Algebra y tigonometria



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Divisor de cero De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En álgebra abstracta, un elemento no nulo a de un anillo A es un divisor de cero por la izquierda si existe un elemento no nulo b tal que ab = 0.

Los divisores de cero por la derecha se definen análogamente.

Un elemento que es tanto un divisor de cero por la izquierda como por la derecha recibe el nombre de divisor de cero.

Si el producto es conmutativo, entonces no hace falta distinguir entre divisores de cero por la izquierda y por la derecha.

Un elemento no nulo que no sea un divisor de cero ni por la izquierda ni por la derecha recibe el nombre de regular.

Ejemplos

El anillo Z de los enteros no tiene divisores de cero, pero en el anillo Z2 (donde la suma y el producto se realizan componente a componente), se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) como (0,1) son divisores de cero.

En el anillo cociente Z/6Z, la clase del 4 es un divisor de cero, ya que 3×4 es congruente con 0 módulo 6.

Un ejemplo de divisor de cero en el anillo de matrices de 2×2 es la siguiente matriz:



porque, por ejemplo,





Propiedades

Los divisores de cero por la izquierda o por la derecha nunca pueden ser unidades, porque, si a es invertible y ab = 0, entonces 0 = a-10 = a-1ab = b.

Todo elemento idempotente no nulo a≠1 es divisor de cero, ya que a2 = a implica que a(a - 1) = (a - 1)a = 0.

Los elementos nilpotentes no nulos del anillo también son divisores de cero triviales.

En el anillo de las matrices de n×n sobre algún campo, los divisores de cero por la izquierda y por la derecha coinciden; son precisamente las matrices singulares no nulas.

En el anillo de las matrices de n×n sobre un dominio de integridad, los divisores de cero son precisamente las matrices no nulas de determinante cero.

Si a es un divisor de cero por la izquierda y x es un elemento arbitrario del anillo, entonces xa es cero o bien un divisor de cero.

El siguiente ejemplo muestra que no se puede decir lo mismo de ax.

Considérese el conjunto de matrices de ∞×∞ sobre el anillo de los enteros, donde cada fila y cada columna contiene un número finito de entradas no nulas.

Éste es un anillo con el producto usual de matrices.

La matriz

es un divisor de cero por la izquierda y B = AT es, por tanto, un divisor de cero por la derecha.

Pero AB es la matriz identidad y, por tanto, no puede ser un divisor de cero.

En particular, concluimos que A no puede ser un divisor de cero por la derecha.

Un anillo conmutativo con 0≠1 y sin divisores de cero recibe el nombre de dominio de integridad o dominio integral.

Ecuación

Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión.

Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará inecuación

Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo).

La cosa era la incógnita.

La primera traducción fué hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa ( x) y así sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.

En efecto, la ecuación general de tercer grado:

... ax3 + bx2 + cx + d = 0

requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad.

Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia.

Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas.

Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia.

La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban.

Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas.

(Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes).

Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero.

El ganador se lo llevaba todo.

En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica.

La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética".

Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia.

Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias.

Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.

En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia:

Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n.

Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia.

Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino.

Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros.

Fue también un jugador inveterado, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado.

El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.

Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte).

Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa.

No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia.

También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana.

Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas mas complicadas que las de tercer grado).

Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.

En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen.

También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado.

Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo.

En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo.

Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas.

El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto.

Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas.

Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas:

Geometría analítica

y

Cálculo diferencial e Integral

que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua.

Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.

El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651- 1708) creyó haber encontrado un método general de solución.

Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares.

Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.

El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores.

Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de:


  • suma,

  • resta,

  • multiplicación,

  • división,

  • exponenciación

  • y raíces con exponentes enteros positivos,

Que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados.

Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución.

Lagrange dice en sus memorias:

"El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos".

Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones.

Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange,

"Un reto para la mente humana".

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente.

Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución.

Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas

Pero eso no es todo aún.

Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto.

El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.

Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:

Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales.

La pregunta era

¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no?

o en otras palabras:

¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales?

La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado

"Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales",

que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado.

El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general.

Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicados que se tenían que hacer.

(Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:

(a En el problema de la existencia de raíces (soluciones).

(b En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes.

(c En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.

Véase también

Ecuación de segundo grado

Ecuación de tercer grado

Ecuación de cuarto grado y Ecuación química

Álgebra de Heyting .

En matemáticas, las álgebras de Heyting son conjuntos parcialmente ordenados especiales que constituyen una generalización de las álgebras de Boole.

Las álgebras de Heyting se presentan como modelos de la lógica intuicionista, una lógica en la cual la ley del tercero excluido no vale, en general.

Las álgebras completas de Heyting son un objeto central de estudio en topología sin puntos.



Tabla de contenidos

1 Definiciones formales

2 Propiedades

3 Ejemplos

4 Referencias

Definiciones formales

Un álgebra de Heyting H es un reticulado acotado tal que para todo a y b en H hay un mayor elemento x de H tal que a ^ x ≤ b.

Este elemento se llama el pseudo-complemento relativo de a con respecto a b, y es denotado a=>b (o a⇒b).

Una definición equivalente puede ser dada considerando las funciones fa: H → H definidos por fa(x) = a^x, para algún a (fijo) en H.

Un reticulado acotado H es un álgebra de Heyting sii todos las funciones fa son el adjunto inferior de una conexión de Galois monótona.

En este caso los adjuntos superiores respectivos ga son dados por ga(x) = a=>x, donde => se define como arriba.

Un álgebra completa de Heyting es un álgebra de Heyting que es un reticulado completo.

En cualquier álgebra de Heyting, uno puede definir pseudo-complemento ¬x de un cierto elemento x haciendo ¬x = x=>0, donde 0 es el menor elemento del álgebra de Heyting.

Un elemento x de un álgebra de Heyting se llama regular si x = ¬¬x.

Propiedades

Las álgebras de Heyting son siempre distributivas.

Esto se establece a veces como axioma, pero de hecho se sigue de la existencia de pseudo-complementos relativos.

La razón es que siendo ^ el adjunto inferior de una conexión de Galois, preserva todos los supremos existentes.

Distributividad es precisamente la preservación de los supremos binarios por ^.

Además, por un argumento similar, la ley distributiva infinita siguiente se sostiene en cualquier álgebra completa de Heyting:

x ^ VY = V{x ^ y : y en Y},

para cualquier elemento x en H y cualquier subconjunto Y de H.

No toda álgebra de Heyting satisface las dos leyes de De Morgan.

Sin embargo, las proposiciones siguientes son equivalentes para todas las álgebras de Heyting H:

H satisface ambas leyes de De Morgan.

¬(x ^ y) = ¬x v ¬y, para todo x, y en H.

¬x v ¬¬x = 1 para todo x en H.

¬¬(x v y) = ¬¬x v ¬¬y para todo x, y en H.

El pseudo-complemento de un elemento x de H es el supremo del conjunto {y : y ^ x=0} y pertenece a este conjunto (es decir x ^ ¬x=0).

Las álgebras booleanas son exactamente esas álgebras de Heyting en las cuales x = ¬¬x para todo x, o, equivalentemente, en el cual x v ¬x = 1 para todo x.

En este caso, el elemento a = > b es igual al ¬a v b.

En cualquier álgebra de Heyting, el menor y mayor elementos 0 y 1 son regulares. Además, los elementos regulares de cualquier álgebra de Heyting constituyen un álgebra booleana.

Ejemplos

Cada conjunto totalmente ordenado que es un reticulado acotado es también un álgebra completa de Heyting, donde ¬0 = 1 y ¬a = 0 para todo a con excepción de 0.

Cada topología proporciona un álgebra completa de Heyting en forma de su reticulado de abiertos.

En este caso, el elemento A => B es el interior de la unión de Ac y B, donde Ac denota el complemento del conjunto abierto A.

No todas las álgebras completas de Heyting son de esta forma.

Estos temas se estudian en topología sin puntos, donde las álgebras completas de Heyting también se llaman marcos o locales.

El álgebra de Lindenbaum de la lógica intuicionista proposicional es un álgebra de Heyting.

Se define como el conjunto de todas los fórmulas de la lógica proposicional, ordenado via el condicional lógico: para cualesquiera dos fórmulas F y G tenemos F≤G sii F |= G.

En esta etapa ≤ es simplemente un preorden que induce un orden parcial que es el álgebra deseada de Heyting.

Referencias en ingles:

F. Borceux,Handbook of Categorical Algebra 3, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 53, Cambridge University Press, 1994.

G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keinel, J. D. Lawson, M. Mislove and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.



Álgebra de Lie

En matemáticas, un álgebra de Lie (nombrada así por Sophus Lie) es una estructura algebraica cuyo uso principal reside en el estudio de objetos geométricos tales como grupos de Lie y variedades diferenciables.



Tabla de contenidos

1 Definición

2 Ejemplos

3 Homomorfismos, subálgebras e ideales

4 Clasificación de las álgebras de Lie

5 Temas relacionados

Definición

Un álgebra de Lie g (la notación tradicional es , pero aquí usaremos consistentemente negrita) es un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo F (típicamente los números reales o complejos) junto con una operación binaria

[·, ·] : g × g -> g,

llamado el corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes:

es bilineal, es decir,

[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en F y todo x, y, z en g.

satisface la identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en g.

[x, x] = 0 para todo x en g.

Observe que las primeras y terceras propiedades juntas implican [x, y] = − [y, x] para todo x, y en g ("anti-simetría").

Observe también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, [[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]].

Ejemplos

Cada espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie abeliana trivial si definimos el corchete de Lie como idénticamente cero.

El espacio euclidiano R3 se convierte en un álgebra de Lie con el corchete de Lie dado por el producto vectorial.

Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [x, y] = x * y − y * x. esta expresión se llama el conmutador de x y y.

Inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en otra que surja de un álgebra asociativa de esa manera.

Otros ejemplos importantes de álgebras de Lie vienen de la topología diferencial: los campos vectoriales en una variedad diferenciable forman un álgebra de Lie infinito dimensional; para dos campos vectoriales X y Y, el corchete de Lie [X, Y] se define como:

[X, Y] f = (XY − YX) f

para cada función f en la variedad (aquí consideramos los campos vectoriales como operadores diferenciales que actúan sobre funciones en una variedad).

(La generalización adecuada de la teoría de variedades debiera determinar ésta como el álgebra de Lie del grupo de Lie infinito dimensional de los difeomorfismos de la variedad).

El espacio vectorial de los campos vectoriales izquierdo-invariantes en un grupo de Lie es cerrado bajo esta operación y es por lo tanto un álgebra de Lie de dimensional finita.

Uno puede pensar alternativamente en el espacio subyacente del álgebra de Lie de un grupo de Lie como el espacio tangente en el elemento identidad del grupo.

La multiplicación es el diferencial del conmutador del grupo, (a,b) |-> aba−1b−1, en el elemento identidad.

Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas las matrices n-por-n a valores reales y determinante 1.

El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas las matrices reales n-por-n con traza 0 y la estructura de álgebra de Lie que viene del grupo de Lie coincide con el que surge del conmutador de la multiplicación de matrices.

Homomorfismos, subálgebras e ideales

Un homomorfismo φ : g -> h entre las álgebra de Lie g y h sobre el mismo cuerpo de base F es una función F-lineal tal que [φ(x),φ(y)] =φ([x, y]) para todo x y y en g. que la composición de tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y las álgebras de Lie sobre el cuerpo F, junto con estos morfismos, forman una categoría.

Si tal homomorfismo es biyectivo, se llama un isomorfismo, y las dos álgebras de Lie g y h se llaman isomorfas.

Para todos los efectos prácticos, las álgebras de Lie isomorfas son idénticas.

Una subalgebra del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tal que [x, y] ∈ h para todo x, y ∈ h. i.e. [h,h] ⊆ h.

La subalgebra es entonces un álgebra de Lie.

Un ideal del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tales que [a, y ] ∈ h para toda a ∈ g y y ∈ h. i.e. [g, h] ⊆ h.

Todos los ideales son subalgebras.

Si h es un ideal de g, entonces el espacio cociente g/h se convierte en una álgebra de Lie definiendo [x + h, y + h] = [x, y] + h para todo x, y ∈ g.

Los ideales son precisamente los núcleos de homomorfismos, y el teorema fundamental sobre homomorfismos es válido para las álgebras de Lie.

Clasificación de las álgebras de Lie

Las álgebras de Lie reales y complejas se puede clasificar hasta un cierto grado, y esta clasificación es un paso importante hacia la clasificación de los grupos de Lie.

Cada álgebra de Lie real o compleja finito-dimensional se presenta como el álgebra de Lie de un único grupo de Lie simplemente conexo real o complejo (teorema de Ado), pero puede haber más de un grupo, aún más de un grupo conexo, dando lugar a la misma álgebra.

Por ejemplo, los grupos SO(3)

(matrices ortogonales 3×3 de determinante 1)

y SU(2)

(matrices unitarias 2×2 de determinante 1),

ambos dan lugar a la misma álgebra de Lie, a saber R3 con el producto vectorial.

Un álgebra de Lie es abeliana si el corchete de Lie se anula, es decir [x, y] = 0 para todo x y y.

Más generalmente, un álgebra de Lie g es nilpotente si la serie central descendente

g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], g] ⊇ [[[g, g], g], g] ⊇...

acaba haciéndose cero.

Por el teorema de Engel, un álgebra de Lie es nilpotente si y sólo si para cada u en g, la función ad(u): g -> g definida por

ad(u)(v) = [u, v]

es nilpotente.

Más generalmente aún, un álgebra de Lie g es soluble si la serie derivada

g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], [g, g]] ⊇ [[[g, g], [g, g]],[[g, g], [g, g]]] ⊇ ...

acaba haciéndose cero.

Una subálgebra soluble maximal se llama una subálgebra de Borel.

Un álgebra de Lie g se llama semi-simple si el único ideal soluble de g es trivial.

Equivalente, g es semi-simple si y solamente si la forma de Killing

K(u, v) = tr(ad(u)ad(v)) es no-degenerada; aquí tr denota el operador de traza.

Cuando el cuerpo F es de característica cero, g es semi-simple si y solamente si cada representación es totalmente reducible, esto es, que para cada subespacio invariante de la representación hay un complemento invariante (teorema de Weyl). Un álgebra de Lie es simple si no tiene ningún ideal no trivial.

En particular, un álgebra de Lie simple es semi-simple, y más generalmente, las álgebras de Lie semi-simples son suma directa de simples.

Las álgebras de Lie complejas semi-simples se clasifican a través de sus sistemas de raíz.



Temas relacionados

super álgebra de Lie

Algebroide de Lie

Álgebra de Lie Ortogonal Generalizada:

pertenece a (n+1) si A pertenece a (n) y V es un n-vector (columna).

pertenece a (n, m+1) si A pertenece a (n,m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto).

El álgebra de Lobachevski es (n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Notación Nueva!: pertenece a (n, m, 1) si A pertenece a (n, m) y V es un (n+m)-vector.

El álgebra euclidiana es (n, 0, 1)!.

El álgebra de Poincaré es (n, 1, 1).

En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio Rn+m con SO(n, m) que tiene a (n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: pertenece a (n,m,l+1) si A pertenece a (n,m,l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: pertenece a (n,m,2) si A pertenece a (n,m) y V y X son (n+m)-vectores.

El álgebra de Galileo es (n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura.

El álgebra de Galileo es expandida por T, Xi, Vi y Aij (tensor antisimétrico) conforme a:

[Xi, T] = 0

[Xi, Xj] = 0

[Aij, T] = 0

[Vi, Vj] = 0

[Aij, Akl] = δik Ajl - δil Ajk - δjk Ail + δjl Aik

[Aij, Xk] = δik Xj - δjk Xi

[Aij, Vk] = δik Vj - δjk Vi

[Vi, Xj] = 0

[Vi,T]=Xi

enlaces externos

Geometric Asymptotics by Victor Guillemin and Shlomo Sternberg (Gratis en AMS) (http://www.ams.org/online_bks/surv14/)

cf. pg.188 (chIV-7. Periodic Hamiltonian Systems) MUY LENTO como cualquier libro imagen (http://www.ams.org/online_bks/surv14/surv14-chIV.pdf)

Suma De Wikipedia, la enciclopedia libre.

La Suma o Adición es una operación aritmética definida en los naturales, enteros, racionales y reales.

Basicamente es la operacion donde se unen los valores de las cantidades para encontrar otra

Propiedades de la suma



Propiedad conmutativa:

si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.



Propiedad asociativa:

a+(b+c) = (a+b)+c



Elemento neutro:

0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.



Elemento opuesto.

Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0.

Este número -a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos como el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplise en casos de sumas infinitas.

Notación

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más).

Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos.

Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y se representa con la letra griega Sigma§ mayúscula (Σ).

Ver también acarreo

Trigonometría
 GEOMETRÍA Y MÉTRICA
Antes de entrar en la trigonometria, es conveniente un cierto conocimiento geometrico de lo que se entiende por:
Puntos

Rectas


Angulos

Son conceptos basicos en el calculo trigonometrico.

    Los conceptos de punto, recta y plano geométricos son puramente intuitivos, no pudiéndose dar una definición geométrica rigurosa de ellos.

Sin embargo, a partir de la idea intuitiva de plano, puede definirse la recta como la intersección de dos planos, y el punto como la intersección de dos rectas.

    La propiedad característica del punto geométrico es que éste no tiene ninguna dimensión. Se representa convencionalmente por medio de un punto ortográfico de la menor dimensión posible.

Cada punto se denomina mediante una letra mayúscula situada a uno de los lados del punto.

    La recta geométrica se caracteriza por tener longitud infinita, pero sólo longitud.

Convencionalmente se representa por medio de un fino trazo de la longitud que convenga y se nombra mediante una letra minúscula, o bien mediante dos letras mayúsculas situadas en dos puntos cualesquiera de la recta (ya que dos puntos geométricos determinan siempre una recta).

La propiedad característica del plano geométrico es que posee una superficie ilimitada, aunque no ocupa ningún volumen (sólo tiene superficie).

Se suele representar convencionalmente por medio de un paralelogramo de lados menores inclinados.

Se nombra mediante una letra del alfabeto griego o bien mediante una letra mayúscula situada en una de las zonas extremas.

    Una importante propiedad que relaciona estos tres conceptos dice: una recta que tenga dos puntos en un plano está toda ella contenida en él.

Otros conceptos importantes de la geometría son:


Semirrecta

Porción de recta comprendida entre un punto cualquiera de la recta (denominado origen) y el infinito.

Segmento

Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos. Uno de ellos es el origen del segmento y el otro es el extremo del segmento

Vector

Segmento orientado, es decir, con origen y extremo determinado. Un vector AB queda definido por:

a) el origen o inicio del vector A;

b) el extremo o final del vector B;

c) el módulo o longitud del vector igual a la longitud del segmento AB;

d) la dirección, que es la de la recta AB sobre la que está situado el vector,

e) el sentido, que se dirige desde el origen A hacia el extremo B del vector.




Semiplano

Porción de plano comprendida entre una recta AB contenida en él y el infinito.

Orientar una recta (o uno de sus segmentos) equivale a establecer una relación de orden total en el conjunto de sus puntos, de tal modo que, dados tres de dichos puntos A, B y C, el B se halle entre A y C (los separa) si y sólo si se cumple una de estas dos eventualidades: A precede a B y B a C; C precede a B y B a A.

A Tales de Mileto (siglo Vl a. C.) se atribuye la introducción en Grecia de los estudios geométricos.

Estos estudios fueron perfeccionándose y alcanzaron su sistematización en el curso de tres siglos, con los Elementos de Euclides.

El matemático Euclides (s. IV y III a. C.) vivió en Alejandría durante el reinado de Tolomeo I.

Su obra más célebre se titula Elementos y en ella se halla reunido cuanto se había conseguido hasta entonces en la geometría griega.

Los principios que esta obra desarrolla, perfectamente sistematizados, han servido de base a la geometría durante dos mil años.

  Algunas propiedades y definiciones fundamentales son:

    • Una recta es un conjunto de puntos.

    • Una recta es un subconjunto del plano que la contiene.

    • Una recta contiene un número infinito de puntos.

    • Entre dos puntos de una recta está contenido un número infinito de puntos.

    • Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común un extremo y ningún otro punto.

    • Dos segmentos consecutivos son adyacentes cuando pertenecen a la misma

recta.


    • En un plano hay un número infinito de rectas.

    • Por un punto del plano pasa un número infinito de rectas.

    • Por un punto del espacio pasan un número infinito de rectas.

    • Por dos puntos de un plano pasa una recta y sólo una.

    • Por definición, la distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.

Se llama haz propio (o simplemente haz) de rectas al conjunto de todas las rectas que pertenecen simultáneamente a un punto y a un plano, es decir, rectas yacentes en un mismo plano y que pasan por un mismo punto; el punto se denomina vértice o centro del haz..

  ÁNGULOS

Definimos el ángulo como la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un oriogen común.

Las dos semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el origen común a ambas se denomina vértice.

Dos rectas que se cortan en el punto P forman un ángulo que se expresa mediante tres puntos:,


Uno en cada lado (a y b) y el tercero en el vértice.
Así, QPR es un ángulo de vértice P cuyos lados son PQ y PR

Como puede apreciarse dibujando dos semirrectas con un origen común, quedan determinados dos ángulos:



  1. uno interior que se llama convexo

  2. otro exterior llamado cóncavo.

Aunque al hablar de un ángulo (si no se especifica lo contrario) se sobreentiende el interior.

    Los ángulos se denominan mediante tres letras mayúsculas, dos de ellas situadas en los lados y la tercera en el vértice.

También se denominan mediante una letra minúscula situada cerca del vértice o mediante la letra mayúscula que designa el vértice.

    En todo ángulo ABC, un lado BC puede llevarse sobre el otro BA efectuando un giro con centro en el vértice O.

Según que el giro sea mayor o menor, será mayor o menor el ángulo correspondiente.

Al efectuar dicho giro, cada punto del lado móvil BC de ángulo describe un arco de centro en el vértice del ángulo que se denomina arco correspondiente al ángulo dado.

Los ángulos y los arcos se miden por grados.

Un punto que realiza un giro completo (regresando al lugar original) recorre una circunferencia que por definición tiene 360 grados o 2π radianes

Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos (sistema sexagesimal).

En el Sistyema Internacional de Unidades,  los angulos de miden en radianes:

1 radian (rd) = 360º / (2 x π) = 57,295º

TIPOS DE ÁNGULOS

    • Consecutivos. Tienen el vértice y un lado común.




Dos rectas que se cortan en el punto P forman un ángulo que se expresa mediante tres puntos:

uno en cada lado (a y b)

y el tercero en el vértice.

Así, QPR es un ángulo de vértice P cuyos lados son PQ y PR
    • Adyacentes. Tienen el vértice y un lado común y los lados restantes situados en prolongación uno del otro.

    • Llano. Tiene uno de sus lados como prolongación del otro. Mide 180º.

    • Recto. Es la mitad de un llano. Mide 90º.

    • Agudo. Mide menos que un recto.

    • Obtuso. Mide más que un recto.

    • Complemetarios. Los que sumados (puestos consecutivamente) miden un recto.

    • Suplementarios. Los que sumados dan como resultado un ángulo llano (180º); es decir, que puestos consecutivamente son adyacentes. Los adyacentes son suplementarios.

    • Bisectriz de un ángulo. Es la semirrecta que pasa por el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales.

 RECTAS EN EL PLANO

    En el plano, dos rectas pueden tener dos (y por tanto todos), uno o ningún punto en común. En el primer caso son coincidentes, se cortan en el segundo y son paralelas en el tercero.

    Dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. Estos ángulos iguales son los opuestos por el vértice, es decir, los que no son adyacentes.

    Cuando se cortan formando cuatro ángulos iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares. Cada uno de estos ángulos mide un recto (90º = 360º/4).

    Se entiende por mediatriz (o eje) de un segmento a la perpendicular por el punto medio del segmento dado. La mediatriz de AB es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de AB.

    Distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde dicho punto a la recta, que está comprendido entre ambos.

    Las rectas paralelas son equidistantes: todos los puntos de una de ellas están a la misma distancia de la otra.

    Existen un número infinito de rectas paralelas a una recta dada. Por cualquier punto pasa una sola recta, paralela a una recta dada.   


TRIGONOMETRIA.
La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de la matemática que trabaja con:



  1. Angulos

  2. Triangulos

  3. Funciones trigonométricas como seno y coseno

Posee muchas aplicaciones. Las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas:




  • En astronomía para medir distancias a estrellas próximas

  • En geografía para medir distancias entre puntos geográficos

  • En sistemas de navegación por satélites (G P S)

  • etc..

Indice de contenido:


1 Unidades angulares

2 Funciones seno y coseno

3 Función tangente

4 Fórmulas trigonométricas elementales

5 Teoremas
Unidades angulares

Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los




  • grados,

  • minutos

  • segundos.

Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.


Las equivalencias son las siguientes:
360° = un giro completo alrededor de una circunferencia
180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia
 90° = 1/4 de vuelta
   1° = 1/360 de vuelta, etc.
También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio.

El valor de este ángulo es independiente del valor del radio;


Ejemplo: Al dividir una pizza en 8 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar.
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]
Conocemos el perímetro de una circunferencia de radio r :
L = 2 × π × r π 3.1416 2 × π 6,2832
Si el radio ( r ) fuera igual a la unidad (si r = 1) L = 2 × π
entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π.
Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:
2 × π radianes = 360° y por tanto:
1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29° (Nota: 57,3 como aproximacion valida)
a partir de esta igualdad, determinamos que:
Gra Equiv. radianes
90° = π/2 = 1,571
75º = π/2,4 = 1,308
60° = π/3 = 1,047
45° = π/4 = 0,785
30° = π/6 = 0,524
15º = π/12 = 0,262
0º = π/∞ = 0
Triangulo: Figura formada en unir tres puntos (conocidos por vertices) no alineados, con tres segmentos de línia recta. Según la forma adquirida se denominan:




  • acutanganlo,

  • obtusangulo,

  • escaléno,

  • isòsceles,

  • equilàtero,

  • rectangulo.

Funciones seno y coseno Ver Figura:


El triángulo ABC es un triángulo rectángulo
Consta de tres rectas conocidas por:
Cateto opuesto a
Cateto adyacente b
Hipotenusa c
Supongamos la hipotenusa:
En este caso c = radio
Este ejemplo lo usaremos para definir las funciones:
seno (α)
coseno. (β)
En un triángulo rectángulo:


  1. El seno (sin) es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa, (c)




  1. El coseno (cos) es la razón entre el cateto adyacente ( b) y la hipotenusa (c)

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:


Segon Pitagoras la relacion de los lados de un angulo rectangulo es:
Cateto a = 3

Cateto b = 4

Hipotenusa c = 5
Nota: Esto fue utilizado por los constructures de la antigüedad para formar lo que se conoce por “esquadra” que junto con el “compas” eran las herramientas de diseño.
De acuerdo con este calculo, la relacion de valores podria ser:
C = 1 b = 0,6 a = 0,8
Demostracion: c = √ ((0,6)2 + (0,8)2) = 1

Trigonometricamente:


sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a
sen α = cos β = (4.5)/(3.4) = (4.5)/1 = (4.5) = a
cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
rad Gra sen cos
0 0º 0 1

0,524 30º

0,785 45º

1.047 60º


1.571 90º 1 0

Como en el triángulo rectángulo se cumple que


a2 + b2 = c2, De la figura anterior ( radio = hipotenusa = 1)
sen α = a
cos α = b
c = 1
entonces para todo ángulo α:
sin2(a) + cos2(α) = 1
Algunas identidades trigonométricas importantes son:
sen (90 - α) = cos α
cos (90 - α) = sen α
sen (180 - α) = sen α
cos (180 - α) = -cos α
sen 2α = 2 sen α cos α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
tan a = BC / AC = sen a / cos a
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90º) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90º) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45º) = 1
tan (π/3) = tan (60º)=

tan (π/6) = tan (30º) =


Una identidad importante con la tangente es:

]

Fórmulas trigonométricas elementales


sen (α) = cateto opuesto / hipotenusa
cos (α) = cateto contiguo / hipotenusa

]

Véase también ( En Wikipedia )


Identidad trigonométrica
Funciones hiperbólicas
Fórmula de Euler
La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x.
Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales.
Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.
La fórmula solo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La demostración está basada en la expansión en serie de Taylor de la función exponencial ez (donde z es un número complejo), y la expansión de sin x y cos x.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748.
Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años mas tarde (ver Caspar Wessel).
La formula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría.
Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos.
De las reglas de la exponenciación

Y

(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función exponencial:


Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x.
Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas


para el seno y el coseno.
En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos.
La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler
En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas mas convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.
Demostración de la fórmula de Euler utilizando el desarrollo en serie de Taylor:

La función ex (con x real) puede escribirse como:



y para x complejo se define mediante dicha serie. Si multiplicamos por i al exponente:

Reagrupando:

Para simplificar tendremos en cuenta que:

y generalizando para todo n:

Así,

reordenando términos y separando la suma en dos partes (lo que es posible por ser absolutamente convergente):

Si tomamos el desarrollo en serie de Taylor de cos(x) y sin(x):


Por lo tanto:

Identidad trigonométrica
En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.
Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: Definimos cos2, sen2, etc; tales que sen2α es (sen (α))2.
Tabla de contenidos

]

1 De las definiciones de las funciones trigonométricas

2 Periodo, Simetría y corrimientos

3 Del Teorema de Pitágoras

4 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

5 Identidades del Ángulo Doble

6 Identidades del Ángulo Múltiple

7 Identidades para la Reducción de Exponentes

8 Identidades del Medio Ángulo

9 Pasaje de Producto a Suma

10 Pasaje de Suma a Producto

11 Funciones Trigonométricas Inversas

12 Fórmula de Euler

13 Teorema del seno

14 Teorema del coseno
]De las definiciones de las funciones trigonométricas


Periodo, Simetría y corrimientos
Son mas sencillas de probar en la cirfunferencia trigonométrica (tiene radio=1):




A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente.
Dicho de otro modo:

Donde


Del Teorema de Pitágoras

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuado sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para resolver problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcion seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos2, se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Se puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes.

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos.
La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.



De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios (expresados en grados sexagesimales):








Para ángulos complementarios:






Para ángulos opuestos:






Identidades del Ángulo Doble
Pueden obtenerse remplazando y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.



]Identidades del Ángulo Múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades para la Reducción de Exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos2(x) y sin2(x).



Identidades del Medio Ángulo
Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).


Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2).
El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos2(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble.
La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagórica.

Pasaje de Producto a Suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.



Pasaje de Suma a Producto
Reemplazando x por (x + y) / 2 e y por (x – y) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:




Funciones Trigonométricas Inversas






Fórmula de Euler


Teorema del seno
«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

Teorema del coseno
«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»





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