Análisis Matemático II a 61



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Análisis Matemático II A (61.03)

PROGRAMA ANALÍTICO

1. Espacios n-dimensionales


Conjuntos abiertos y cerrados. Entorno. Frontera. Puntos de acumulación. Conjuntos conexos y simplemente conexos  Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel. Límites bidimensionales. Límites radiales. Relación entre ambos. Continuidad de funciones de dos variables.

2. Diferenciación


Derivada de un campo escalar respecto a un vector. Derivadas parciales.  Continuidad  y derivabilidad. Derivada direccional. Definición de función diferenciable  Campos escalares y vectoriales. Vector gradiente. Teorema del valor medio. Plano tangente y recta normal. Derivada de funciones vectoriales. Matriz Jacobiana. Composición  de  funciones. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Jacobianos

3. Extremos relativos


Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz.  Diferenciales totales sucesivas. Fórmula de Taylor. Puntos estacionarios. Extremos absolutos y relativos. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente. Hessiano. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

4. Curvas y superficies


Curvas de Jordan. Puntos singulares. Longitud de arco. Parámetro intrínseco. Triedro de Frenet.  Expresiones explícitas de los elementos del triedro. Curvaturas de flexión y de torsión. Fórmulas de Frenet. Vector velocidad. Vector aceleración. Ecuaciones paramétricas de una superficie. Curvas sobre una superficie. Superficies de rotación. Conos y cilindros.

5. Integrales dobles y triples


Conjuntos de medida nula. Definición de integral doble. Propiedades. Aplicaciones geométricas y físicas. Cambio de variables en integrales dobles. Jacobiano. Transformaciones lineales. Coordenadas Polares. Integrales triples. Cambio de variables. Jacobianos. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones geométricas y físicas.

6. Integrales de línea


Definición de integral de línea de campos escalares y vectoriales. Propiedades. Invariancia por cambio de parámetro. Trabajo. Campos de gradientes. Propiedades. Función potencial. Su determinación. Condición necesaria y suficiente para la existencia de una función potencial. Ecuación diferencial total exacta. Teorema de Green. Su extensión a recintos múltiplemente conexos.

7. Integrales de superficie


Definición de elemento de área. Área de una superficie en R3. Orientación de una superficie.  Flujo de un campo vectorial. Distintas expresiones para la integral de superficie.

8. Análisis vectorial


Definición de divergencia y rotor de un campo vectorial. Operador nabla. Campos solenoidales e irrotacionales. Funciones armónicas. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Aplicaciones.

9. Ecuaciones diferenciales


Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones a variables separables . Modelos lineales. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones diferenciales  de segundo orden. Casos de reducción del orden. Modelos lineales. Sistemas de ecuaciones lineales.
 
 

PROGRAMA SINTÉTICO

- Elementos de topología. Conjuntos de nivel. Funciones vectoriales.


- Límite y continuidad para funciones de varias variables.
- Diferenciabilidad. Derivadas direccionales. Gradiente.
- Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados.
- Integrales múltiples.
- Curvas. Integrales de línea.
- Superficies. Integrales de superficie.
- Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss
- Ecuaciones diferenciales.

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