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Cono

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Se clasifican en


  • Cono recto, si el vértice equidista de la base circular

  • Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base

Cilindro

Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.

Un cilindro puede ser:


La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos. Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene que: C + V = A + 2

Ejercicios

Di, justificadamente, qué tipo de poliedro es cada uno de los siguientes:

¿Hay entre ellos algún poliedro regular?


Clasifica los siguientes poliedros:

( regular, irregular, cóncavo, convexo)





¿Con cuáles de los siguientes desarrollos se puede completar un poliedro?

Contesta razonadamente.


Dibuja el desarrollo de:

a) Un tetraedro regular de 3 cm de arista.

b) Un cubo de 3 cm de arista.

c) Un octaedro de 2 cm de arista



Dibuja el desarrollo plano de un prisma recto cuadrangular

en el que la arista de la base mide 3 cm, y la altura, 5 cm.



Dibuja un ortoedro cuyas dimensiones sean 6 m, 3 m y 4 m, y dibuja una diagonal. Calcula la longitud de dicha diagonal.

Dibuja un tetraedro y comprueba el teorema de Euler en él.

Dibuja un prisma pentagonal y comprueba el teorema de Euler en él.

Dibuja un prisma oblicuo de base triangular10º

10º El número de vértices de un prisma es 20 ¿Cuántas caras tiene?

11º ¿Puede existir un poliedro regular cuyas caras sean octógonos?

12º Un prisma tiene 18 aristas. ¿Qué polígono tiene por bases?

13º ¿Cuántos lados como máximo puede tener como máximo las caras de un poliedro regular?

14º Un prisma tiene 9 caras. Por tanto es un prisma…

15º Un prisma tiene 15 vértices, por lo tanto las bases son…
16º Preguntas tipo test sobre primas


1. En los prismas inclinados:

a. Todas las caras son rectangulares.

b. Alguna cara puede ser un rectángulo.

c. Ninguna cara puede ser rectangular.




2. Un ortoedro tiene:

a. Todas sus caras pentagonales.

b. Todas sus caras iguales.

c. Todas sus caras perpendiculares entre sí.




3. Un cubo es:

a. Un pentaedro.

b. Un tetraedro.

c. Un exaedro



4. Si las caras laterales de un prisma son rectángulos:

a. Es recto.

b. Es oblicuo.

c. Es un ortoedro



5. Todos los prismas tienen:

a. El doble de vértices que lados tiene una base

b. El mismo número de vértices que lados tiene una base

c. Tantos vértices como números de lados de una base más dos.



6. Los paralelepípedos:

a. Pueden ser prismas triangulares.

b. Han de ser prismas cuadrangulares

c. No tienen por qué ser prismas cuadrangulares..




7. Si las bases un prisma son rectángulos:

a. Puede ser un romboedro.

b. Es recto.

c. Puede ser oblicuo.




8. Un prisma pentagonal tiene:

a. Quince caras, diez aristas y siete vértices.

b. Diez caras, siete aristas y quince vértices

c. Siete caras, quince aristas y diez vértices




17º . Comprueba que se cumple la relación de Euler en una pirámide cuya base es un octógono.

18º Comprueba que se cumple la relación de Euler en el icosaedro.

19º . Comprueba que se cumple la relación de Euler en el dodecaedro.

20º Un poliedro tiene 20 caras y 36 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?

21º Un poliedro tiene 21 caras y 40 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?

22º. Si cogemos un rectángulo ¿se obtiene el mismo cilindro doblándolo por la base o

por la altura?



23º. Queremos construir un bote cilíndrico que tenga 9 cm de alto y el radio de la base mida 1,5 cm. Dibuja su desarrollo plano.

24º Dibuja el desarrollo de un cono con radio de la base 5 cm. y de generatriz 10 cm.

25º Cogemos un triángulo de base 4 cm. y altura 8 cm. Al girarlo sobre la altura obtenemos un cono. ¿Cuánto mide su generatriz?

26º El desarrollo plano de la cara lateral de un cono ¿Puede ser un círculo completo?

27º Al girar un cuarto de círculo por uno de los radios que lo limitan ¿Qué figura obtenemos?

28º Al girar un círculo alrededor de un eje exterior a él ¿Qué figura obtenemos?

17º Áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos

..





Ejercicios
Calcular el área lateral y el área total de un prisma triangular de 40 centímetros de altura y 25 centímetros de arista de la base.

Calcular el área lateral y el área total de un prisma de base cuadrada de 36 centímetros de altura y 21 centímetros de arista de la base.

Calcular el área lateral y el área total de un prisma hexagonal de 10 centímetros de altura y 10 centímetros de arista de la base.

Calcula el área lateral y el área total de una pirámide hexagonal de 30 cm de arista lateral y 12 cm de arista de la base.

Calcula el área lateral y el área total de un tronco de pirámide pentagonal de 15 cm de arista lateral y 18 y 24 cm de aristas de las bases respectivamente. Las apotemas de las bases miden 12,39 y 16,52 cm respectivamente

Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 19 cm de altura y 7 cm de radio de la base.

Calcula el área lateral y el área to tal de un cono de 40 cm de altura y 9 cm de radio de la base.

Calcula el área lateral y el área total de un tronco de cono de 22 cm de altura, 18 cm de radio de la base menor y 24 cm de radio de la base mayor.

Calcula el área de una esfera de de 1 metro de radio.

10º Calcular el área total de las siguientes figuras




11º Una lata de conservas tiene 16,6 cm de altura y 8,4 cm de radio de la base. ¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?

12º Se quiere tratar dos depósitos con pintura antioxidante. Los depósitos tienen 7,3 metros de alto y 9,7 metros de radio de la base. El precio por pintura de cada metro cuadrado es de 39 euros. ¿Cuál es el precio final de la pintura, sabiendo que sólo se pinta la base superior de cada uno?

13º Una copa tiene forma de cono de 10,2 cm de generatriz y 9,5 cm de diámetro de la circunferencia superior. La base es una circunferencia de 4,9 cm de radio. Cada vez que se limpia, ¿qué superficie de cristal hay que limpiar?

14º a) Calcula la superficie de una pelota de 5 cm de radio.

b) Calcula la superficie de una pelota de radio doble de la anterior.

c) Calcula la superficie de una pelota de radio 10 veces mayor que la primera.

15º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 10 cm de lado

16º Halla el área total y el volumen de un prisma de base pentagonal (4 m de lado y 3 de apotema) y 10 m de altura.

17º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen de un prisma de base hexagonal (10 cm de lado de la base) y 25 cm de altura.

18º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen del siguiente prisma cuyas bases son triángulos equiláteros

19º Una piscina mide 20 m de largo, 5 m de ancho y 2,5 m de alto.

a) Calcula la capacidad de la piscina en litros

b) Si pintamos las paredes y el suelo de la piscina y nos cuesta 0,5 euros el m2 ¿Cuánto nos cuesta pintar la piscina?

20º En un prisma regular de base cuadrada de 8 cm de lado de la base y 10 cm de altura, calcule:


a) Diagonal de la base.

b) Diagonal del prisma.

c) Volumen del prisma.

d) Superficie total



.

21º Un carpintero me cobra 5 euros el metro cúbico de madera. Si necesito un tablero que mida 3 metros de largo, 2 metros de ancho y 10 centimetros de grosor.

a) Dibuja el tablero

b) ¿Cuánto me cuesta el tablero?

22º La pared de una presa tiene 96,8 m de altura, 9,8 de largo y 7,6 m de ancho. Si cada metro cúbico de piedra pesa 3 toneladas y cada kg. cuesta 0,05 euros. ¿Cuál es el coste de la piedra empleada en construir la presa?.

23º La señora García quiere cambiar las puertas de su casa. Las nuevas puertas miden 2 m de alto, 80 cm. de ancho y 4 cm. de espesor. Necesita cambiar 8 puertas. El carpintero le cobra 200 euros por instalar cada puerta, 6 euros por m2 en concepto de barnizado, más el coste de la madera, que es de 300 euros el m3.

a) Calcule el coste de la madera de cada puerta más su instalación.

b) Calcule el coste del barnizado de cada puerta, si solo se cobra el barnizado de las dos caras principales.

24º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen del siguiente cilindro:

¿Cuántos litros de agua cabrán en un deposito igual que este cilindro?



25º Halla el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 11,12 cm de altura y 8,6 cm de diámetro.

26º Halla la capacidad, en litros, de un depósito cilíndrico cuya circunferencia de la base (longitud de la circunferencia) mide 21, 98 m y la altura 6,3 m.

27º Halla la altura de un cilindro cuyo volumen es 825,192 cm3 y el radio de la base 6 cm.

28º Averigua cual es el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuya área de la base mide 50,24 cm2 y la altura 8,5 cm.

29º La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 dm de lado. Su altura es de 4 dm. Halla su área total y su volumen.

30º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide pentagonal, sabiendo que su base es un pentágono de 10 cm de lado y 8,5 de apotema, y que la altura de la pirámide mide 45 cm.

31º Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 6 cm. y la apotema mide 10 cm.

32º Calcula las hectáreas de terreno que ocupa la pirámide del problema anterior.

33º Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado y su arista lateral es de 29 cm.

34º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen del siguiente cono:

35º Halla el área de la base, el área lateral, el área total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de su base es de 2,5 cm.

36º Halla el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 2,4 cm de altura y cuyo radio de la base mide 1cm.

37º Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 6 cm y la altura 4,8 cm.

38º Calcula el volumen de un cono cuya longitud de la circunferencia de la base mide 75,36 cm y su área lateral es 753,6 cm2 .

39º Halla el área y el volumen de la siguiente esfera (radio = 10 m):

40º Halla el área y el volumen de una esfera de 10 cm de diámetro

41º Halla el área y el volumen de una esfera cuya circunferencia máxima (longitud de la

circunferencia mide 47,1 cm). 4)



42º Halla el radio de una esfera cuyo volumen es 113,04 cm3 .

43º Si el área de una esfera es 100 cm2 determina su diámetro

44º Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos






45º Calcula el volumen de los siguientes cuerpos


























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18º Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones

efinición de variable



Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

  • Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

Por ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

  • Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Tipos de variables cuantitativas

  • Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.

Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

  • Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.



Tipos de frecuencias

-Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

-Frecuencia relativa Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

-Frecuencia acumulada Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.

-Frecuencia relativa acumulada: Es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Marca de clase:Es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
Gráficos estadísticos

-Diagrama de barras: Se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

-Polígonos de frecuencia: Se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos

-Diagrama de sectore: Se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

- Histograma: Es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.La medidas de centralización son:

-Media aritmética: Es el valor promedio de la distribución. La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. es el símbolo de la media aritmética.

Para calcularla



media Para datos agrupados media

- Mediana: Es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.



Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.



- Moda: Es el valor que más se repite en una distribución.,la moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.




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