Construcciones geométricas doblando papel



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Ejercicios sobre papel cuadriculado

  1. H
    allar puntos alineados con dos pertenecientes a la trama (alargar una recta):

Vemos como se viaja de A a B en el papel cuadriculado teniendo en cuenta el signo del movimiento tanto en horizontal como en vertical. En nuestro dibujo de A a B pasamos avanzando 5 (+5) y bajando 2 (-2). Para buscar otro punto de la recta desde B volvemos a avanzar 5 y bajar 2. Si queremos cambiar el sentido de dibujo de la recta cambiamos los dos signos en la forma de movernos (desde A retrocedemos 5 (-5) y subimos 2 (+2) ). (Observemos que si los dos desplazamientos tienen factor común , podemos dividirlos por éste, obteniendo puntos alineados de la trama más próximos).

  1. T
    razado de la recta paralela a la anterior desde otro punto P de la trama:

  2. Punto medio de dos puntos de la trama:

Se mide la mitad de los desplazamientos desde un punto hasta el otro. El punto medio puede no estar en la trama de la cuadrícula ( entonces estará en la mitad de un lado o en el centro de un cuadradito).

  1. Simetría de un punto P de la trama respecto a un punto medio O de dos de la trama:


Se actuará como en el caso 1, midiendo en horizontal y vertical desde P hasta O,

pudiendo ser las medidas mitades de enteros, pero sabiendo que el punto de llegada

será un punto de la trama.
5. Trazar desde un punto P de la trama la perpendicular a una recta r que pasa
por dos puntos A y B de la trama:
Mediremos los desplazamientos en horizontal y vertical desde A hasta B,
cambiaremos las medidas entre sí y una de ellas de signo, y las aplicaremos así
desde P. Si nos alejamos de r al movernos, cambiaremos el sentido del
movimiento (es decir, los signos de los desplazamientos).




De paso resolvemos el problema de la proyección Q


de P sobre la recta r como intersección de rectas,
aunque la solución desde el punto de vista de la
cuadrícula (coordenadas) puede no ser buena.



  1. Punto simétrico de un punto P respecto a una recta r que pasa por dos puntos A y B de la trama:

Una vez hallada la proyección Q de P sobre la
recta r se corta la perpendicular trazada desde
P con la circunferencia de centro Q y radio
QP, o se mide con regla desde Q hasta P y se
lleva esta medida en sentido contrario desde Q
sobre la perpendicular citada (no es un
ejercicio puro de papel cuadriculado. Sí lo es si
la recta r es una diagonal de la cuadrícula).



  1. Recta simétrica respecto a una diagonal de la cuadrícula de una recta r que pasa por dos puntos A y B de la trama:

Hallamos los puntos simétricos de A y B respecto a la diagonal y alargamos la recta que pasa por ellos.

Es importante observar cómo cambian los valores de los desplazamientos entre una recta y su simétrica respecto a una diagonal.

Ejercicios sobre papel cuadriculado

Ficha del profesor (pautas a marcar a los alumnos)

Construir un mosaico a partir de una loseta de forma cuadrangular que tenga sus vértices en la trama del cuadriculado.

Primero elegiremos un cuadrilátero convexo (es más sencillo - pero no imprescindible -que las diferencias de “coordenadas” de los vértices sean pares) y a través de la cuadrícula localizaremos los puntos medios de los lados. A partir de uno de esos puntos medios construimos un polígono simétrico al dado.





Apliquemos a nuestro cuadrilátero original otra

simetría respecto al punto medio de otro lado.

Obtenemos un cuadrilátero trasladado del

segundo. En efecto la composición de dos

simetrías centrales equivale a una traslación de

vector el doble del que une los centros de

simetría (es decir una diagonal del cuadrilátero).

Ahora podemos resolver nuestro enlosetamiento

de forma más cómoda mediante traslaciones.









Si ahora dibujamos sobre las losetas el paralelogramo que une los puntos medios de sus lados, podemos observar cómo los triángulos sobrantes se agrupan alrededor de los vértices del embaldosado, cubriendo los paralelogramos en las dos soluciones posibles (vértices S y T )


P

odemos repetir el ejercicio con un cuadrilátero no convexo:

Podemos también introducir los paralelogramos de los puntos medios aunque la visión resultante es más confusa, ya que ahora hay tres triángulos sobrantes y uno por defecto.


Llevando la pieza aparte se observa que el


paralelogramo se obtiene sumando los tres
triángulos excedentes y restando el que falta, por lo
que el área del paralelogramo sigue siendo la mitad
de la del cuadrilátero.


Triángulos pitagóricos

 Se conocen con este nombre los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen medidas enteras. El más pequeño es el de lados 3, 4 y 5. En estos triángulos la comprobación del teorema la podemos hacer a través de la unidad de medida cuadrada.

En papel cuadriculado, tomando como unidad la longitud de dos cuadrículas (sino el dibujo sale demasiado pequeño) haz el siguiente dibujo:

Podemos ya razonar que el área del cuadrado hipotenusa es 25. Basta con considerar el siguiente reparto de este cuadrado, y bien medir las áreas de los triángulos con fórmula, o considerar éstas como mitades de rectángulos cuadriculados.




Si prefieres ver el cuadrado hipotenusa cuadriculado con una cuadrícula paralela a sus lados, hazte en papel cuadriculado un cuadrado de lado 5, recórtalo y ponlo encima del cuadrado hipotenusa. Verás como encaja perfectamente y podrás hallar su área contando cuadraditos.

 Hay infinitos cuadrados pitagóricos. El siguiente en tamaño es el de lados: 6, 8 y 10, pero es semejante el dibujo al anterior (incluso es el dibujo anterior si consideramos la unidad de medida la de un lado de la cuadrícula). Así que repite el experimento con el de lados: 5, 12 y 13, aunque ahora con la unidad el lado de la cuadrícula.

Todos los triángulos pitagóricos responden a las siguientes fórmulas:



a = p . (m2 - n2 )

b = p . (2.m.n)

c = p . (m2 + n2 )

donde puedes dar a m, n y p los valores enteros positivos que quieras.

Descubre 5 triángulos pitagóricos nuevos primitivos ( es decir que además sus lados no tengan factor común; p por lo tanto debe valer 1).

La demostración china del teorema de Pitágoras

 Lo que hoy se conoce como la demostración china del teorema de Pitágoras, ha quedado como prototipo de las “demostraciones sin palabras”. Por ello en principio pocas palabras deberemos emplear para convencerte. Sobre papel cuadriculado, con las medidas enteras a y b en cuadrícula que quieras, realiza los dos siguientes dibujos:


Fíjate primero que en el dibujo de la izquierda podemos ver un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c.

¿Verdad que resulta fácil razonar que las regiones sombreadas en los dos dibujos son iguales en área?; es decir que a2 + b2 = c2 . ¿Qué línea falta por dibujar?

Puzles pitagóricos

Ficha del profesor (pautas a marcar para los alumnos)

Se trata no sólo de interpretar el teorema de Pitágoras en forma de relación de áreas, sino de trocear (en un número finito de piezas) los cuadrados catetos y construir con estos trozos el cuadrado hipotenusa. Ambas situaciones no son equivalentes. Las célebres lúnulas de Hipócrates tienen la misma área que el triángulo rectángulo asociado, sin embargo es imposible hacer un puzle finito que transforme aquellas en éste.

Las lúnulas de Hipócrates

El triángulo rayado tiene la misma área que las


dos lunas rayadas (basta con comprobar que si
a ambos dibujos les añadimos los segmentos
circulares en blanco, las áreas son iguales).
Este resultado alentó sin duda a los buscadores
de la cuadratura del círculo. Sí es posible con
regla y compás “transformar” figuras curvas
en rectilíneas, pero no siempre con un puzle
finito o recortable.

P
uzle de la demostración china del teorema de Pitágoras

L
a igualdad de la suma de los cuadrados catetos con el cuadrado hipotenusa queda probada porque las superficies añadidas a los cuatro triángulos rectángulos iguales nos dan el mismo cuadrado marco. El puzle se obtiene sin más que superponer un dibujo en otro, obteniéndose los cinco trozos en que deben dividirse las figuras, si bien no es posible mantener la pieza 2 sin mover de uno a otro dibujo (salvo que añadamos un nuevo corte). Sí lo podemos hacer si cambiamos el primer dibujo.

En el tercer dibujo las piezas las piezas 2 y 3 se mantienen en su posición.

Este tercer dibujo nos proporciona un puzle mínimo de transformación de dos cuadrados en uno solo.





Puzle basado en la demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos de Euclides


En esa demostración, basada en la figura de la
izquierda (construida a partir del triángulo
rectángulo
ABC y fácilmente realizable en
papel cuadriculado), se razona que los dos
cuadriláteros destacados son equivalentes en
área, lo cual hace que lo sean sus figuras dobles,
y descontando de éstas los dos triángulos
rectángulos compartidos obtenemos el teorema

de Pitágoras.


Nuestra intención es la transformación en puzle


aprovechando las líneas trazadas y añadiendo
algunas más.

Prolonguemos líneas y tracemos paralelas aprovechándonos del papel cuadriculado:




Ya tenemos casi todas las líneas marcadas. ¡Terminado!



Observemos que el triángulo ABC queda a su vez dividido en las piezas 1 y 4 .

(Los alumnos pueden recortae las piezas de un figura y pegarlas sobre la otra)

Otro troceamiento del mismo dibujo

Recuperemos una figura anterior y marquemos ciertas líneas en el cuadrado hipotenusa.

Busquemos esas piezas en los cuadrados catetos:


Las nuevas líneas que hemos hecho aparecer
son paralelas a otras anteriores, trazadas desde
puntos conocidos, o unen puntos. Son fáciles
de dibujar a partir de papel cuadriculado, si los
cuadrados catetos se eligieron con medidas
“enteras”.

Aunque el puzle no lo exige, uno está tentado

de dividir dos piezas en el cuadrado

hipotenusa para que el dibujo tenga simetría

de rotación, y poder ver un alegre molinillo.

El problema al revés. Trocear un cuadrado para formar dos

La solución más fácil es conseguir dos cuadrados iguales:

Esta solución resulta familiar a los que


hacemos un poco de papiroflexia.
Incluso uno está tentado de doblar las
esquinas hacia el centro y obtener

un cuadrado doble.


Veamos de qué manera podemos generalizar esta partición y ese movimiento.





Partimos de un cuadrado y tomamos un punto A en uno de

los lados, que transmitimos ( B, C, D ), por rotación de 90º
desde el centro, a los otros lados. Unimos los puntos
opuestos y obtenemos una división del cuadrado en cuatro
cuadriláteros iguales con dos ángulos opuestos rectos.Vamos
a hacerlos girar alrededor de las diagonales punteadas.


Obtenemos un nuevo cuadrado más grande, que


está descompuesto en los en los cuatro cuadriláteros
anteriores y otro cuadrado central.

Tenemos así, a posteriori, un cuadrado troceado de


forma que podemos formar dos cuadrados (uno de
ellos de una sola pieza). Si miramos bien la
solución podemos obtenerla a priori.
Partamos de un cuadrado, los puntos medios de los lados (A, B, C y D) y otros cuatro puntos (M, N, P y Q) en éstos con simetría de rotación de 90º.

Unamos estos puntos según se ve en la figura. Y


busquemos, entre los trozos formados, los
cuadriláteros que tienen como vértices opuestos dos
puntos medios contiguos, y los otros dos vértices
con su ángulo recto.



Si ahora queremos recomponer el cuadrado que se forma con los cuatro cuadriláteros, mantengamos uno de ellos fijo y a través de la cruz de brazos iguales:XD, XC, XS, XT,

y alargando o trazando paralelas por los extremos de la cruz obtenemos el resultado:





El dibujo puede hacerse sobre papel cuadriculado, y sobre el mismo cuadrado base ir moviendo la posición del punto M que se puede hacer variar desde la posición de A hasta B. Vemos como cambia la descomposición del cuadrado en dos.




S
i queremos hacer ahora patente la relación pitagórica entre los tres cuadrados bastará añadir algunas paralelas por los vértices de un lado del cuadrado base (cuadrado hipotenusa), aunque el cierre de los cuadrados catetos no salga bien con el papel cuadriculado, por lo que hay que acabar midiendo (o transportando con compás) los lados.

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