Cuaderno de apoyo



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Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta


Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente.

Ejemplos :

    1. 2×105 + 3×105 = 5×105 b)3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

c) 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105


Multiplicación


Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017

División


Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador).

Ejemplos:

        1. (4×1012)/(2×105) =2×107 b) (4×1012)/(2×10-7) =2×1019

Potenciación


Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

Radicación


Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

a)\sqrt{9\cdot 10^{26}} = 3\cdot 10^{13} b)\sqrt[3]{27\cdot 10^{12}} = 3\cdot 10^{4}



c)\sqrt[4]{256\cdot 10^{64}} = 4\cdot 10^{16}

1. ¿Cómo pasar un número muy grande a notación científica?

  • Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda.

  • Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

  • Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo.

Ejemplo: Poner en notación científica el número 3897000000000000

  • Parte entera: 3,897

  • Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince)

  • El número en notación científica sería: 3,897·1015


2. ¿Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica?

  • Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda.

  • Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales(dos o tres) con los siguientes dígitos.

  • Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.

Ejemplo: Poner en notación científica el número 0,000000000003897

  • Parte entera: 3,897

  • Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo dicha cifra)

  • El número en notación científica sería: 3,897·10-12


3. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente positivo a número normal?

  • Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez.

  • Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.

Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·1012

  • Ponemos 4,567

  • Movemos la coma hacia la derecha 12 lugares (después de la cifra 7 se añaden los ceros necesarios en este caso 9 ceros )

  • El número que queda es: 4567000000000


4. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente negativo a número normal?

  • Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez.

  • Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.

Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10-12

  • Ponemos 4,567

  • Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares (después de la cifra 4 se añaden los ceros necesarios)

  • El número que queda es: 0,000000000004567

Si todas las medidas de una misma magnitud están expresadas en notación científica, para compararlas sólo deberemos ver el exponente de la potencia de diez. Ese exponente representa lo que denominamos grado de magnitud.


Ejercicios


  1. Escribe en notación científica:




  1. 493 000 000

  2. 315 000 000 000

  3. 0,0004464

  4. 12,00056

  5. 253

  6. 256,256



  1. Escribe con todas sus cifras.



  1. 2,51 · 10 6

  2. 9,32· 10 -3

  3. 3,21 · 10 5

  4. 3,01 · 10 -6

  5. 2´14.10-3=

  6. 0´003. 10 3=

  7. 23567. 10-4=

  8. 45`84 . 10 -6

  9. 0´000053 .102=

  10. 72´578 . 103=



  1. Los siguientes números no están en notación científica. Escríbelos en dicha notación



  1. 12´14. 10 -3=

  2. 3´032. 103=

  3. 23567. 104=

  4. 45`84. 10-6

  5. 105´3. 10-2=

  6. 72´578. 103=




  1. Escribe en notación científica 52 billones

  2. Escribe en notación científica

  1. La capacidad de una gran computadora para almacenar datos es de quinientos billones de bytes.

  2. El radio del átomo de oxígeno mide sesenta y seis billonésimas de metro.

  3. La superficie de la Tierra es aproximadamente de quinientos diez millones de kilómetros cuadrados.

  4. La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo.

  5. El virus de la gripe tiene un diámetro en mm de cinco cienmilésimas.

  6. En la Vía Láctea hay aproximadamente ciento veinte mil millones de estrellas.

  1. Escribe en notación científica las siguientes cantidades



  1. 345 millones de litros

  2. 0,0000000745

  3. 35 cienmilésimas

  4. Siete billones de euros

  5. 0,00001234

  6. 25100000

  7. La décima parte de una millonésima

  8. 125100 000 000

  9. La décima parte de una diezmilésima.

  10. 0,0000000000127

  11. 5 billones de billón

  12. 60250000 000






  1. Resuelve las siguientes operaciones utilizando la notación científica.



  1. 7,77 · 109- 6,5 ·10 7

  2. 0,07 · 102+ 1,5 ·10 3

  3. 3,7 · 10-2+ 0,05 ·10 2

  4. (2,3 · 109)·(0,5 ·10 7)

  5. (7,5 · 102):( 2,5 ·10 -2)

  6. 5,07 · 104+ 1,6 ·10 2

  7. 0,03 · 10-4+ 8,5 ·10 -3

  8. (6,1 · 105)·(0,2 ·103)

  9. (1,8 · 104):( 0,6 ·10 2)

  10. 0,0000035 + 1,24 . 10-4 =

  11. 8567900 *4,5. 10-4 =

  12. 0,0024 / 1230 =

  13. 3,5 . 107 – 8903456 =

  1. 7,078 . 10-6 * 3,21 . 10-10 =

  1. 0,0012 – 0,0003 =

  2. 1 / 6,023 x 1023 =

  3. 1,4 . 1035 * 4,7 . 10-45 =

  4. 4560000000000 + 980000000000 =




  1. Calcula el término que falta en cada caso:

    1. (2,5 · 106) · ¿? = 8,4 · 105

    2. (3,6 · 1012) : ¿? = 2 ·1012

  1. En las siguientes expresiones escribe los números en notación exponencial y luego resuelve:



  1. 0,08 · 400

  2. 0,36 · 0,005 3) (0,0006)2

  3. (1200)-1 · 6000 5) (0,002)-2













  1. Opera
















  1. Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza una media de aproximadamente, 1,5 · 106 cabellos y que en el mundo hay, aproximadamente, 5 ·109 personas, ¿cuántos pelos hay en la Tierra?



  1. La siguiente tabla de información sobre nuestro sistema solar:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/tablapot3.gif

a) ¿Cuál es el planeta de radio menor?

b) ¿Cuál es el planeta que está casi 10 veces más lejano al Sol que la Tierra?

c) Calcula la distancia que hay entre Venus y la Tierra? Expresa el resultado en Km.

d) Imagina que se descubriese un nuevo planeta llamado Vallecus a 25.880.800.000.000 m. del Sol. Expresa esta distancia en notación científica.

¿Cuántas veces estaría más lejos del Sol que la Tierra?



  1. La distancia entre La Tierra y el Sol es 1,5 · 108 km, la distancia entre La Tierra y Júpiter es 9,3 · 108 km y Neptuno está situado a 4.500.000.000 km. del Sol.

    1. Expresa en notación científica la distancia del Sol a Neptuno.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/planetapot.gif

    2. Calcula la distancia a la que está situado Júpiter respecto del Sol.

    3. Calcula cuántas veces es mayor la distancia del Sol a Neptuno que la que hay a La Tierra.




  1. Un año–luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplaza en el vacío con una velocidad de 3 · 105 km/s, calcula a cuantos km equivale un año luz.




  1. El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes. ¿Cuánto crecerá, aproximadamente, en una hora?



  1. El presupuesto de un país es de quince trillones de euros., ¿cuánto tiene que aportar cada individuo en promedio si el país tiene doscientos cincuenta millones de habitantes? Teniendo en cuenta que un trillón equivale en español, a 1018, esto es, un millón de billones



  1. La edad del Sol es de aproximadamente 5. 10 9años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos?



  1. Se calcula que en la Vía Láctea hay aproximadamente 1,2 . 10 11estrellas. ¿Cuántos años le tomaría a una persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?

  2. En 18 g de agua hay 6,023 . 1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la masa en gramos de una molécula de agua?




  1. La masa de un virus del tipo A es de 2’8.10-18kg, mientras que la de otro virus del tipo B es de 4’7.10-20 kg.

¿Cuánto pesarán 123.000 virus del tipo A? ¿y 64.000 virus del tipo B?

8º Magnitudes proporcionaleshttp://www.webxprs.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/rebajas1.jpg

8.1 Proporcionalidad numérica

Definiciones:

  • razón: cociente entre dos números

  • proporción: igualdad entre razones

Ejercicios

  1. Busca los valores para que las siguientes proporciones sean ciertas:

, , ,

  1. Rellena los huecos que faltan y determina la constante de proporcionalidad:



  1. Por 10 céntimos de euro, Isabel recibe 6 caramelos de menta. María compró 15 caramelos por 25 céntimos. Antonio recibió 3 caramelos por 5 céntimos. ¿Quién los compró más caros?

  2. Aplica la propiedad fundamental y escribe V (verdadero) junto a las parejas que forman proporción y F (falso) junto a las que no la forman.

[....], [....], [....] [....], [....], [....]

5 Completa el valor que falta en las siguientes proporciones:























8.2 Magnitudes directamente proporcionales

Ejercicios


  1. Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

    1. El peso de unos bombones y el dinero que valen.

    2. La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.

    3. El número de hojas de un libro y su peso.

    4. El precio de una tela y los metros comprados.

    5. La edad de un alumno y su altura.




  1. En una fábrica de ladrillos, 5 ladrillos apilados ocupan 1 metro de altura. Completa la tabla con los valores correspondientes.

a) Indica si son magnitudes directamente proporcionales.

b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad.

c) ¿Qué altura ocuparían 100 ladrillos? ¿Y 500 ladrillos?


  1. El telesilla de una gran pista de esquí circula a 4 metros por segundo. Rellena la tabla de recorridos.

Tiempo (s)

5

15

50










600

Distancia (m)










500

800

2.000







  1. Antonio trabaja en la taquilla de un cine y tiene una lista con los importes de entradas. Se han borrado algunas cantidades. Ayúdale a rehacer la lista.




Entradas

1

2

3

4

5

Importe













21’00

  1. Indica cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales:

a) Cantidad de uva recogida y litros de vino producidos.

b) Espacio recorrido a velocidad constante y tiempo empleado en recorrerlo.

c) Cantidad de lluvia registrada y producción agraria.

d) Cantidad de remolacha vendida e importe obtenido por la misma.

e) Las horas que está funcionando un tractor y la cantidad de gasoil que gasta.

f) El número de trabajadores que hacen un edificio y el tiempo que tardan en acabarlo.

g) El número de amigos que hay en una fiesta y la parte de tarta que les corresponde.

h) El número de amigos que hay en una fiesta y el importe que debe pagar cada uno.




  1. La siguiente tabla muestra la producción de una máquina de tornillos según el número de horas de funcionamiento. ¿Son magnitudes directamente proporcionales? Completa la tabla.




Horas funcionando

1

5




13

Tornillos producidos




1.735

3.470






  1. Luisa y Ana tienen que pintar durante el verano la valla de la casa de sus abuelos. La valla tiene una longitud de 30 metros y su abuelo les ha dicho que por cada 6 metros que pinten les dará 5 €.




  1. Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes



b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad.

c) Si la valla tuviera 42 metros, ¿cuánto dinero ganarían Luisa y Ana?


  1. Con 200 kilogramos de harina se elaboran 250 kilogramos de pan.

a) ¿Cuántos Kg. de harina se necesitan para hacer un pan de 2 Kg.?

b) ¿Cuántos panecillos de 150 gramos se podrán hacer con 500 Kg. de harina?

Completa la tabla. ¿ Cómo son las magnitudes?


13 Un metro de cierto tejido cuesta 6 €. ¿Cuánto cuestan dos metros? ¿Cuántos metros nos darán por 72 €?

Comprueba que se trata de magnitudes proporcionales y completa la tabla



14 Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer?

Comprueba que se trata de magnitudes proporcionales y completa la tabla



8.3 Magnitudes inversamente proporcionales

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde menos.

A menos corresponde más.


Ejercicios


        1. Completa estas tablas de valores inversamente proporcionales



  1. La siguiente tabla muestra los pintores necesarios para pintar todas las habitaciones de un hotel y los días que tardarían. ¿Son magnitudes directamente inversamente proporcionales? Completa la tabla.




Nº. pintores

1

2




6

Dias necesarios

24




8




  1. Se quieren transportar 1.200.000 Kg. de patatas de un almacén a distintas tiendas. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg. ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar las patatas?. ¿Y si tuviéramos 3 camiones?

    1. Completa la siguiente tabla :

¿Cómo son las magnitudes?

  1. A 0º de temperatura, el volumen en litros, y la presión de un gas, medida en atmósferas, determinan la siguiente tabla:

    1. Completa la tabla


    2. ¿Cómo son las magnitudes?

  1. Diez hombres hacen una obra en 45 días. ¿Cuántos hombres se necesitarán para hacerla en 15 días? ¿Y en 90 días?.

  1. Completa la tabla


  2. ¿Cómo son las proporciones?



  1. Una piscina se llena en 12 horas con un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto

. a) ¿El número de litros que arroja el grifo por minuto y el tiempo que tarda en llenarse la piscina, son directamente o inversamente proporcionales?

b) ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arroja 360 litros por minuto?



  1. Doce camiones cisterna llenan un depósito en siete horas, ¿cuánto tiempo hubieran tardado en llenarlo entre dos camiones? ¿Y si hubieran sido tres camiones?


Completa la tabla

  1. Completa la siguiente tabla e indica si los pares de valores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales





  1. Escribe las proporciones de las siguiente tabla y estudia si son directa o inversas

8.4 Regla de tres simple directa

Ejercicios

  1. Quince hectáreas producen 90.000 kg de trigo. ¿Cuánto producirán 8 hectáreas del mismo rendimiento?

  2. El caudal de un grifo es de 22 litros/minuto. ¿Qué tiempo se necesitará para llenar un depósito de 5’5 m3?

  3. Cinco fontaneros instalan los cuartos de baño de una urbanización en 16 días. ¿Cuántos fontaneros debe emplear el constructor si quiere terminar la obra en 10 días?

  4. Isabel ha comprado al principio de curso 7 cuadernos que le han costado 6’30 euros. María compró 5 cuadernos. Calcula lo que pagó María.

  5. Antonio trabajó 6 días y cobró 190’20 euros. Esta semana ha trabajado 5 días. ¿Cuánto cobró?

  6. Quince hectáreas producen 90.000 kg de trigo. ¿Cuánto producirán 8 hectáreas del mismo rendimiento?

  7. El caudal de un grifo es de 22 litros/minuto. ¿Qué tiempo se necesitará para llenar un depósito de 5’5 m3?

  8. Si 4 pasteles cuestan 12 €, ¿cuánto costarán 6 pasteles? ¿Y 15 pasteles?




  1. Tres obreros realizan una zanja de 6 m en un día. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo,

¿cuántos metros de zanja abrirán en un día, si se incorporan 5 obreros más?

  1. El precio de 12 fotocopias es 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?



  1. Un excursionista recorre 10 km en 2,5 horas. Si mantiene el mismo ritmo ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas? ¿Y en 7 horas?



  1. Ignacio cobra 120 € por cada 5 días de trabajo. ¿Cuánto cobrará por 15 días? ¿Y por 20 días?



  1. Si 3 cafés cuestan 2,70 €, ¿cuánto costarán 5 cafés? ¿Y 10 cafés?



  1. Un bono de autobús con diez viajes cuesta 6 €. ¿Cuánto cuesta cada viaje? ¿Y cuánto costarán 3 bonos?



  1. Si 4 yogures valen 1,20 €, ¿cuánto cuestan 12 yogures? ¿Y 30 yogures?



  1. Isabel ha comprado al principio de curso 7 cuadernos que le han costado 6’30 euros. María compró 5 cuadernos. Calcula lo que pagó María.



  1. Antonio trabajó 6 días y cobró 190’20 euros. Esta semana ha trabajado 5 días. ¿Cuánto cobró?

8.5 Regla de tres simple inversa




Ejercicios

  1. Averigua el número de albañiles que realizarían el anterior trabajo si quisiéramos que lo acabasen en 5 días.



  1. Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 360 litros de agua cada minuto.

    1. ¿Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 270 litros por minuto?

b)¿Y si salieran 630 litros por minuto?

  1. Un ganadero tiene 36 vacas y pienso suficiente para alimentarlas durante 24 días. Si decide comprar 18 vacas más, ¿para cuántos días tendría pienso?



  1. Se está construyendo una autopista y hay que realizar un túnel en la montaña. Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 90 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, ¿cuántas máquinas harían falta?



  1. Tres pintores tardan 2 horas en pintar una valla. Si se incorpora un pintor más, ¿cuánto tiempo tardarán?



  1. Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuántos días tardarían 12 obreros?



  1. En recorrer una distancia un camión tarda 4 horas a una velocidad constante de 65 km/h.



  1. ¿Qué velocidad llevará un automóvil que recorre la misma distancia en la mitad de tiempo?¿Y una avioneta que emplease 45 minutos?

Ejercicios Reglas de tres directas e inversas

  1. Si 4 metros de hilo telefónico valen 32 euros, ¿cuánto costarán 7 metros?

  2. Si con 38 kilos de cebada obtenemos 3 cervezas, ¿cuántas cervezas saldrán de 114 kilos

  3. Un tren de alta velocidad va de Madrid a Sevilla en 2 horas a una velocidad de 150 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de 200 kilómetros por hora?

  4. Si 3 pares de zapatos cuestan 360 euros, ¿cuánto costarán 5 pares?

  5. Si leyendo a una velocidad de 120 palabras por minuto puedo leer una novela en 7 horas, ¿cuántas horas me costará leerla si leo a 84 palabras por minuto?

  6. Si 12 electricistas hacen una instalación en 60 días, ¿cuánto tardarán 3 electricistas?

  7. Un ganadero tiene comida para 75 cerdos durante 180 días. ¿Cuántos tendrá que vender para que le dure la comida un mes más sin variar la ración?

  8. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo

  9. El automóvil de Almudena gasta 8.3 litros de gasolina cada 100 Km. ¿Cuántos litros gastará en la ida y vuelta desde Oviedo a Llanera (9 Km)?

  10. Si 55 turistas tienen comida para 18 días, ¿para cuántos días habrá comida si se marchan 12 turistas?

  11. Una población ha consumido 28 dam3 de agua en 7 meses. ¿Cuántos dam3 consumirá en un año?

  12. Un camión que carga 1 tonelada necesita 14 viajes para transportar cierta cantidad de tierra. Si alquilamos otro camión que carga 1500 Kg, ¿cuántos viajes necesitaría este último?

  13. La población anterior se abastece de un embalse que contiene 122.5 dam3 de agua. ¿Para cuánto tiempo tiene reservas, aunque no llueva?

  14. Nueve picadores de una mina han necesitado 17 días para abrir un pozo. ¿Cuántos picadores se necesitarían para abrir otro igual en 10 días?

  15. Víctor es un ganadero que tiene 640 ovejas que puede alimentar durante 60 días. ¿Cuántas deberá vender si quiere darles de comer durante 74 días sin modificar la ración de cada animal?

  16. Con 1250 metros de tela, Sonia ha hecho 534 pañuelos, ¿cuántos pañuelos podrá hacer con 50 metros más de tela?

  17. Una fortaleza sitiada tiene víveres para 500 hombres durante tres meses. ¿Cuántos días podrán resistir con ración normal de comida si se incorporan 150 hombres?

  18. Si 21 obreros tardan 28 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán 2 obreros en realizar el mismo trabajo?

  19. Imagínate un coche que puede circular a velocidad constante durante un viaje. Si ha empleado horas en hacer el trayecto a una velocidad de 80 Km/h, ¿cuántas horas hubiera tardado circulando a 120 Km./h?

  20. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas

  21. Para transportar trigo se necesitan 25 camiones que empleando 12 días. Es necesario hacer el transporte en 5 días. Si todos los camiones hacen el mismo trabajo, ¿cuántos camiones se necesitarán?

  22. Un tren con 4 vagones tiene que hacer 6 viajes para transportar cierta mercancía. ¿Cuántos viajes tiene que hacer si se le añaden 3 vagones?

  23. Una estaca de 198 cm proyecta una sombra de 0.75 metros. Una torre, a la misma hora y en el mismo lugar, proyecta una sombra de 17.78 metros. ¿Qué altura tiene la torre?

  24. Un profesor reparte positivos en forma directamente proporcional al número de ejercicios presentados de forma voluntaria. Si una alumna que ha presentado 53 ejercicios le han puesto 10 positivos, ¿cuántos le pondrán a uno que presenta 7 ejercicios?

  25. Imagínate un coche que puede circular a velocidad constante durante un viaje. Si ha empleado horas en hacer el trayecto a una velocidad de 80 Km/h, ¿cuántas horas hubiera tardado circulando a 120 Km./h?

  26. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

  27. Cinco fontaneros instalan los cuartos de baño de una urbanización en 16 días. ¿Cuántos fontaneros debe emplear el constructor si quiere terminar la obra en 10 días?

  28. En un mapa 14 cm representan 238 km ¿Por qué longitud en el mapa vienen representados 306 km?

  29. Un empleado recibió 240 euros por 5 días de trabajo. ¿Cuánto recibirá otro empleado de igual sueldo por 7 días de trabajo?.

  30. Un propietario tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño 15 días más dando la misma ración?.

  31. Un grifo que da 18 litros/minuto emplea 28 horas en llenar un depósito. ¿Qué tiempo tardará si su caudal fuera de 42 litros/minuto?.

  32. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas?

  33. Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?

  34. Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar con 4,50€?

  35. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?

  36. Por 5 días de trabajo he ganado 390 euros. ¿Cuánto ganaré por 18 días?

  37. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media?

  38. - Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. ¿Qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?

  39. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

  40. Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión que carga5 toneladas?

  41. Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?

  42. Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas?

  43. - En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada?

  44. - Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?

  45. En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?

  46. ¿cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m?

  47. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho?

  48. Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo?

  49. Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km?

  50. Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros abandonan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan?

  51. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas?

  52. Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m

  53. Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero?

  54. Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?

  55. A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h?

  56. Unos 30 soldados cavan una trinchera en 5 días. ¿Cuántos días le costarán a 15 soldados?

  57. Unos 6 kilos de bombones cuestan 6,3 euros, ¿cuánto costarán 12 kilos?

  58. Un obrero fabrica 200 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas puede fabricar en 48 horas?

  59. Un pintor tarde 3 horas en pintar 30 cuadros. ¿Cuánto tardará en pintar 200 cuadros?

  60. Un montador cobra 72 euros por 40 horas de trabajo. ¿Cuánto cobrará por 80 horas?

  61. Con 12 kilogramos de manzanas se obtienen 7 litros de sidra. ¿Cuántos litros se obtendrán con 48 kg?

  62. Si 8 metros de cable cuestan 13 euros, ¿cuánto costarán 1

  63. Un coche de Teruel a Zaragoza tarda 3 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de 120 km por hora?

  64. Unos 5 albañiles tardan 45 días en hacer un chalet. ¿Cuántos días tardarán en hacerlo 15 albañiles?

  65. . Leyendo 20 páginas cada día terminé un libro en 33 días. ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 páginas diarias?

8.6 Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:


Regla de tres compuesta directa


regla de tres compuesta directa

Ejemplo


Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más euros flecha Directa.

A más horas, más euros flecha Directa.

9 grifos  flecha 10 horas flecha 20 €solución

15 grifos flecha 12 horas  flecha   x €
solución

Regla de tres compuesta inversa


regla de tres compuesta directa

Ejemplo


5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más díasflecha Inversa.

A más horas, menos díasflecha Inversa.

5 obreros  flecha 6 horas flecha 2 días

4 obreros flecha 7 horas  flecha   x días

operaciones

Regla de tres compuesta mixta


regla de tres compuesta

Ejemplo


Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos díasflecha Inversa.

A más horas, menos díasflecha Inversa.

A más metros, más días flecha Directa.

8 obreros    flecha 9 días flecha 6 horas flecha 30 m

10 obreros flecha x días flecha 8 horas flecha 50 m



resolución
Ejercicios
1) Para cavar una zanja de 30 m. de largo, 4 m. de ancho y 3 m. de profundo, 24 obreros han tardado 10 días trabajando 6 horas diarias. ¿Cuánto tardarán 25 obreros trabajando 8 horas diarias, para hacer una zanja de 25 m. de largo, 6 m. de ancho y 4 m. de profundidad?.

2) Se calcula que, para una travesía de 15 días, 28 tripulantes disponen de una ración diaria de alimentos de 3600 grs. Se unen a la expedición 2 tripulantes más, aumentándose el tiempo de travesía 18 días. ¿A cuánto habría que reducir la ración de alimentos?.

3) Para vaciar unos depósitos se utilizan 4 bombas que tardan 5 días al trabajar 4 horas al día. ¿ En cuánto tiempo se vaciarán si utilizamos el doble de bombas, funcionando 5 horas diarias?.

5) ¿Cuánto tiempo empleará un caminante para recorrer 750 km. andando 6 horas al día, habiendo tarda do 12 días para recorrer 350 km a 7 horas por día?.

6) ¿Cuál es el coste de 7 piezas de paño de 36 m de largo y 4 m de ancho sabiendo que 4 piezas de 25 m de largo por 3 m de ancho costaron 325 euros?.

7) Por el transporte de 925 kg a 47 km. se han pagado 1110 euros. ¿Cuánto costará el transporte de 1500 kg a doble distancia?.

8) Si 6 personas gastan 9.000 euros durante 20 semanas, ¿qué tiempo necesitarán 7 personas para gastar 6.300 euros con la misma velocidad?.

  1. Si 4 hombres ganan 1.080 euros en 12 días, ¿cuánto ganarán 6 hombres en 10 días?.



  1. Una familia de 9 personas puede mantenerse 8 meses con 17.280 euros. ¿Cuántas personas podrían mantenerse durante 16 meses con 92.160 euros con el mismo gasto diario?.

11)¿Cuántas horas durante 5 días tendrán que trabajar 28 operarios para igualar a 14 obreros que trabajan 10 horas durante 8 días?.

13) Un caminante recorre durante 7 días 140 km andando 7 horas diarias. ¿Qué distancia recorrerá en 21 días andando sólo 3 horas al día?.

15) Un albañil cobra 468 euros trabajando 8 horas diarias durante 15 días. ¿Cuánto recibirá por 7 horas diarias durante un mes (30 días)?.

17) Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos hay que añadir para que la obra se termine en 8 días?.

18) Cuatrocientos tripulantes tienen provisiones para 63 días, siendo la ración de 3.900 grs. ¿Cuál sería la ración para que duren 80 días y para 140 hombres más?.

19) Se ha realizado un trabajo por 32 hombres en 20 días de 450 minutos diarios. ¿Cuántos hombres se necesitarían para hacerlo en 8 días de 10 horas?.

20) Si 7 hombres ganan 5.670 euros en cierto tiempo. ¿Cuántos hombres ganarían 5.940 euros con el mismo jornal en 2/3 de tiempo?.

21) Una guarnición asediada de 600 hombres tiene provisiones para 35 días con cierta ración. ¿Para cuántos días habría provisiones si fuera reforzada la guarnición con 300 hombres y la ración se redujera hasta los 5/6 ?

22) 55 obreros trabajando 5 horas al día durante 36 días realizan un trabajo. ¿Cuántas horas diarias habrían de trabajar, durante 22 días, 18 obreros para realizar las 3/5 partes del trabajo?.

23) Una pieza de tela de una cierta longitud y anchura cuesta 324 euros. ¿Cuánto costaría otra de la misma clase si tuviese de anchura los 4/9 y de largo los 2/3 ?.

24) Tres técnicos trabajando en un proyecto 10 horas diarias han tardado 14 días. Por un error han de volver a hacer de nuevo sus 3/7 partes. ¿Cuántas horas han de dedicarle al día si han de acabar el proyecto en 5 días?.

25) Seis tejedores tejieron 60 m de tela de 1´50 m de ancho. ¿Cuántos metros tejerán 12 obreros de una tela de 2 m de ancho?.

26) Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

27)Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €. ¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?

28) Cinco máquinas embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?

29)Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto

tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?



30)Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días?

31) Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3 kg de pan. ¿cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes?

32) Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros .¿cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 0,5 m de ancho y 45 cm de profundidad?

33) Se han pagado $144 000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

34) Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias?

35) Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 l por hora?

36) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias?

37) Un socio que ha colocado $7000 durante 5 meses, ha ganado $1200. ¿cuál es el capital de un segundo socio que ganó $4200, si lo colocó durante 7 meses?

38) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días . Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido?

39) Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5000 ejemplares del primer tomo de una obra. ¿cuántas bobinas de 504 kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se necesitarán para imprimir 8000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo?

40)Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días

41) Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.


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