Algebra y tigonometria



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Álgebra libre

En álgebra abstracta, el álgebra libre es el análogo no conmutativo del anillo de polinomios.

Sea R un anillo.

El álgebra libre en n indeterminadas, X1..., Xn, es el anillo generado por todas las combinaciones lineales de los productos de las variables.

Este anillo es denotado por R.

A diferencia de un anillo polinómico, las variables no conmutan.

Por ejemplo X1X2 no es igual a X2X1.

Sobre un cuerpo, el álgebra libre en n indeterminadas se puede construir como el álgebra tensorial de un espacio vectorial n-dimensional.

(Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre en n generadores.)

Este artículo es, por ahora, sólo un esbozo. Ampliándolo

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Álgebra lineal

El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de:



Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.

El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Tabla de contenidos

1 Historia

2 Introducción Elemental

3 Algunos Teoremas Útiles

4 Generalización y temas relacionados

Historia

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844.

En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones.

En 1844, Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

Introducción Elemental

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º y 3er cuadrante del plano cartesiano.

Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud o magnitud y dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, y pueden ser sumados y multiplicados como magnitudes escalares, formando entonces el primer ejemplo real de espacio vectorial.

Hoy día, el Álgebra Lineal se ha extendido al considerar n-espacio, puesto que los más útiles resultados de los cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos de forma n-dimensional en el espacio.

Pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios infini-dimensionales.

Aunque a mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (y aún éstos), es decir, en un n-espacio, o n-múltiplos, son útiles representando información.

Puesto que los vectores, como n-múltiplo, son considerados listas ordenadas de n componentes, se puede resumir y manipular información eficientemente en esta estructura.

Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u óctuples para representar el Producto Interno Bruto (on interior, del inglés inner) para 8 diferentes países.

Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo:

Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia,

utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y podemos integrar todo esto en un campo.

Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de aplicaciones o matrices, y el anillo de aplicaciones lineales de un espacio vectorial.

El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo y en la descripción de derivadas de alto grado (o nivel) en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensor (en física, buscar momentos de torsión) y sus aplicaciones alternativos.

Un espacio vectorial se define sobre un campo, tal como el campo de los números reales o en el de los números complejos.

Los operadores lineales afectan al espacio vectorial de otro (o en sí mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación o producto escalar en uno o más espacios vectoriales.

Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida y cada transformación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz.

El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y eigenvectores (también denominados autovectores), se consideran parte del álgebra.

Se pueden resolver problemas lineales de matemáticas -o aquellos que exhiben un comportamiento de de linealidad.

Por ejemplo, en el cálculo diferencial se hace un estupendo trabajo en la aproximación lineal de funciones.

La distinción entre problema no lineal y otro lineal es muy importante en la práctica.

Algunos Teoremas Útiles

Todo espacio lineal tiene un origen;



Teorema Fundamental del Álgebra

Generalización y temas relacionados

Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de las matemáticas:

En la teoría del módulo, que remplaza al campo en los escalares por un anillo;

En el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor;

En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica.

En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Este artículo es, por ahora, sólo un esbozo.

Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K -álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A.

Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. (algunos autores utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa", pero Wikipedia no.

Observe también los otros usos de la palabra enumerados en el artículo 'álgebra'.)

Tabla de contenidos

1 Definiciones

2 Características

3 Clases de álgebra y de ejemplos

4 Vea también

Definiciones

Para ser exactos, sea K un cuerpo, y sea A un espacio vectorial sobre K.

Suponga que nos dan una operación binaria A × A → A, con el resultado de esta operación aplicado a los vectores x y y en A escrita como xy.

Suponga además que la operación es bilineal, es decir:

(x + y)z = xz + yz;

x(y + z) = xy + xz;

(a x)y = a (xy); y

x(b y) = b (xy);



para todos los escalares a y b en K y todos los vectores x, y, y z.

Entonces con esta operación, A se convierte en un álgebra sobre K, y K es el cuerpo base de A.

La operación se llama "multiplicación".

En general, xy es el producto de x y de y, y la operación se llama multiplicación.

Sin embargo, la operación en varias clases especiales de álgebra toma diversos nombres.

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo conmutativo K:

Necesitamos un módulo A sobre K

Y una operación bilineal de multiplicación que satisfaga las mismas identidades que arriba; entonces A es una K-álgebra, y K es el anillo bajo A.

Dos álgebras A y B sobre K son isomorfas si existe una K biyección - función lineal f: A → B tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en A.

Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.



Características

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de A × A a A es determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A.

Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para A, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en A, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos n), y especificar los n3 coeficientes de estructura ci,j,k, que son escalares.

Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A vía la regla siguiente:

donde e1,...en una base de A.

El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación).

Observe sin embargo que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ci,jk, y se escribe usando la convención de adición de Einstein como ei ej = c i,jk ek.

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

(xy)k = c i,j k xi yj.

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si A es un módulo libre sobre K.

Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de A; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no especifica el álgebra módulo isomorfismo.

Clases de álgebra y de ejemplos

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa;

Un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa.

Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Álgebras asociativas:

El álgebra de todas las matrices n-por-n sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.

Las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.

El álgebra conmutativa K[x] de todos los polinomios sobre K.

Las álgebras de funciones, tales como el R-álgebra de todas las funciones continuas real-valoradas definidas en el intervalo [0, 1], o la C-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el plano complejo. Éstas son también conmutativos.

Las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados.

Las álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio de Hilbert.

Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también llevan una topología; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un álgebra de Banach.

Si una involución se da también, obtenemos


  • B-estrella-álgebras

  • C-estrella-álgebras.

Éstas se estudian en análisis funcional.

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos.

Éstos incluyen:

Álgebra de Lie, para las cuales requerimos la identidad de Jacobi z ( xy ) + (yz) x + (zx) y = 0 y anticonmutatividad: xx = 0.

Para estas álgebra el producto se llama el corchete de Lie y se escribe [ x,y ] en vez de xy.

Los ejemplos incluyen:

Espacio euclidiano R3 con la multiplicación dada por el producto vectorial (con K el cuerpo Rnúmeros reales);

Álgebra de los campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C) o una variedad algebraica (para el general K);

Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el conmutador como corchete de Lie.

De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.



Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos (xy)x2 = x(yx2) y también xy = yx.

Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación x*y = (1/2)(xy + yx).

En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera.

Las que si se pueden se llaman especiales.



Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que (xx)y =x(xy) y (yx)x = y(xx). Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos.

(todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.)

Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son:


  • los reales,

  • los complejos,

  • los cuaterniones

  • y los octoniones.

Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que xmxn = xm+n, donde m ≥ 1 y n ≥ 1.

(aquí definimos formalmente xn+1 recurrentemente como x (x n).)

Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.

Más clases de álgebra:

Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada.

Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.

Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e una unidad para el álgebra.

Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2.

Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.

Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R, que comienzan con:

C (una álgebra conmutativa y asociativa);

Los cuaterniones H (una álgebra asociativa);

Los octoniones (un álgebra alternativa);

Los sedeniones (un álgebra potencia-asociativa, como todas las álgebras de Cayley-Dickson).

Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica.

Tienen dos multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.

Vea también

Álgebra de Clifford

Álgebra geométrica

Álgebra tensorial

En matemáticas, el álgebra tensorial es (dentro del álgebra abstracta) una construcción de un álgebra asociativa T(V) partiendo de un espacio vectorial V.

Si tomamos vectores de base para V, se convierten en variables que no conmutan en T(V), ni sujetos a ninguna restricción (más allá de la asociatividad, de la ley distributiva y las K-linealidades, donde V está definido sobre el cuerpo K).

Por lo tanto, T(V), mirada en términos que no son intrínsecos, se puede ver como el álgebra de polinomios en n variables que no conmutan sobre K si V tiene dimensión n.

Otras álgebras de interés tales como el álgebra exterior aparecen como cocientes de T(V), como relaciones impuestas por generadores.

La construcción de T(V) es una suma directa de partes graduadas Tk para k = 0, 1, 2,...; donde Tk es el producto tensorial de V con sí mismo k veces, y T0 es K como espacio vectorial unidimensional.

La función de multiplicación en Ti y Tj mapea a T i + j y es la yuxtaposición natural de los tensores puros, ampliados por bilinealidad.

Es decir, el álgebra tensorial es representante de las álgebras con tensores covariantes que se forman de V y de cualquier rango.

Para tener el álgebra completa de tensores, contravariantes así como covariantes, se debe tomar T(W) donde W es la suma directa de V y de su espacio dual - esto consistirá en todos los tensores TIJ con los índices superiores J e índices inferiores I, en la notación clásica.

Uno también se puede referir a T(V) como el álgebra libre sobre el espacio vectorial V. De hecho,el [{funtor]] que lleva una K-álgebra A a su espacio K-vectorial subyacente está en un par de funtores adjuntos con T, que es su adjunto izquierdo.

El punto de vista de álgebra libre es útil para construcciones como la de un álgebra de Clifford o un álgebra envolvente universal, donde la pregunta sobre la existencia se puede resolver comenzando con T(V) e imponiendo después las relaciones requeridas.

La construcción se generaliza facilmente al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo.

Álgebra de Boole

En matemáticas y computación, el Álgebra de Boole, o Retículas booleanas, son estructuras algebráicas que "capturan la esencia" de las operaciones lógicas Y O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole , matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX.

Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utiulizar las técnicas algebráicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.

Hoy en día el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en diseño electrónico.

Se aplicó por primera vez en circuitos de conmutación eléctrica biestables por Claude Shannon en 1938.

Los operadores del álgebra de Boole pueden representarse de varias formas.

A menudo se representan simplemente como AND(Y), OR(O) y NOT(NO).

En la descripción de circuitos también se emplean NAND(no Y), NOR(no O) y XOR(O exclusivo).

En matemáticas a menudo se utiliza + en lugar de OR y . en lugar de AND (debido a que estas operaciones son de alguna manera análogas a la suma y el producto en otras estructuras algebraicas) y NOT se representa como una línea sobre la expresión que se pretende negar.

En este artículo se empleará la notación común con para el operador AND, para el operador OR y ¬ (o ~) para el operador NOT.

Definición

Un álgebra de Boole es una retícula (A, , ) (considerada como una estructura algebráica) con las siguientes cuatro propiedades adicionales:

(a Acotada inferiormente:

Existe un elemento 0, tal que a 0 = a para todo a perteneciente a A.

(b Acotada superiormente:

Existe un elemento 1, tal que a 1 = a para todo a perteneciente a A.

(c Distributiva:

Para todo a, b, c pertenecientes a A, (a b) c = (a c) (b c).

(d Con complemento:

Para cualquier a perteneciente a A existe un elemento ¬a perteneciente a A tal que a ¬a = 1 y a ¬a = 0.

De esos axiomas se desprende que el elemento mínimo 0, el elemento máximo 1, y el complemento ¬a de un elemento a estás únicamente determinados.

Como cualquier retícula, un Álgebra Booleana A, , ) da lugar a un conjunto parcialmente ordenado (A, ≤) definiendo

a ≤ b si y sólo si a = a b

(que equivale a b = a b).

De hecho, puede definirse un álgebra de Boole como una retícula distributiva A, ≤) (considerada como un conjunto parcialmente ordenado) con elemento mínimo 0, elemento máximo 1, en la que cada elemento x tiene un complemento ¬x tal que

x ¬x = 0 and x ¬x = 1

Aquí y se usan para denotar el mínimo (intersección) y el máximo (unión) de dos elementos.

De nuevo, si existe el complemento está únicamente determinado.



Ejemplos

El álgebra de Boole más importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas



0 1 0 1

---- ----

0 | 0 1 0 | 0 0

1 | 1 1 1 | 0 1

Tiene aplicaciones en la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como "verdadero", como "y", como "o", y ¬ es "no".

Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos representan proposiciones, y se puede demostrar que dos expresiones son equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las correspondientes proposiciones son´lógicamente equivalentes.

El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos digitales, típicamente un voltaje alto y una bajo.

Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas expresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismo comportamiento de entrada y salida.

Además, cada posible conportamiento de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana.

El álgebra de Boole de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de Boole, porque una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un álgebra booleana de dos elementos(lo cual siempre puede ser chequeado utilizando el algoritmo trivial de fuerza bruta).

Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes

(Teoremas del consenso)

son válidos en todas las álgebras booleanas:

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

El conjunto de partes de un conjunto dado S forma un álgebra de Boole con las dos operaciones = unión and = intersección.

El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento máximo 1 es el propio conjunto S.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es un álgebra de Boole.

Para todo número natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula distributiva si definimos a ≤ b como a divide a b.

Esta retícula es un álgebra de Boole se y sólo si n es libre de cuadrados.

El elemento mínimo 0 de este álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1 es el número natural n.

Otros ejemplos de álgebras de Boole surgen de losespacions topológicos: si X es un espacio topológico, entonces la colección de todos los subespacios de X que son tanto abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las operaciones

V = unión y = intersección.

Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como

A = { e en R : e2 = e y ex = xe para todo x en R }

entonces el conjunto A se convierte en un álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef.




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