



    1. Calcula las potencias de los monomios.





  1. (2x3)3 =

  2. 23(x3)3 =




  1. (-3x2)3 =

  2. (-3)3(x3)2 = 

  3. potencia

  1. 2x2 –3x + 4x – 9x2 =

  2. 5x3 –7x + 2x – 9x2 + 2x3 – 5x2 =

  3. 3x2 – 1 – 2x2 – x2 +7=

  4. 6x4 – 2x – 3x4 + 3x =

  5. 10x2 –4x + 8x – 3x2 =

  6. 12x3 –3x2 – 5x2 + 4x3 – 3x2 =

  7. 8x3 – 2x – x2 +7x=

  8. 9x4 – 2x 3– 5x4 + 3x3 =

  9. 2a+3b-5a+b =

  10. a+b-4c+3b+c-2a+a-7b+c=

  11. 2a2+3b-2a+3b-5a+b-5a2=

  12. -3ab-5a+6b-ab+a

  13. 5a+b-2a+3c-5a+2c-a+3b-8a+a-3b=

  14. 5x-4y+7x2+y-2z-4y+3x2-3z+x-7y =

  15. a+3b-5a+7b =

  16. h) 3a+2b-4c+b+c-2a+a-4b+c =

  17. 5a2+3b-2a+b-5a+b-2a2

  18. ab-5a+5b-4ab-a









    1. Realiza las siguientes operaciones con monomios:





  1. 3x + 2x =

  2. 4x + x =

  3. 5x + 6x =

  4. 8x + 9x =

  5. 3x2 + 2x2 =

  6. 5x2 + 4x2 =

  7. 6x + 2x + 5x =

  8. 3x + 2x + x =

  9. 4x + 8x + 2x =

  10. 6x - 3x =

  11. 8x - 5x =

  12. 11x - x =

  13. 5x - 8x =

  14. 9x - 6x =

  15. 3x - 5x =

  16. 4x2 - 9x2 =

  17. 7x2 - 10x2 =

  18. x2 - 5x2 =

  19. 3x + 6x - 4x =

  20. 2x - 5x - 4x =

  21. x - 3x - 4x =

  22. 2x2 . 5x3 =

  23. 3x . 4x2 =

  24. 5x . 3x4 =

  25. 4a2 . 5a3 =

  26. 3a4 . 6a2 =

  27. 2b6 . 3b4 =

  28. 12x4 : 3x =

  29. 20x8 : 2x6 =

  30. 16x7 : 8x5 =

  31. 6a6 : 2a2 =

  32. 8b5 : 4b =

  33. 10c8 : 5c5 =

  34. 4x + 7x =

  35. 9x + x =

  36. 2x + 7x =

  37. 4x + 10x =

  38. 12x2 + 4x2 =

  39. 4x2 + 5x2 =

  40. 9x + 3x + 6x =

  41. x + 5x + 5x =

  42. 3x + 5x + 6x =



9.3 Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:



P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.



n un número natural.

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio


El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Valor numérico de un polinomio


Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3



suma de polinomios

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5


Resta de polinomios


La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de un número por un polinomio


Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Ejemplo 3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio


Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo :3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios


P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:



multiplicación de polinomios

Resolver la división de polinomios:


P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo  dejamos  huecos en los lugares que correspondan.

división

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3



Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

división

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

división

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

división

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

división

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.




Identidades notables

Binomio al cuadrado


(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia


(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25



Ejercicios

  1. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los números que se indican:





  1. Efectúa las multiplicaciones de los monomios siguientes:




  1. Sean los polinomios: A(x) = −3x2+3x; B(x) = 2x2+3; C(x) = 3x4+2x3−x2+5; D(x) =x + 3. Calcula:




a) A(x) + B(x) + C(x)

b) A(x) + 2 · B(x) − C(x)

c) 5 · A(x) − 2 · B(x)

d) A(x) −B(x) +2 C(x)

e) A(x). D(x)

f) B(x). D(x)





  1. Dados los polinomios:




P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2




Calcular:


1.- P(x) + Q (x) =

2.- P(x) − U (x) =

3P(x) + R (x) =

42P(x) − R (x) =

5S(x) + T(x) + U(x) =

6S(x) − T(x) + U(x) =


  1. -Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x – 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:





    1. P(x) + Q(x) − R(x) =

    2. P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

    3. Q(x) + R(x) − P(x)=

7.-Multiplicar:

1) (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2)  (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3)  (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

8.-Dividir:

1) (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2) (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3)  P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x):Q(x)



  1. Siendo P(x) = 3x5-5x2+8x-3 , Q(x) = 2x4+6x3+3x2 , M(x) = x3-2x+1, efectúa las operaciones siguientes:

a) P-Q+M b) P·M c)-P·M d) Q·(-M) e) Q:M f) P:M g) P:Q h) (P-Q):M


  1. Sean los polinomios: A(x) = −3x2+3x; B(x) = 2x2+3; C(x) = 3x4+2x3−x2+5; D(x) =x + 3.

Calcula:

a) A(x) · B(x)

b) B(x) · C(x)

c) C(x) · D(x)

d) D(x) · C(x)



  1. Usando las fórmulas de las identidades notables: desarrolla las siguientes expresiones:



a) (x + 2)2

b) (2x − 3)2

c) (3x2 + 2x)2

d) (2x + 5) · (2x − 5)

e) (2x + 2)2

f) (3x2 − 3)2

g) (3x2 + 2y3)2

h) (4x -1) · (4x +1)

i) (5x 2+ 2)2

j) (x2)2

k) ( + 2y)2




  1. Escribe un polinomio con las siguientes características:

a) de grado 4 y con 3 términos

b) de grado 3, con 3 términos, con término independiente nulo y 5 como coeficiente de x2



  1. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante:



a) x(x + 1) − 3x(−x + 3) + 2(x2 − x)

b) (x + 2)(x − 3) − (x − 2)(x + 3)

c) (3x − 5)(x − 3) − (x + 1)(3x − 7)

d) −3x(x + 7) + (2x − 1)(−3x + 2)

e) (2x2 + x − 1)(x − 3) − (2x − 1)(x2 − x)

f) x(x − 3y) − (x − 4y)(x + y)





  1. Extrae el factor común en las expresiones siguientes:




a) 3x2y + 6xy2 − 9x2y3

b) 8a + 10b − 6c

c) 2ab + 7b3 − ba2

d) 7(x + 2) − 5(x + 2) − 3(x + 2)


e) 5x3 + 15x2

f) 4x3 - 2x2 + 5x

g) 8x3y4 + 4x2y

h) 2a4b3 – a2b3

  1. Utiliza las formulas de las identidades notables para desarrollar:




a) (3x − 5)2

b) (x2− y) · (x2+ y)

c) (4x − 6)2

d) (x2 − 1)2

e) (3 − x)2

f) (x2 + 1) · (x2 – 1)

g) (2x2 − 3x)2

h) (3x + 5)2



i)

j)

k)

l)
m)

n)

g)

h)

i)



  1. Sabiendo que P(x) = 2x4 + x2 4x 1 y Q= 4x4 – 2x. Calcula:




a) P(x) + Q(x)

b) P(x) - Q(x)

c) 3x2 · P(x)

d) (-2x3) · Q(x)

e) Q(x) : (2x)


  1. Expresa como una igualdad notable.




a)

b)

c)

d)

e)

f)



  1. Divide:

  1. P(x ) = 2x 7 + x 6 – 9x 5 – 5x 4 + 9x 2 + 8 entre Q(x ) = x 4 – 3x 2 + x – 5

  2. P(x ) = 6x 5 + 2x 4 – 17x 3 + 20x – 25 entre Q(x ) = 2x 3 – 3x + 5

  3. P(x ) = 2x 5 – 6x 4 + 20x 2 – 38x + 12 entre Q(x ) = x 3 – 5x + 3

  4. P(x ) = 4x 6 – 12x 4 + 8x 3 + 9 entre Q(x ) = 2x 3 – 5x + 1

  5. P(x ) = 6x 6 – 13x 5 – 20x 3 + 50x 2 – 4 entre Q(x ) = 2x 3 – 3x 2 + 1

  6. P(x ) = x 7 + 3x 6 – 2x 5 – 3x 4 + 5x 2 + 1 entre Q(x ) = x 2 + x – 2

  7. (x ) = x 5 – 4x 4 + 2x 2 – 8x + 6 entre Q(x ) = x 2 – 2x + 3

10 Ecuacioneshttp://t3.gstatic.com/images?q=tbn:and9gcqchkqzoa_wfxjykbxiqn99mfdvbdsmihccabbojekperdgq9-_

10.1 Ecuaciones de primer grado

Igualdad


Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1)     2x + 1 = 2x + 2    1≠2.



Cierta

2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2


Identidad


Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2


Ecuación


Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2         x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.



esquema

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2           x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2        

− 10 −3 = −15 + 2         −13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado


5x + 3 = 2x +1                Ecuación de primer grado.

5x + 3 = 2x2 + x             Ecuación de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x2             Ecuación de tercer grado.

5x3 + 3 = 2x4 +1             Ecuación de cuarto grado.






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