Algebra y tigonometria



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ALGEBRA Y TIGONOMETRIA De Wikipedia, la enciclopedia libre.

Teorema fundamental del álgebra

Introducción

Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número complejo.

Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solución.

El teorema que dice que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una solución, a pesar de ser uno de los más importantes postulados de las matemáticas permaneció mucho tiempo sin demostración.

En vista de su importancia se le conoce con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.

Jean Le Rond d'Alembert fué el primero en demostrarlo.

Sin embargo, había un punto defectuoso en su demostración, y era que d'Alembert asumía como verdadero un resultado de Cálculo diferencial que no había sido demostrado y que no tuvo demostración hasta un siglo después de escribir d'Alembert la suya.

Los exigentes y rigurosos matemáticos no permiten que sucedan cosas como éstas, así que se considera como el primer "demostrador" de este teorema a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien asombraba a sus colegas; escribió no una, sino cuatro demostraciones diferentes de este teorema, ninguna de las cuales es elemental.

Desarrollo: El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces no forzosamente distintas, es decir, contadas con su orden de multiplicidad.

Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo)

X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2)

tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raices.

En otras palabras, todo

P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0

se puede factorizar completamente, así :

an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.

Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales:i es por construcción una raíz de X2+1.

Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i e 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos.

Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raices de polinomios, que es la operación algebraíca por excelencia.

Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve.

Figuras destacadas en está labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas.

En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido).

Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo.

Luego se factoriza la función P por X - r, done r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente P/(X-r), que es un polinomio de grado menor al de P.

Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).

Álgebra De Wikipedia, la enciclopedia libre.



Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por reflejo en las matemáticas el álgebra es el dominio relativo a la resolución de las ecuaciones polinomiales, es decir de la forma P(X) = 0, donde P es un polinomio:

Para P de grado 1, se tuvieron que inventar las fracciones y los números negativos, y se adoptó la representación de una recta para el conjunto de todos los números reales.

Para P de grado 2, se tuvieron que inventar las raíces cuadradas, y se pensó en números imaginarios para ecuaciones del tipo x2 = -1, que contradicen la regla de los signos. + números complejos

Para P de grado 3, se descubrió que era imprescindible emplear los números complejos para resolverlas, aún cuando la solución encontrada fuese a fin de cuentas real.

Se vislumbró también el vínculo entre la trigonometría y ciertas ecuaciones de tercer grado.

Para P de grado 4, se empezaron a manipular las raíces con maestría, evidenciando la noción de grupo de permutaciones.

El quinto grado fue la causa de una gran desilusión, pues se demostró que no se podía resolver el caso general mediante raíces (cuadradas, cúbicas...).

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los


  • grupos,

  • anillos,

  • cuerpos

  • y sus extensiones,

espacios vectoriales (álgebra lineal) , y parte de la geometría, la relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas:

  • elipse,

  • parábola,

  • hipérbola,

  • círculo,

ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemáticas como:



  • la lógica (álgebra de Boole),

  • el análisis

  • y la topología (álgebra topológica).

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra"

Álgebra abstracta De Wikipedia, la enciclopedia libre.

El álgebra abstracta es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas como la de:


  • grupo,

  • anillo

  • y cuerpo.

El término "álgebra abstracta" es usado para distinguir este campo del "álgebra elemental" o del álgebra de la "escuela secundaria" que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los: números reales

y números complejos.

Históricamente las estructuras algebraicas han surgido en algún otro campo distinto a la mera álgebra, han sido axiomatizadas, y luego estudiadas de propio derecho en el álgebra abstracta.

A causa de ello, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática.

Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:


  • Semigrupos

  • Monoides

  • grupos

Otros ejemplos más complejos son:

  • anillos y cuerpos

  • módulos y espacios vectoriales

  • álgebras asociativas y álgebras de Lie

  • rejillas y álgebras de Boole

En Álgebra Universal, todas esas definiciones y hechos son coleccionados y aplicados a todas las estructuras algebraicas por igual.

Todas las clases mencionadas de objetos, junto con la noción apropiada de homomorfismo, forman categorías, y la teoría de categorías nos provee frecuentemente del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas.

Álgebra asociativa De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En matemáticas, un álgebra asociativa es un espacio vectorial (o más generalmente un módulo) que también permite la multiplicación de vectores de manera:



  • distributiva

  • y asociativa.

Son así álgebras especiales.

Tabla de contenidos

1 Definición

2 Ejemplos

3 Homomorfismos de álgebra

4 Generalizaciones

5 Coálgebras

Definición

Un álgebra asociativa sobre un cuerpo K se define como un espacio vectorial sobre K junto con una multiplicación K-bilineal A x A -> A (donde la imagen de (x, y) se escribe como xy) tal que la ley asociativa valga:

(x y) z = x (y z) para todo x, y y z en A.

La bilinealidad de la multiplicación se puede expresar como

(x + y) z = x z + y z; para todo x, y, z en A,

x (y + z) = x y + x z; para todo x, y, z en A,

a (x y) = (a x) y = x (a y); para todo x, y en A y a en K.

Si A contiene un elemento identidad, es decir un elemento 1 tales que 1x = x1 = x para todo x en A, entonces llamamos a A un álgebra asociativa con uno o unitaria (o unital).

Tal álgebra es un anillo y contiene una copia del cuerpo de base K en la forma {a1: a en K}.

La dimensión del álgebra asociativa sobre el cuerpo K es su dimensión como espacio K-vectorial.

Ejemplos

Las matrices cuadradas n-por-n con las entradas del cuerpo K forman un álgebra asociativa unitaria sobre K.

Los números complejos forman un álgebra asociativa unitaria de 2 dimensiones sobre los números reales

Los cuaterniones forman un álgebra asociativa unitaria 4-dimensional sobre los reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, puesto que los números complejos no conmutan con los cuaterniones).

Los polinomios con coeficientes reales forman un álgebra asociativa unitaria sobre los reales.

Dado cualquier espacio de Banach X, los operadores lineales continuos A : X → X forman un álgebra asociativa unitaria (que usa la composición de operadores como multiplicación); esto es de hecho un álgebra de Banach.

Dado cualquier espacio topológico X, las funciones continuas valoradas en los reales (o los complejos) en X forman un álgebra asociativa unitaria real (o compleja); aquí sumamos y multiplicamos las funciones punto a punto.

Un ejemplo de un álgebra asociativa no unitaria viene dado por el conjunto de todas las funciones f: R -> R cuyo límite cuando x se acerca a infinito es cero.

Las álgebras de Clifford son útiles en geometría y física.

Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas unitarias son consideradas en combinatoria.

Homomorfismos de álgebra

Si A y B son álgebras asociativas sobre el mismo cuerpo K un homomorfismo de álgebras h:

A -> B es una transformación K-lineal que también es multiplicativa en el sentido que h(xy) = h(x) h(y) para todo x, y en A.

Con esta noción de morfismo, la clase de todas las álgebras asociativas sobre K se convierte en una categoría.

Tome por ejemplo el álgebra A de todas las funciones continuas real-valuadas R -> R, y el B = R. ambos son álgebras sobre R , y la función que asigna a cada función continua f el número f(0) (evaluación en 0) es un homomorfismo de álgebras de A a B.

Generalizaciones

Se pueden considerar álgebras asociativas sobre un anillo conmutativo R: éstas son módulos de R junto con una función R-bilineal que da una multiplicación asociativa. En este caso, una R-álgebra unitaria A se puede equivalentemente definir como un anillo A con un homomorfismo de anillos R→A.

Las matrices n-por-n con las entradas en los números enteros forman un álgebra asociativa sobre los números enteros y los polinómios con coeficientes en el anillo Z/nZ (véase aritmética modular) forman un álgebra asociativa sobre Z/nZ

Coálgebras

Un álgebra asociativa unitaria sobre K se basa en un morfismo A x A→ A que tiene 2 entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (el producto), así como un morfismo K→A que identificaba los múltiplos escalares de la identidad multiplicativa. Estos dos morfismos pueden ser dualizados con dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra; esto define una estructura de coalgebra.

Algebra conmutativa De Wikipedia, la enciclopedia libre.

En Álgebra abstracta, el álgebra conmutativa es el campo de estudio de los anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras.

Es una materia fundacional tanto para la geometría algebraica como para la teoría algebraica de números.

Se considera que el fundador real de la materia, en la época en la que se llamaba teoría de ideales, es David Hilbert.

Parece que él piensa sobre ella (alrededor del 1900) como un enfoque alternativo a la entonces de moda teoría de funciones complejas.

Este enfoque sigue cierta "línea" de pensamiento que considera que los aspectos computacionales son secundarios respecto a los estructurales.

El concepto adicional de módulo, presentado de alguna manera en el trabajo de Kronecker, es técnicamente una paso adelante si lo comparamos con trabajar siempre directamente en el caso especial de los ideales.

Este cambio es atribuido a la influencia de Emmy Noether.

Dado el concepto de esquema, el álgebra conmutativa es pensada, comprendida, de forma razonable, bien como la teoría local o bien la teoría afín de la Geometría algebraica.

El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como Álgebra no-conmutativa; es materia de la Teoría de anillos, Teoría de la representación y en otras áreas como la teoría de las Álgebras de Banach.

Álgebra de incidencia De Wikipedia, la enciclopedia libre.

Un conjunto parcialmente ordenado es localmente finito cuando cada intervalo cerrado [a, b] es finito.

Para cada poset localmente finito y cada cuerpo de escalares hay un álgebra de incidencia, que es un álgebra asociativa definida como sigue.

Los miembros del álgebra de incidencia son las funciones f que asigna a cada intervalo [a, b] un escalar f(a, b).

En este conjunto subyacente se definen la adición y la multiplicación por escalar punto a punto, y la "multiplicación" en el álgebra de incidencia es una convolución definida por

El elemento identidad multiplicativa del álgebra de incidencia es



Un álgebra de incidencia es finito-dimensional si y solamente si el poset subyacente es finito.

La función ζ de un álgebra de incidencia es la función constante ζ(a, b) = 1 para cada intervalo [a, b].

Se puede mostrar que ese elemento es inversible en el álgebra de incidencia (con respecto a la convolución definida arriba).

(Generalmente, un miembro h del álgebra de incidencia es inversible si y solamente si h(x, x) ≠ 0 para cada x.)

El inverso multiplicativo de la función ζ es la función de Möbius μ(a, b); cada valor de μ(a, b) es un múltiplo integral de 1 en el cuerpo base.

Tabla de contenidos

1 Ejemplos

2 La característica de Euler

3 Álgebras de incidencia reducidas

4 Literatura

Ejemplos

En caso que el poset localmente finito sea el conjunto de todos los números enteros positivos ordenados por divisibilidad, entonces su función de Möbius es μ(a, b) = μ(b/a), donde el segundo "μ" es la clásica función de Möbius introducida en teoría de números en el siglo diecinueve.

El poset localmente finito de todos los subconjuntos finitos de algún conjunto E están ordenados por inclusión.

Aquí la función de Möbius es:



whenever S y T son subconjuntos finitos de E con S ⊆ T.

La función de Möbius en el conjunto de números enteros no negativos con su orden usual es:

Estos corresponde a la secuencia (1, -1, 0, 0, 0...) de coeficientes de la serie de potencias formal de 1 - z, y la función ζ en este caso corresponde a la secuencia de los coeficientes (1, 1, 1, 1...) de la serie de potencias formal (1 - z)-1 = 1 + z + z2 + z3 +....

La función δ en esta álgebra de incidencia corresponde similarmente a la serie de potencias formal 1.

Ordene parcialmente el conjunto de todas las particiones de un conjunto finito diciendo σ ≤ τ si σ es una partición más fina que τ.

Entonces la función de Möbius es:

donde n es el número de bloques en la partición más fina σ, r es el número de bloques en la partición más gruesa τ, y ri es el número de bloques de τ que contiene exactamente i bloques de σ.

La característica de Euler

Un poset es acotado si tiene menor y mayor elementos, que llamamos 0 y 1 respectivamente (no deben ser confundidos con el cero y el uno del cuerpo base. En este párrafo, tomamos Q).

La característica de Euler de un poset finito acotado es μ(0,1); es siempre un número entero.

Este concepto se relaciona con la clásica característica de Euler.

Álgebras de incidencia reducidas

Cualquier miembro de un álgebra de incidencia que asigna el mismo valor a cualesquiera dos intervalos que sean isomorfos el uno al otro como posets es un miembro del álgebra de incidencia reducida.

Álgebras de incidencia reducidas iluminan la teoría de las funciones generatrices.

Literatura

Las álgebras de incidencia de posets localmente finitos fueron tratadas en un número de papers por Gian-Carlo Rota comenzando en 1964, y por muchos otros "combinatorialistas" posteriormente.

El paper de Rota de 1964 era:

On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, volumen 2, páginas 340-368.



Álgebra geométrica

En matemáticas, álgebra geométrica es un término aplicado a la teoría de las álgebras de Clifford y teorías relacionadas, siguiendo un libro del mismo título por Emil Artin.

Este término también ha tenido reciente uso en los tratamientos de la misma área en la literatura física.

En David Hestenes et al. álgebra geométrica es una reinterpretación de las álgebras de Clifford sobre los reales (lo que se afirma como una vuelta al nombre y a la interpretación originales previstos por William Clifford).

Los números reales se utilizan como escalares en un espacio vectorial V.

Desde ahora en adelante, un vector es algo en V mismo.

El producto externo (producto exterior, o producto cuña) ∧ se define tal que se genere el álgebra graduada (álgebra exterior de Hermann Grassmann) de Λn Vn de multivectores.

El álgebra geométrica es el álgebra generada por el producto geométrico (el cual es pensado como fundamental) con (para todos los multivectores A, B, C)



Asociatividad

Distributividad sobre adición de multivectores: A(B + C) = A B + A C y {A + B)C = A C + B C

La contracción para cualquier "vector" (un elemento de grado uno) a, a2 es un escalar (número real)

Llamamos esta álgebra un álgebra geométrica .

El punto distintivo de esta formulación es la correspondencia natural entre las entidades geométricas y los elementos del álgebra asociativa.

La conexión entre las álgebra de Clifford y las formas cuadráticas vienen de la propiedad de contracción.

Esta regla también da al espacio una métrica definida por el naturalmente derivado producto interno.

Debe ser observado que en álgebra geométrica en toda su generalidad no hay restricción ninguna en el valor del escalar, puede muy suceder que sea negativa, incluso cero (en tal caso, la posibilidad de un producto interno está eliminada si se requiere ).

El producto escalar usual y el producto cruzado tradicional del álgebra vectorial (en ) hallan sus lugares en el álgebra geométrica como el producto interno:



(que es simétrico) y el producto externo:



con:

(que es antisimétrico).

Relevante es la distinción entre los vectores axiales y polares en el álgebra vectorial, que es natural en álgebra geométrica como la mera distinción entre los vectores y los bivectores (elementos de grado dos).

El i aquí es la unidad pseudoscalar del 3-espacio euclidiano, lo que establece una dualidad entre los vectores y los bivectores, y se lo llama así debido a la propiedad prevista i2 = -1.

Un ejemplo útil es , y generar , un caso del álgebra geométrica llamada álgebra del espacio-tiempo por Hestenes.

El tensor del campo electromagnético, en este contexto, se convierte en simplemente un bivector donde la unidad imaginaria es el elemento de volumen, dando un ejemplo de la reinterpretación geométrica de los "trucos tradicionales".



Boosts en esta métrica de Lorentz tienen la misma expresión que la rotación en el espacio euclidiano, donde es, por supuesto, el bivector generado por el tiempo y las direcciones del espacio implicadas, mientras que en el caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones del espacio, consolidando la "analogía" casi hasta la identidad.

Vínculos externos



http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/introduction/intro/intro.html

http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/

http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptIIIcourse/course99/

http://carol.wins.uva.nl/~leo/clifford/

http://modelingnts.la.asu.edu/GC_R&D.html

Álgebra graduada

En matemáticas, en particular en álgebra abstracta, un álgebra graduada es un álgebra sobre un cuerpo, o más en general R-álgebra, en la cual hay una noción consistente del peso de un elemento.

La idea es de que los pesos de los elementos se sumen, cuando se multiplican los elementos.

Aunque se tiene que permitir la adición 'inconsistente' de elementos de diversos pesos.

Una definición formal sigue.

Sea G un grupo abeliano. un álgebra G-graduada es un álgebra con la descomposición en suma directa

tal que


Un elemento del i-ésimo subespacio Ai se dice elemento de grado i homogéneo o puro.

Los ejemplos importantes de álgebra graduadas incluyen las álgebras tensoriales TV de un espacio vectorial V así como las álgebras exteriores ΛV que son ambas Z-graduadas.

Las álgebras de Clifford y las super álgebras son ejemplos de álgebras Z2-graduadas.

Aquí los elementos homogéneos son pares (grado 0) o impares (el grado 1).

Las álgebras graduadas también se utilizan mucho en



  1. álgebra comutativa,

  2. geometría algebraica,

  3. álgebra homologica y

  4. topología algebraica.


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