1♦ estructuras algebraicas en la secundaria introduccióN



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1♦ ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS EN LA SECUNDARIA
INTRODUCCIÓN
Cuando se tenga que enseñar Matemática, es recomendable basarla en Estructuras, ya sean éstas, Algebraicas, de Orden, Topológicas, etc. Pero nuestro interés no debe ser el que nuestros estudiantes comprendan tal o cual Operación; con lo que estaríamos haciendo, a lo más, una Matemática Constructiva.

Lo que el estudiante debe entender-y esa es la misión del Profesor de Matemática (hacerle entender)-cuál es la relación o relaciones que existen entre los elementos del sistema.

Si logramos esto, tranquilamente podrían desconocer la naturaleza de los objetos con los que están operando; con lo que estaremos resaltando la naturaleza de las relaciones entre los objetos antes que la naturaleza misma de éstos.

De esta manera se estará actuando algebraicamente. Según el matemático Eberhard Fels: “Donde se hace con letras lo que se quiere, donde sólo se necesita decir: yo represento por x un conjunto de cosas cualesquiera y hago con él, según buen juicio, esto o aquello, pero diciendo lo que hago…eso es el Algebra”.



Algunos conceptos teóricos que pueden ser dados a los estudiantes de secundaria, teniendo en cuenta las condiciones de cada uno de ellos y del grupo, serían, salvo mejor parecer, los siguientes:
LEYES DE COMPOSICIÓN (LCI)
Definición.- Sea el conjunto A; se dice que en A está definida una Ley de Composición Interna (LCI),

Si aA y bA; (aTb)A.
(aTb), quiere decir:
a compuesto con b pertenece a A”.
Ejemplos:


  1. Sea A el conjunto de los números naturales, la operación conocida usualmente como Adición, es una LCI en N.

Porque  a,bN; (a+b)N.


  1. En el mismo conjunto N, la multiplicación usual, es una LCI; ya que para todo par de números naturales (a,b), le hace corresponder ab, que siempre es natural.




  1. La división en el conjunto de los números racionales diferentes de 0, es una LCI, ya que

(a,b) de Q - 0; ab Q-0.


  1. Contraejemplo: La sustracción en N no es una LCI; ya que, por ejemplo

Para 6,8εN; 6-8N
Ejercicios


  1. Analizar si la Multiplicación en Z(enteros) es una LCI.




  1. Analizar si la División en Z es ua LCI




  1. Averiguar si las operaciones anteriores, definen LCI en Q.(Números racionales).


NOTA: Usar, simplemente Ley de Composición (LC), en lugar de Ley de Composición Interna (LCI).
PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA


  1. CONMUTATIVA:


Definición.- Una Ley de Composición T, es Conmutativa en un conjunto A,

Si  (a,b)A; se cumple (aTb) = (bTa)
Ejemplos:


  1. La Adición en N es una LC Conmutativa, porque

A +b = b +a; (a,b) N.

  1. La Multiplicación en N, es una LC Conmutativa; también lo es en Z.


Ejercicios:


  1. ¿Es Conmutativa la Sustracción en Z?




  1. ¿Qué sucede con la sustracción en N?




  1. ASOCIATIVA:


Definición.- una Ley de Composición T es Asociativa en A

si (a,b,c) de A, se cumple aT(bTc) = (aTb)Tc
Ejemplos:


  1. La Adición en N es Asociativa




  1. La LC en A = a,b,c, dada por la siguiente tabla




T

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b


Es Asociativa

Porque cumple: aT(bTc) = (aTb)Tc

Ejercicios:


  1. ¿La siguiente tabla define una LC Asociativa para A=a,b,c ?




T

a

b

c

a

a

b

c

b

a

b

c

c

a

a

b




  1. ¿Cuáles de las siguientes operaciones son Leyes de Composición en Z. Cuáles son Asociativas: Sustracción, multiplicación y división.




  1. EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO Y ELEMENTOS SIMÉTRICOS.


Definición a).- Si para una Ley de Composición T, definida en el conjunto A, existe (), A, tal que (/) cumple la relación

aT = Ta = a, aA

Este es el elemento neutro para T en A.


Definición b).- Si en un conjunto A con elemento neutro , para una Ley T y a, b de A; cumplen

aTb = bTa = 

a y b son simétricos. Cada uno es simétrico del otro.


Ejemplos:


  1. Para la adición definida en N, el 0 es el elemento neutro, porque  aN, se cumple

A+0 = 0+a = a

  1. La LC & definida en Z, y que cumple con la relación a&b =a+b+5a; tiene como elemento neutro al 0.

  2. Para la multiplicación en Q, el 1 es elemento, porque  aQ, se cumple

a.1 = 1.a = a

  1. En Z con la Adición, m y –m son simétricos

Porque m+(-m) = 0

  1. En Q, con la multiplicación a/b y b/a son simétricos porque




  1. En la siguiente tabla



T

a

b

c

a

a

b

c

b

b

b

a

c

c

a

c

b y c son simétricos


  1. Contraejemplo: Para la multiplicación definida en Z, 0 no es elemento neutro, porque

5.0 = 0.5 = 0; 1.0 = 0.1 = 0; etc.

  1. Contraejemplo: En el conjunto N, con la multiplicación no existen simétricos.

  2. En N con la adición, sólo 0 tiene simétrico, y es él mismo.


Ejercicios:


  1. Dado el conjunto M = 0,1,2,3, en él se define una LC, por medio de la siguiente tabla:




T

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

Averigua si existe o no elemento neutro para la ley de composición.



  1. ¿Cuál es el elemento neutro para la sustracción en Z?

  2. ¿Algún elemento de Z tiene simétrico para la multiplicación?




  1. DISTRIBUTIVA:


Definición.- Una Ley de Composición T definida sobre A, es distributiva respecto a otra Ley &, también definida sobre A, si cumple:


  1. (b&c)Ta = (bTa)&(cTa)




  1. aT(b&c) = (aTb)&(aTc)


Ejemplos:


  1. La multiplicación es distributiva respecto a la adición, porque:




  1. (b+c)a = (ba)+(ca)




  1. a(b+c) = (ab)+(ac)




  1. Contraejemplo: La adición no es distributiva con respecto a la multiplicación.


Ejercicios:


  1. ¿La potenciación es distributiva respecto a la adición?




  1. ¿Son distributivas alguna de ellas respecto a la otra, las leyes de composición definidas de la siguiente manera?


aTb = a + b + ab2
a&b = b + a + ba2

ESTRUCTURA DE GRUPO


Definición.- Un conjunto G, en el que se ha definido una Ley de composición T, es un grupo, si tanto G como T cumplen las siguientes condiciones:


  1. Para cualquiera a,b,c de G se cumple:


aT(bTc) = (aTb)Tc


  1. Existe un elemento neutro  de G para T tal que

aT = Ta = a, para todo aG.


  1. Para todo elemento a de G, existe a’ de G /


aTa =aTa =
Ejemplos:


  1. El conjunto de los números enteros con la adición constituye un grupo, puesto que tanto

Z como “+” cumplen i), ii) y iii).


  1. Q con la adición cumplen i), ii) y iii), por lo que también Q forma un grupo respecto a la adición.




  1. La tabla siguiente nos muestra la estructura de grupo para el conjunto G = a,b,c



T

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b



  1. Contraejemplo: El conjunto N con la Adición, no define grupo; tampoco con la multiplicación.




  1. Contraejemplo: la tabla siguiente no define estructura de grupo.




T

a

b

c

a

a

c

b

b

c

b

a

c

b

c

a




  1. Contraejemplo: N con la sustracción no es grupo, puesto que la sustracción ni siquiera es Ley de Composición.


Ejercicios:


  1. Dado el rectángulo de la figura, y considerando que hay 4 transformaciones que lo dejan invariante: La simetría con respecto al eje e1, la simetría con respecto al eje e2, la rotación de centro O y amplitud 180°, y la rotación de centro O y amplitud 360°.

Si nombramos a estas transformaciones respectivamente con S, S’, R e I; Averiguar si la composición consecutiva de estas transformaciones es una LC para

G = S, S’, R, I.


e1


e2

Si lo es, averigua si le da a G la estructura de grupo.


  1. Averiguar si forma grupo el conjunto de transformaciones del ejercicio 1), con la misma operación, para un rombo, y para un cuadrado.


GRUPO CONMUTATIVO
Definición.- Un grupo G es conmutativo, cuando la ley de composición, respecto a la cual es grupo, es conmutativa.
PROPIEDADES DE LOS GRUPOS


  1. El elemento neutro de un grupo es ÚNICO.

  2. En todo grupo el simétrico de cada elemento es ÚNICO.


ACTIVIDAD CALIFICADA
I).- a) La multiplicación en Z, es una Ley de Composición interna porque:
……………………………………………………………
……………………………………………………………
b) ¿La multiplicación en Q es una LC? ¿Por qué?
……………………………………………………………
……………………………………………………………
c) Dado A = 1, -1, con la multiplicación habitual de los números enteros. Muestre que es una LC. Y Construya la tabla para la multiplicación en A.
d) Dé un contraejemplo, donde muestre que la división no es una LC en Q.
……………………………………………………………
e) ¿La LC definida en c) es conmutativa? ¿Por qué?
……………………………………………………………
……………………………………………………………
II.- Indique por qué es cierta, o por qué es falsa, cada una de las siguientes proposiciones:


  1. (7+x)Z,  xZ………………………( )




  1. 7+x = x+7,  xZ…………………….( )




  1.  xZ, existe yZ / x.y = 1………….( )




  1.  xQ, existe yQ / x.y = 1…………( )




  1. (-x.y).z = -x.(y.z), x,y,z Q…………( )

III.- Si se define para el conjunto de los enteros, la LC: xTy = 2x +y. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?




  1. xTy = yTx ……………………………..( )




  1. xT0 = 2x……………………………….( )




  1. xT(-x) = 0 ……………………………..( )




  1. (xTy)T(-y) = 0 ………………………..( )




  1. xT(yTz) = (xTy)Tz ……………………( )

IV.- a) ¿Cuáles de las siguientes tablas cumplen las condiciones de grupo?




T

a

b

a

b

b

b

b

b




T

a

b

a

a

a

b

a

a



T

a

b

a

a

b

b

b

a




T

a

b

a

a

a

b

a

b

b) Sea B = 0,1, con la LC multiplicación habitual. Si B con esta ley constituye grupo, dé las razones. En caso contrario, también explique por qué.


c) La LC definida en Z, de la siguiente manera:
aTb = a – ab ¿Hace de Z un Grupo?
d) Sea A el conjunto de los números racionales positivos (Q+) con la multiplicación habitual. Dé las razones por las que constituye o no un Grupo.
e) Considerando al 0 como número entero par, ¿el conjunto de los enteros pares constituye grupo con la multiplicación habitual?
ESTRUCTURA DE ANILLO
Definición.- Un conjunto A en el que se han definido dos leyes de composición T y &, constituye ANILLO, si:
i) El par (A,T) es un grupo Conmutativo
ii) & es una ley de composición Asociativa en A.
iii) & es distributiva con respecto a T.
OBSERVACIÓN.- Con frecuencia la primera de estas leyes se identifica con la adición y la segunda con la multiplicación. Se sugiere seguir este criterio algunas veces.
Ejemplos:


  1. Z con la adición y la multiplicación ( en ese orden), constituye un ANILLO, pues:

i) El par (Z,+) es un grupo Conmutativo.


ii) La multiplicación es una ley asociativa en Z
iii) La multiplicación esv distributiva respecto a la adición, asi:
a) a(b+c) = ab +ac
b) (b+c)a = ba + ca


  1. El conjunto de los números racionales de la forma, con la adición y la multiplicación constituye un anillo.




  1. Las siguientes tablas dan la estructura de anillo al conjunto A = a,b,c,d




T

a

b

c

d

a

a

a

a

a

b

a

b

c

d

c

a

c

a

c

d

a

d

c

b



T

a

b

c

d

a

a

b

c

d

b

b

c

d

a

c

c

d

a

b

d

d

a

b

c


Ejercicios:


  1. Sea A = 0,1, averigüe si las Leyes de composición dadas por las siguientes tablas, dan a A la estructura de Anillo.

T

0

1

0

0

0

1

0

1



T

0

1

0

0

1

1

1

0




  1. Averiguar si Q con “+” y “∙” es un anillo.

  2. ¿Z con la sustracción y multiplicación es anillo?

ESTRUCTURA DE CUERPO


Definición.- Un conjunto C, en el que se han definido 2 Leyes de Composición T y &, constituye un CUERPO, si:

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