Cuaderno de apoyo



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8.9 Los porcentajes


Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”).

Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación

Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser representado como 32 / 100

El tanto por ciento como fracción


El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:

Para saber como se representa el 10% en fracción se divide y luego se simplifica:



<tlite> 10% = \cfrac{10}{100} = \cfrac{1}{10} = 0,1

Una fracción común como porcentaje


La fracción común se multiplica por 100 y se resuelve la operación, como resultado será el porcentaje.

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:



 \cfrac{1}{10}= \cfrac{10}{100} = 10%

Obtener un tanto por ciento de un número


Para obtener un tanto por ciento se construye una regla de tres simple. Ejemplo:

Para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres: multiplica cruzado y divide por el que queda solo.



 \left . \begin{array}{ccc} 100% & \longrightarrow & 150 \\ 25% & \longrightarrow & x \end{array} \right \} \to \quad x = \cfrac{150 \cdot 25%}{100%} = 37.5

Por tanto: 37.5 es el 25% de 150



Ejercicios

  1. Completa la siguiente tabla:

Porcentaje

15%










45%




85%

Fracción




















Número decimal




0,2




0,3












  1. Completa la tabla:




    250

    740

    510

    480

    360

    960

    1200

    40% de






















    25% de






















    15% de






















    20% de






















    100% de






















  2. ¿Qué porcentaje expresa cada una de estas fracciones?

a) = c) = e) = g) =

b) = d) = f) = h) =

  1. Un kilogramo de guisantes contiene: 10 g de grasa; 630 g de hidratos de carbono; 20 g de sales minerales; 200 g de proteínas y el resto agua. Calcula los tantos por ciento de cada sustancia que contiene.

  2. Aproximadamente, el 80% del peso de una persona es agua. Calcula cuántos

  3. El telesilla de una gran pista de esquí circula a 4 metros por segundo. Rellena la tabla de recorridos.

    Tiempo (s)

    5

    15

    50










    600

    Distancia (m)










    500

    800

    2.000




  4. Completa las tablas:

    Precio

    Descuento

    Nuevo precio




    Precio

    Incremento

    Nuevo precio

    270

    15%







    225

    5%




    300

    35%







    72

    3%




    52

    30%







    420

    8%




    880

    25%







    100

    10%




    16

    40%







    62

    7%




  5. Por artículo de 1 180 pesetas nos han cobrado 1 357 pesetas. ¿Qué porcentaje de IVA han aplicado?

  6. En el registro municipal hay 12400 electores inscritos. En las elecciones municipales han votado el 85% de los electores. La señora García ha obtenido el 55% de los votos. ¿Cuántas personas han votado por ella

  7. Halla el número decimal correspondiente a cada uno de estos porcentajes:

75% 130% 2% 5,3%

  1. ¿Qué tanto por ciento representa 345 de 1500?

  2. Halla una cantidad sabiendo que le 12% de ella es 87.

  3. Calcula

    1. El porcentaje correspondiente a las siguientes fracciones:



    1. Calcula el 28% de 375.

    2. Halla el tanto por ciento que representa 27 de 216.

    3. Si el 62% de una cantidad es 93, ¿cuál es la cantidad?

    4. Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes porcentajes:

70% 35% 10% 150%

    1. Calcula el 150% de 3 500.

    2. Halla el tanto por ciento que representa 22 respecto de 25.

    3. Halla el porcentaje que corresponde a cada uno de estos números decimales:

  1. a)Había ahorrado el dinero suficiente para comprarme un abrigo que costaba 90 €. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto tuve que pagar por él?

b)En la misma tienda me compré una bufanda, que tenía un descuento del 35%, pagando por ella 9,75 €. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

  1. a)Una calculadora costaba 15 €, y la rebajan un 35%. ¿Cuál será su precio rebajado?

b)Otro artículo, que estaba rebajado un 15%, nos costó 19,55 €. ¿Cuál era su precio antes de la rebaja?

  1. a)Una persona pagaba el año pasado por el alquiler de su vivienda 420 € mensuales. Este año le han subido el precio un 2%. ¿Qué mensualidad tendrá que pagar ahora?

b) Si su vecino paga este año un alquiler de 459 € al mes, ¿cuánto pagaba el año pasado? La subida fue también del 2% en este caso.

  1. a)El precio de un medicamento, sin IVA, es de 18,75 €. Sabiendo que el IVA es el 4%, ¿cuál será su precio con IVA?

b)Si otro medicamento cuesta 23,4 € con IVA, ¿cuál será su precio sin IVA?

  1. a) Un comerciante ha vendido una mercancía que le costó 150 €, obteniendo un beneficio del 40%. ¿Cuál ha sido el precio total de venta de dicha mercancía?

b)Si en un producto por el que cobró 28,35 € obtuvo un beneficio del 35%, ¿cuánto le costó a él dicho producto?

  1. Un medicamento costaba, sin IVA, 12 €. Con una receta médica solo debemos pagar el 40%, de su precio total. Sabiendo que el IVA es del 4%, ¿cuánto tendremos que pagar por el, si llevamos la receta?

  2. En el mes de enero rebajaron en un 10% un artículo que costaba 52 €. En febrero lo rebajaron otro 15%, y en marzo, un 15% más. ¿Cuál fue su precio después de estas tres rebajas?

  3. El número de turistas que visitaron cierta ciudad durante el mes de junio fue de 2 500. En el mes de julio hubo un 45% más de visitantes, y en agosto, un 20% más que en julio. ¿Cuántos turistas visitaron la ciudad en agosto

  4. De los 524 alumnos de bachillerato de un colegio, el 12% repite curso y el 13% ha pasado con alguna asignatura pendiente. ¿Cuántos alumnos han pasado con todas las materias aprobadas?

  5. Entre julio y agosto de 2006, el número de infracciones graves que denunció la DGT fueron 81835 de las que 72533 correspondieron a hombres. ¿Qué porcentaje de denuncias correspondieron a mujeres?

  6. La información nutricional de una marca de leche dice que, en un litro, hay 160 mg de calcio, que es el 20% de la cantidad diaria recomendada. Calcula la cantidad diaria que debe tomar una persona.

  7. El número de plazas de un centro escolar es 450. Si el número de plazas solicitadas fue 540, ¿qué tanto por ciento representan las solicitudes?

  8. Los organizadores de un concierto han decidido suspenderlo porque solo se han vendido el 0,8% de las entradas disponibles. ¿Cuántas entradas se han puesto a la venta si se han vendido 20?

  9. He pagado 870 € por un artículo que costaba 750 € sin IVA. ¿Qué porcentaje de IVA me han aplicado?

  10. El presupuesto de educación de una comunidad autónoma ha pasado de 8,4•106 € a 1,3•107 € en los últimos tres años. ¿Cuál ha sido la variación porcentual?

  11. En una papelería hacen una rebaja del 15% en todos los artículos. ¿Cuál será el precio que hemos de pagar por una cartera de 24 € y una calculadora de 18 €?

  12. Si el precio del abono-transporte de una ciudad subió el 12%, ¿cuál era el precio anterior si ahora cuesta 35,84 €

  13. He pagado 187,2 € por un billete de avión que costaba 240 €. ¿Qué porcentaje de descuento me hicieron?

  14. El precio del kilo de tomates subió un 20% y después bajó un 25%. Si antes costaba 1,80 €, ¿cuál es el precio actual?

  15. 1El número de espectadores de un concurso de televisión que comenzó en octubre aumentó un 23% en noviembre y disminuyó un 18% en diciembre. Si al terminar diciembre tuvo 2202000 espectadores. ¿Cuántos tenía en el mes de octubre?

  16. Si un comerciante aumenta el precio de sus productos un 25% y, después los rebaja un 25%, ¿cuál ha sido la variación porcentual que experimentan los artículos respecto al precio inicial? ¿y si hiciera lo mismo aplicando el 50%?

  17. En una clase de 28 alumnos, 7 suspendieron Matemáticas. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron? . Si el precio de venta al público de un producto es de 63,00 € y está gravado con un IVA del 16%. ¿Cuál es su precio antes de aplicarle el impuesto?

  18. Si el precio de venta al público de un producto añadiéndole el IVA es de 72 € y sin el IVA sería de 67,29 €. ¿Cuál es el IVA que le aplican? ¿Es un artículo de lujo?

  19. En el último mes de julio unos almacenes hicieron una rebaja del 15% sobre los precios de junio en los artículos de ropa para jóvenes. Un pantalón costaba en junio 14,40 €. ¿Qué descuento hay que aplicarle? ¿Cuál es su precio de venta en julio?

  20. En un comercio han rebajado de precio una chaqueta un 20% y ahora se puede comprar a 28,80 €. ¿Cuál era el precio original, sin rebajar?

  21. Un traje marcaba 150 euros antes de las rebajas. En la época de rebajas el mismo traje costaba 120 euros.

a) ¿Qué rebaja nos hicieron (en %)

b) Si nos rebajasen el 15% ¿cuánto nos costaría?

c) Si los 120 euros son sin IVA y el IVA es del 16% ¿cuánto nos costará el traje?


  1. El precio de varios artículos sin IVA es de 25 euros y 17,6 euros. Averigua cuál es el precio final sabiendo que con el IVA suben un 16%.

  2. Si al cabo de varios años el precio de una mercancía se ha multiplicado por 2,23. ¿Cuál ha sido el aumento expresado en %?

  3. Un vendedor recibe un 6% de los beneficios de cada venta que realiza. Vende un piso por 80.000 euros. Si le ganó un 10%. ¿Qué cantidad corresponde al vendedor?

  4. Un campesino posee 110 hectáreas de monte y decide plantar un 20% con pinos, un 25% de abetos, un 35% de roble y el resto de castaños, teniendo en cuenta que un 5% lo tuvo que dedicar a caminos. ¿Qué superficie plantó de cada tipo de árboles? ¿Qué porcentaje plantó de castaños?

  5. El 20% de los alumnos de 1º de BAC hicieron mal un examen. Si el grupo está formado por 45 alumnos. ¿Cuántos contestaron correctamente?

  6. Al comprar una bicicleta que costaba 50 euros me hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto dinero me rebajaron? ¿Cuánto tengo que pagar?

  7. Un comerciante compra una bicicleta en 40 euros y la vende en 60. ¿Qué tanto por ciento se ganó?

  8. En una clase de 50 alumnos hay 30 chicas y 20 chicos, de los 50 alumnos un 10% son repetidores y de estos el 20% son chicas.

a) ¿Qué porcentaje representan los chicos dentro de la clase? ¿Y las chicas?

b) ¿Cuántos chicos repiten curso?



c) Si hay 5 chicas rubias ¿qué porcentaje representan dentro de las chicas? ¿Y dentro de la clase?

  1. Un libro que costaba 18 euros aumenta su precio en el 12%. ¿Cuánto cuesta ahora?

  2. El número de parados que había en una provincia era 24.300, y se ha visto incrementado en el 19%. ¿Cuántos parados hay ahora?

  3. El precio de un balón después de un 5% de descuento es de 9 euros. ¿Cuál era el precio inicial?

  4. Por una factura de 800 euros nos cobran 640 euros. ¿Qué tanto por ciento de descuento nos han hecho?

  5. A una persona le retienen de su sueldo un 12%. Si cobra mensualmente 836 euros ¿Cuál será el sueldo bruto?

  6. ¿Cuánto dinero ha de cobrar una persona que tiene un 6% de comisión sobre los beneficios de cada venta si realiza una venta de 5 millones de euros con una ganancia del 1%?

  7. En un centro de 800 alumnos aprueban el curso en Junio 400 y en Septiembre 200. Calcula el porcentaje de aprobados en Junio, Septiembre y el total en el curso.

  8. Después de gastar el 15% del depósito de gasolina de un coche quedan 42,5 l. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

  9. El 0,8% de la población masculina de una ciudad de 400.000 de habitantes padece de asma. ¿Cuál es el número de enfermos si el 60% de la población son mujeres.

  10. El año pasado me bajaron el sueldo un 5%. Si este año me suben el mismo porcentaje. ¿Quedaré igual que hace dos años?

  11. En las elecciones el porcentaje de abstención en una empresa fue del 25%. Sabiendo que el número de votantes fue de 240 trabajadores. ¿Cuántos son en total?

  12. Si pagué 40,6 euros en un restaurante con 16% de I.V.A. ¿cuál sería la factura sin I.V.A.?.

  13. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

  14. Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

  15. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

  16. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

  17. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

  18. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

  19. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

  20. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

Expresiones algebraicashttp://t3.gstatic.com/images?q=tbn:and9gcspqjvvtbeodr_7v0vabrnvt1torgojbucfj20ezhleqx252qmzlw

9.1 Expresiones algebraicas

Concepto de Lenguaje Algebraico.

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones.



Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos o ligados por las operaciones aritméticas de:

  • Suma.

  • Resta.

  • Multiplicación.

  • División.

. Términos de una expresión algebraica:

Se llaman así a las expresiones numéricas o algebraicas separadas por los signos de sumar o resta



Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:

La suma de dos números a + b

La resta o diferencia de dos números x– y

El producto de dos números ab

El cociente de dos números x/y

El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia a+b/a-b

El doble de un número 2x

El doble de la suma de dos números 2(a+b)

El triple de la diferencia de dos números 3(x-y)

La mitad de un número x/2

La mitad de la diferencia de dos números (x-y)/2

El cuadrado de un número x2

El cuadrado de la suma de dos números ( x+y)2

El triple del cuadrado de la suma de dos números. 3.( x+y)2

La suma de 3 números a+b+c

La semi suma de dos números.(a+b)/2



Valor numérico de una expresión algebraica

Es el número obtenido al sustituir la letras por números determinados y efectuar las operaciones indicadas.

El valor numérico de un expresión algebraica no es único depende del valor que se de a la letra o letras que en ella intervienen.

Ejemplo: Para la expresión: a3-3b2, calculamos el valor numérico para los números a=4 y b= 2 , solo tenemos que sustituir estos valores en la expresión anterior, a3-3b2 = 43- 3·22= 64- 3·4= 52

Ejercicios

Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:
a) El doble de un número.

b) El cuadrado de un número menos tres.

c) La suma de dos números.

d) La diferencia de los cuadrados de dos números.

e) La mitad de un número.

f) El cuádruplo de un número.

g) La suma de un número y su cuadrado.

h) El doble de un número menos cinco.

i) La tercera parte de un número.

j) El cuadrado de la suma de dos números.

k) El doble de la suma de tres números.

l) El triple de la raíz cuadrada de un número.

m) La suma de tres números consecutivos.

n) Una cuarta parte de la suma de dos números.

ñ) Un número aumentado en cinco unidades.

o) El doble de un número menos el triple de otro.

p) Las tres cuartas partes de un número.

q) El cubo de la diferencia de dos números.

r) El producto de dos números.

s) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.


Enuncia las frases que traduzcan al lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas:





b) (xy)3

c) 3 (x + y)3





f) (xy)2







j) 4 (x – 2)



l)x2 + 2xy



n)x · (x + 1) · (x + 2)







Representamos por x el número de coches que hay en un aparcamiento y por y el número de motos. Escribe una expresión algebraica que indique el número de ruedas que hay en total.

Ana tiene 2 años más que Juan. Si representamos por x la edad actual de Juan expresa en lenguaje algebraico la suma de las edades de ambos dentro de 5 años

Elige la respuesta adecuada

Expresión algebraica

Elige la respuesta adecuada

1 la mitad de un número

A) x²
B) 2 · x
C) x/2

2. el doble de un número más tres

A) x/2 + 3
B) 2 · (x + 3)
C) 2x + 3

3. el triple de un número menos cuatro


A) x - 3 · 4
B) 3 · 4 - x
C) 3x - 4

4. la mitad del cubo de un número


A) x3/2
B) 3/2 · x
C) 3 · x /2

  • 5. siete menos un número




A) 7 - x
B) 7 - 3
C) x - 7

  • 6. el doble de la suma de dos números




A) 2 · (m + n)
B) 2 · m + n
C) m + n · 2

  • 7. la edad de una persona hace cinco años

A) 5 - x
B) 32 - 5
C) x - 5

  • 8. el cuadrado más el triple de un número




A) x2 + 3 · x
B) 32 + 3 · x
C) x + 32

  • 9. la quinta parte del triple de un número




A) 3 · 5 /x
B) 3 · x / 5
C) x/3 · 5

  • 10. el triple de la suma de tres números




A) a + b + c · 3
B) 3 + a + b + c
C) 3 · (a + b + c)

Escribe una expresión algebraica que de:

a) El perímetro de un triángulo equilátero de lado x

b) El perímetro de un rectángulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base.

c) El área de un rectángulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base.

d) El 30% de un número.

e) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

f) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

g) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.

h) El triple del resultado de sumar un número con su inverso.

i) El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

j) El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.

k) El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.



Calcula el valor numérico de 3x-5 para:

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 0 d) x = -1 e) x = -2



Calcula el valor numérico de 4a2-7 para:

a) a = 1 b) a = 2 c) a = 0 d) a = -1 e) a = -2



Calcula el valor numérico de 2x3-5x para:

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 0 d) x = -1 e) x = -2



10º Calcula el valor numérico de 2a-3b para:

a) a = 1 , b = 2 b) a = -1 , b = 2 c) a = 0 , b = -2 d) a = -1 , b = -1



11ºCalcula el valor numérico de x3-2y para:

a) x = 1 , y = 2 b) x = -1 , y = 2 c) x = 0 , y = -2 d) x = -1 , y = -1



12º Calcula el valor numérico de (a+2b)2 para:

a) a = 1 , b = 2 b) a = -1 , b = 2 c) a = 0 , b = -2 d) a = -1 , b = -1



13ª Calcula el valor numérico de (a+3b)·(a-2b) para:

a) a = 1 , b = 2 b) a = -1 , b = 2 c) a = 0 , b = -2 d) a = -1 , b = -1



14º Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:


Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0

Resultado

3a2-2ab+c-d









4 ab – 3 bc – 15d







6a3f-3ac







3a2-2bc+d3-3f































9.2 Monomios

Definición de monomio


Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2 y3 zparte literal


Partes de un monomio

Coeficiente


El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal


La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado


El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6


Monomios semejantes


Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplo: 2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z


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