9º electromagnetismo ejercicios del capítulo introduccióN



Descargar 165.19 Kb.
Página1/3
Fecha de conversión26.06.2018
Tamaño165.19 Kb.
  1   2   3




ELECTROMAGNETISMO    Ejercicios del capítulo 

1. INTRODUCCIÓN.

Los fenómenos que hoy llamamos magnéticos fueron conocidos cientos de años antes de nuestra era. En la antigua Grecia se conocieron ciertas propiedades de unas piedras, que probablemente serían de magnetita, (Fe3O4), que corresponden a lo que hoy llamamos imanes. Sin embargo hasta el siglo XIX no se relacionaron estos fenómenos con la Electricidad. Los imanes naturales como la magnetita o los artificiales muestran un comportamiento de atracción o repulsión entre sí que permite distinguir los extremos del imán: a uno se le denomina polo norte (N) y al otro, polo sur (S). La interacción entre imanes consiste en que polos del mismo nombre se repelen y los de nombre diferente se atraen. Además los polos de un imán atraen materiales como el hierro. Esta interacción se puede describir por medio de un campo vectorial al que denominamos densidad de flujo magnético, B. Este campo tendría unas líneas de fuerza que saldrían del polo norte y entrarían al polo sur. Naturalmente el flujo de B a través de una superficie cualquiera S será:



y dimensionalmente:                     





2. ACCIÓN DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONARIOS SOBRE CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO.

Si en el seno de una densidad de flujo magnético B estacionaria (es decir, no dependiente del tiempo) hay una carga eléctrica q moviéndose con una velocidad v, hay una interacción que puede describirse matemáticamente por la expresión vectorial:



         (9.1)

La fuerza, denominada fuerza de Lorentz, resulta pues proporcional a la carga, su dirección es perpendicular simultáneamente a v y a B estando determinado su sentido por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha. Se trata por lo tanto de una fuerza centrípeta. La fuerza resulta nula tanto si la carga está en reposo como si la velocidad tiene su dirección coincidente con la de B. De la (9.1) se deduce que el campo magnético tiene dimensiones de fuerza/(intensidad x longitud), su unidad S.I. será: 1 NA-1m-1 y esta unidad se denomina tesla (T), o sea, 1 T=1 NA-1m-1. La unidad S.I. de flujo magnético de denomina Weber (símbolo 1 Wb) y por lo tanto 1T= 1Wb/m2.



2.1 Trabajo sobre una carga móvil debido a una densidad de flujo magnético estacionaria.

El trabajo realizado por una fuerza es , pero tratándose de la fuerza de Lorentz tal como la hemos definido en (9.1), como F y v son perpendiculares, resultará W = 0, lo que quiere decir que los campos magnéticos estacionarios no pueden modificar la energía cinética de la partícula cargada, aunque sí su dirección.



2.2 Movimiento de una carga en un B perpendicular a la velocidad inicial.

En este caso la F estará en el plano perpendicular a B y que contenga a v0 , y por lo tanto la trayectoria estará en ese mismo plano. Además al ser la fuerza centrípeta el movimiento será circular uniforme. El módulo de la fuerza centrípeta será según la (9.1): F = q B v0 y por lo tanto la aceleración centrípeta será:



         (9.2)

pero la aceleración centrípeta en un movimiento circular uniforme es v2/R , siendo R el radio de la circunferencia. Por tanto:



             (9.3)

El periodo, frecuencia y pulsación del movimiento serán:



         (9.4)

Esta frecuencia  se denomina frecuencia ciclotrón.



2.3 Caso general del movimiento de una carga en un campo magnético.

La velocidad v puede considerarse suma de dos componentes v= y v ; la primera paralela al B y la segunda perpendicular a B: v = v= + v :



         (9.5)

Aplicando el principio de superposición, podemos estudiar por separado el efecto del campo magnético sobre cada una de las dos componentes. Sobre la v el efecto corresponde a lo visto en el § 2.2, por lo tanto la proyección del movimiento sobre un plano perpendicular a B será un movimiento circular uniforme de radio R igual a (9.3) y de periodo igual a T (9.4). Sobre la el efecto será nulo, ya que v= x B = 0. La composición de los 2 movimientos será un hélice de paso (v= x T) inscrita en un cilindro de radio R.



2.4 Acción de una densidad de fujo magnético uniforme sobre un conductor.

Supongamos que una porción rectilínea de un conductor cilíndrico de longitud l y área se la sección recta A, que es recorrido por una intensidad de corriente I y que se encuentra en una región en la que existe una densidad de flujo magnético uniforme, B. Podemos considerar que la intensidad es el resultado de un desplazamiento de los portadores de corriente (electrones libres). Sobre cada uno de dichos electrones se producirá una fuerza y el efecto total sobre la porción de conductor será la suma de todos los efectos individuales. Podemos considerar que como vimos en el capítulo 7 los electrones se desplazan con una velocidad media vn. Por tanto podemos considerar que sobre un electrón la fuerza media será:



         (9.6)

El número de electrones que se desplazan será: A l n, siendo n la densidad de electrones libres del material que constituya el conductor y por lo tanto la fuerza total será:



         (9.7)

recordando que I = J A = e n v n A y transformando l en un vector l de la misma dirección y sentido que vn, se puede escribir:



         (9.8)

Si tenemos un conductor cualquiera, sobre un elemento del mismo dl se producirá una fuerza dF:



         (9.9)

y la fuerza sobre una porción de conductor finita (entre a y b) será:



         (9.10)





Fig. 9.1

Si el conductor fuese una espira cerrada la fuerza total sería lógicamente cero, aunque puede no ser cero el momento total de la fuerza, como veremos en ejemplos.





Fig. 9.2

3. LEY DE BIOT Y SAVART.

Fue el físico danés Christian Oersted quien descubrió que el origen del campo magnético está en las corrientes eléctricas o más generalmente en las cargas en movimiento. La reproducción experimental de los hechos descubiertos de forma casual permitió cuantificar el valor de la densidad de flujo magnético creada en un punto P situado a una distancia R de un conductor rectilíneo y muy largo (es decir, longitud   R) por la corriente de intensidad I circulando por dicho conductor (fig.9.1). Suponiendo que estamos en el vacío, el módulo de B será:



          (9.11)

donde k vale, en el sistema internacional 10-7 TA-1 m y  0 es la llamada permeabilidad magnética del vacío. La dirección será perpendicular al conductor y al radio R y el sentido vendrá dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.

Como vemos en (9.11), la densidad de flujo magnético B depende de la constante  0, que en principio se puede considerar característica del material en el que estemos considerando definido B (en este caso el vacío). En la mayor parte de los casos prácticos el medio no será el vacío. Si el material puede considerarse homogéneo e isótropo,  0 deberá ser sustituida por otra constante  de las mismas dimensiones, denominada permeabilidad magnética del material. En este caso se denomina permeabilidad relativa del medio a . Como veremos más adelante, la mayor parte de los materiales tienen una permeabilidaad relativa casi igual a 1, aunque ligeramente mayor ( ). Estos materiales se denominan paramagnéticos. Unos pocos de gran interés cintífico y tecnológico tienen en cambio valores de  r muy grandes; son los llamados materiales ferromagnéticos (hierro, niquel, cobalto, gadolinio, ferritas, .. etc). Otros pocos tienen valores de y se denominan materiales diamagnéticos.

Interesa definir otra magnitud relacionada con B, pero no dependiente del medio material: ; H se denomina intensidad de campo magnético, (a veces, simplemente campo magnético).

Respecto al significado de la constante  0, hay que destacar que aplicando el análisis dimensional podemos comprobar que las dimensiones de , donde  0


Materiales

Permeablidad  r

Paramagnéticos




Aluminio

1.000021

Magnesio

1.000012

Paladio

1.00082

Titanio

1.00018

Diamagnéticos




Bismuto

0.99983

Oro

0.99996

Plata

0.99998

Cobre

0.99999

Ferromagnéticos




Niquel

250

Cobalto

600

Hierro (puro)

4000

Mumetal

100000

Tabla 9.1



Fig. 9.3

es la constante dieléctrica del vacío que fue introducida en el capítulo 6, corresponden a las de una velocidad. Pero las leyes se Maxwell del Electromagnetismo establecen que esta magnitud debe ser concretamente el módulo de la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (entre ellas la luz) en el vacío: .



3.1 Acción mutua entre conductores paralelos.

Supongamos dos conductores paralelos separados por una distancia a y muy largos (longitudes   a) por los que circulan sendas intensidades I1 e I2 tal como vemos en la figura 9.4. Cada uno de ellos producirá una densidad de flujo magnético que a su vez ocasionará sobre el otro conductor una fuerza:



         (9.12)

         (9.13)

las direcciones y sentidos son los que se ven el la figura. Si las intensidades fueran en sentidos opuestos, los resultados serían iguales pero las fuerzas serían repulsivas

en lugar de atractivas. El módulo de la fuerza entre los conductores por unidad de longitud será:

(9.14)



Fig. 9.4

3.2 Forma diferencial de la ley de Biot y Savart.

La ley de Biot y Savart puede escribirse en forma vectorial y diferencial, de manera que pueda aplicarse (por integración) a conductores de cualquier forma y longitud (Fig. 9.5); suponemos para ello que el campo magnético total B es debido a la contribución de elementos de conductor dl considerados como un vector en la dirección y sentido de la corriente. Entonces la ley se Biot y Savart se escribirá así:



        (9.15)

y el campo magnético total será:



        (9.16)

Esta expresión podemos aplicarla ahora al caso de un conductor recto y largo (longitud tomada como infinita) y veríamos que la expresión del módulo del campo magnético que obtenemos coincide con la (9.11), coincidiendo también dirección y sentido. El ángulo  lo mediremos siempre desde dl a r.





Fig. 9.5

3.3 Aplicaciones de la ley de Biot y Savart a casos concretos.

3.3.1 Conductor recto de longitud finita (Fig. 9.6).





;

y teniendo en cuenta que



;

y finalmente nos queda:



        (9.17)

siendo la dirección perpendicular al plano del dibujo y el sentido, hacia delante del dibujo

3.3.2 Campo manético producido por un conductor circular en un punto del eje.

Aplicando la ley de Biot y Savart:



y teniendo en cuenta que las proyecciones de dB en las direcciones paralelas al plano del conductor se anularán tendremos que:

 ,     y

        (9.18)

o en función de x:             (9.19)

o en función de  :                          (9.20)

3.3.3 B producido por un solenoide cilíndrico en un punto del eje.

Un solenoide es un arrollamiento helicoidal de hilo conductor. En la figura 9.8 vemos un solenoide recto cilíndrico (a) y un solenoide recto prismático (b). Hay también solenoides de estructura toroidal de sección cilíndrica o rectangular. Por razones de sencillez matemática se supone que las vueltas del solenoide están muy apretadas, es decir, que el paso de la hélice es muy pequeño y lo podemos considerar infinitesimal. Los resultados obtenidos a partir de esta aproximación no serán exactos, pero nos dan una idea aproximada del comportamiento de estos sistemas.

Aplicando el resultado anterior a una rodaja de solenoide de grosor dx, (Fig. 9.9):



siendo n el número de vueltas por unidad de longitud de solenoide. Tomamos P como origen de las x, y por lo tanto -x = R cotg  , lo que implica que:





,          y sustituyendo en la anterior nos quedará:

    (9.21)

siendo:             

Casos particulares:

- P en el centro:         (9.22)

- P en el centro, solenoide largo:              (9.23)

- P en el centro del extremo del solenoide:



        (9.24)

- Igual que en el caso anterior y solenoide largo:          (9.25)



Ejercicio interactivo

4. LEY DE AMPERE.

Queremos calcular la circulación del vector B a lo largo de la circunferencia de

la figura 9.1:

             (9.26)

Este resultado que hemos obtenido en un caso particular puede generalizarse a cualquier disposición de conductor y curva, pero su demostración se sale de los límites de este curso. Así pues, podemos afirmar que la circulación del vector B a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a intensidad que atraviesa una superficie limitada por la citada curva por la permeabilidad :



             (9.27)

Este enunciado se denomina ley de Ampere.



5. LEY DE FARADAY-LENZ.

Es bien conocido que si acercamos y alejamos alternativamente una espira conductora a la fuente de un campo magnético, se produce en dicha espira una intensidad de corriente. Si la espira permanece en reposo respecto al campo magnético la intensidad se hace cero. Vamos a describir este hecho experimental a partir de la definición del flujo del campo magnético. Como para cualquier campo vectorial, para B , el flujo magnético a través de una superficie cualquiera será:



(9.28)

Así como en el caso del campo eléctrico su flujo a través de una superficie cerrada era proporcional a la carga eléctrica encerrada por la citada superficie, el flujo magnético  B a través de una superficie cerrada será siempre cero, puesto que no existen monopolos magnéticos N ó S independientes.

Si a través de una superficie limitada por una línea cerrada, C, hay un flujo magnético variable con el tiempo, a lo largo de esa línea se induce una diferencia de potencial, llamada d.d.p. inducida, cuyo valor viene expresado así:

             (9.29)

por lo tanto debe de haber un campo eléctrico inducido E en cada punto de dicha línea tal que     . En el caso de que la línea cerrada esté recorrida por un coductor de resistenia R, la intensidad inducida, i =  /R, producirá una densidad de flujo magnético, y por lo tanto un flujo magnético a través de la espira conductora que "tratará" de contrarrestar la variación de flujo causante de la misma. Esto constituye la llamada ley de Faraday-Lenz, que tiene importantes aplicaciones prácticas. Así por ejemplo, toda la producción industrial de energía eléctrica o, más concretamente los alternadores, están basados en esta ley.



5.1 Campos eléctricos creados por campos magnéticos variables.

La ley de Faraday que acabamos de enunciar no necesita de la presencia del conductor para inducir un campo eléctrico, es decir, un flujo magnético variable atravesando la porción superficie delimitada por una curva cerrada produce un campo eléctrico E tal que se verifica:



(9.30)

La integral del segundo miembro es la circulación del vector E. Recordemos que en electrostática la circulación de E vale cero (E es un campo vectorial conservativo), por lo que concluimos que el campo eléctrico inducido no es conservativo. Por ejemplo si tuviésemos una densidad de flujo magnético B uniforme en el espacio pero variable en con el tiempo, perpendicular al plano del papel penetrando en él, el campo eléctrico inducido en los puntos de una circunferencia contenida en dicho plano tendría el mismo módulo E por simetría, su dirección sería tangente a la circunferencia en cada punto y su sentido el determinado por la regla del sacacorchos (Fig. 9.10). Si aplicamos la (9.30) tendremos que  = 2 R E, o sea, E = /2 R.




Compartir con tus amigos:
  1   2   3


La base de datos está protegida por derechos de autor ©composi.info 2017
enviar mensaje

    Página principal