Cuaderno de apoyo



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8.7 Reparto directamente proporcional:

Cuando la proporcionalidad es directa.

Supongamos que queremos repartir una magnitud A de forma directamente proporcional a las magnitudes b1, b2, b3….

Sea A 1, A2, A3… la parte que corresponde a b1, b2, b3 … respectivamente. Se tiene que:

A 1+ A2+ A3… =A

Además como el reparto es directamente proporcional:


Entonces, A 1=k b1 ; A2=k b2 ; A3=kb3



Ejemplo

Tres almacenistas de madera, importan conjuntamente de guinea madera por valor de 24300€. El primero se queda con 210 m3, el segundo con 330 m3 y el tercero con 270 m3. ¿Cuánto debería pagar cada uno?

Suponemos que el dinero debe repartirse de manera directamente proporcional a la cantidad de madera comprada por cada uno de ellos ( el que más ha comprado más paga). Llamemos A1, A2 y A3 a las cantidades que debe pagar cada uno, es decir,

A 1+ A2+ A3=24300.

A 1=k b1 ; A2=k b2 ; A3=kb3 A 1= 210 k; A2=330k; A3=270k

Siguiendo los pasos explicados antes se obtiene que


Y ya podemos determinar la cantidad que debe pagar cada uno

A 1= 210 k=210·30=6300€; A2=330k=330·30=9900€; A=270k=270·30=8100€



El primero tiene que pagar 6300€, el segundo 9900€ y el tercero 8100€.

Ejercicios

  1. Un señor, al morir, deja de herencia 178200 € a sus tres hijos. En el testamento considera que, de ellos, el que tiene más hijos, necesitará más dinero, por lo que decide hacer el reparto con arreglo al número de nietos. Sabiendo que éstos son 6, 3 y 2, hallar lo que le corresponde a cada uno de los herederos.

  2. Un padre decide repartir entre sus hijos 159 € a la semana en razón directa a las edades de cada uno (23;18;12 años). ¿Cuánto corresponde a cada hijo semanalmente?.

  3. Un señor posee tres fincas de 50; 30 y 16 Ha. Desea invertir 86.592 € anuales entre las tres en razón directa a su extensión. ¿Cuánto invertirá al año en cada finca?.

  4. Un padre, para estimular a sus hijos en el estudio, decide repartir 36 € a la semana con arreglo al número de problemas bien resueltos que le presenten. Sabiendo que éstos han sido 9; 6 y 3, hallar el dinero que recibe cada uno.

  5. Tres amigos compran lotería de Navidad poniendo cada uno 25, 13 y 18 € . En el sorteo sale agraciado el número con 56.000 € ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.

  6. Tres amigos juegan a las quinielas aportando cada uno 8 , 18 y 24 euros. Les resulta premiado el boleto con 6.250 € . ¿Cuánto cobrará cada uno?.

  7. Tres socios deciden repartir al final de año las ganancias de la empresa que ascienden a 55.986 €. Al iniciarse el negocio pusieron cada uno 4.500 ; 9.120 y 13.040 euros. ¿Cuánto ha ganado cada uno?.

  8. En un Colegio se organizan grupos de 10, 12 y 8 alumnos para formar tres disciplinas deportivas. Para gastos de equipación (supuesto el mismo para cada alumno) la Dirección concede 1.335 €. ¿Cuánto le corresponderá a cada equipo?.

  9. La Directiva de un club de fútbol decide repartir una prima extra de 63.360 euros entre los tres máximos goleadores del equipo al finalizar el campeonato, con arreglo al número de goles conseguidos. Sabiendo que éstos han sido 12; 7 y 5, ¿cuánto le corresponderá a cada uno?.

  10. Tres socios deciden vender la empresa que constituyen por 187.680 euros. El capital aportado por cada uno de ellos ha sido el mismo pero lo han colocado en distinto período. Así, el fundador lo ha tenido 8 años; y los otros 6 y 2 años. ¿Cuánto recibió cada uno?.

  11. Se desea repartir una cierta cantidad entre tres personas en razón directa sus edades (25;32 y 43 años).Sabiendo que al de 32 años le han correspondido 1.984 euros se desea saber la cantidad a repartir y lo que le han correspondido a los otros dos.

  12. Un padre ha repartido dinero entre sus cuatro hijos proporcionalmente a sus edades (6;8;12 y 18años). Sabiendo que al benjamín le han correspondido 72 euros, hallar lo que le ha correspondido a cada uno de los otros y el total del dinero que repartió.

  13. Para un sorteo de lotería tres señores aportan cada uno 12 ; 27 y 39 euros. Al que puso 12 €le han correspondido 15.024 € . ¿Cuánto le corresponderá a los demás?. ¿En cuánto dinero ha sido premiado el billete?.

  14. Tres amigos participan en una carrera ciclista acordando repartirse las ganancias de todos y de acuerdo con lo aportado cada uno para gastos de participación (60 , 75 y 162 euros). Se sabe que el que aportó menos dinero recibió 180 euros. ¿Cuánto cobraron los otros y cuál es el total ganado por los tres amigos?

  15. Se reparte una cierta herencia entre tres señores en razón directa a sus edades (28; 36 y 48 años).

  16. El más joven recibió 11.760 euros ¿Cuánto recibieron los otros y cuál es el total de la herencia?.

8.8 Reparto inversamente proporcionales:


Cuando la proporcionalidad es inversa. Supongamos que queremos repartir una magnitud A de forma inversamente proporcional a las magnitudes b1, b2, b3 .., hacemos un reparto de la magnitud A directamente proporcional a

Ejemplo

En las fiestas de verano del pueblo se celebra una carrera, para la cual se destinan 330 € a repartir entre los tres corredores que acaben en los tres primeros lugares de manera inversamente proporcional al puesto que ocupa. ¿Cuánto dinero debe recibir cada uno de los tres clasificados?

Debemos repartir el premio en partes inversamente proporcional a 1, 2 y 3 (el que llega primero, el uno, recibe más) ; para ellos hacemos el reparto en partes directamente proporcionales a

Llamando A1, A2 y A3 a las cuantías de dinero que recibe cada uno y procediendo de igual forma que en el apartado anterior



Entonces



El primero recibe 180€, el segundo 90€ y el tercero 60€.

Ejercicios

  1. Un equipo compuesto por cuatro participantes ha sido premiado con 391 puntos. Cada uno de ellos ha ocupado los siguientes puestos en la clasificación: 3º, 6º, 8º y 12º. ¿Con qué puntuación ha contribuido cada participante?.

  2. Un padre reparte 75 euros semanales entre sus cuatro hijos dando menos dinero al que ha fallado más problemas de Química en dicha semana. Sabiendo que los muchachos han realizado mal 4, 6, 8 y12 problemas, ¿qué cantidad le corresponderá cada uno?.

  3. En una prueba de natación reciben premio cada uno de los cuatro participantes. La cantidad a repartir es de 6.864 euros y el tiempo empleado por cada nadador ha sido de 2, 3, 6 y 7 minutos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.

  4. Se desea repartir 38.527 euros entre tres participantes en una carrera ciclista. sabiendo que el tiempo que han tardado en el recorrido ha sido de 5, 6 y 8 horas, ¿cuánto le habrá correspondido a cada uno?.

  5. Tres socios constituyen una empresa aportando cada uno 3.000 ; 1.800 y 1.200 euros. Se produce la quiebra de la misma y han de satisfacer una deuda de 13.020 euros. ¿Cuánto ha de pagar cada uno?.

  6. Tres socios de una empresa acuerdan pagar los impuestos anuales en razón inversa al capital aportado por cada uno. Sabiendo que éstos han sido 6.000 , 12.000 y 18.000 euros, ¿cuánto tiene que cotizar cada uno si los impuestos totales ascienden a 6.600 euros?

  7. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

  8. Hay que repartir un premio de 3600 € entre dos personas cuyos sueldos mensuales son 1200 y 1600 €, de modo que quien menos gane reciba mayor gratificación (repartir 3600 € inversamente proporcional a los sueldos).

  9. Divide 3000 inversamente proporcional a 2, 3 y 5 primero, sin aplicar la constante de proporcionalidad y segundo, aplicándola.

  10. Tres amigos se reparten una pizza de forma inversamente proporcional a sus pesos que son respectivamente 60, 72 y 90 kilogramos. ¿Qué parte de pizza se debe comer cada uno?

  11. Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con 136 euros

  12. de propina de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Si uno ha faltado 3 días y otro 5, ¿cuántos euros corresponde a cada uno?

  13. Según un testamento, una fortuna de 65000 euros, se reparte entre tres personas en partes inversamente proporcionales al sueldo de cada una de ellas. Si los sueldos de estas personas son de 900, 1350 y 1800 euros, ¿cuánto le corresponde a cada una?

  14. Repartir 114 caramelos entre cuatro niños de forma inversamente proporcional a las edades de ellos que son de 3, 4, 5 y 6 años respectivamente.

  15. En una competición se van a repartir 174 puntos entre cinco participantes, en orden inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar la prueba. Si los participantes tardan 4, 6, 8, 10 y 12 minutos respectivamente, ¿cuántos puntos le corresponde a cada uno?

  16. Repartir 3100 € en partes inversamente proporcionales a los sueldos mensuales de 2, 3 y 5 (miles) i

  17. Un padre reparte entre sus tres hijos 420 € de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 3, 5 y 6 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos?

  18. Repartir 20.000 en partes inversamente proporcionales a 2, 4 y 8.




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